福建省厦门外国语学校2020届高三下学期高考最后一次模拟数学（文）试题

绝密★启用前 厦门外国语学校2020届高三高考模拟考试数学试题本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分。考试用时120分钟。注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和准考证号填写在答题卡相应的位置上，用2B铅笔将自己的准考证号填涂在答题卡上。          2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；在试卷上做答无效。          3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上作答，答案必须写在答题卡上各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4．考生必须保持答题卡的整洁和平整。一、选择题（每题5分，12题，共60分）1．已知全集，，，则下列结论正确的是（   ）A．       B．     C．    D．2．已知复数满足，则　　A． B．3 C．4 D．53．已知x，y的取值如下表：x0134y2.24.34.86.7根据上表可得回归方程为，则＝（    ）A．3.25 B．2.6 C．2.2 D．04．若双曲线的右顶点到一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（    ）A． B． C．3 D．5．已知点，，则（    ）A． B． C． D．6．如图，正方体中，下列结论不正确的是（    ）．A． B． C． D．7．已知一个圆柱的侧面积等于表面积的，且其轴截面的周长是16，则该圆柱的体积是（    ）A． B． C． D．8．一个几何体的三视图如图所示，若这个几何体的体积为，则该几何体的外接球的表面积为（    ）A．36π B．64π C．81π D．100π9．关于函数，有下列命题：①的最小正周期为；②函数的图象关于对称；③在区间上单调递增；④将函数的图象向左平移个单位长度后所得到的图象与函数的图象重合．其中正确的命题是（    ）A．①②③ B．②④ C．①③ D．①②④10．已知函数是偶函数，当时，，则曲线在处的切线方程为（    ）A． B． C． D．11．点M是所在平面内的一点，且满足，则与面积比（  ）A． B． C． D．12．已知函数有两个零点，则a的取值范围是（    ）A． B． C． D．二、填空题（每题5分，4题，共20分）13．已知函数，则_____________14．已知实数满足约束条件，则的取值范围为___.15．设直线与圆C：x2+y2-2ay-2=0相交于A，B两点，若，则圆C的面积为______16．如图所示，三个全等的三角形、、拼成一个等边三角形，且为等边三角形，，设，则______三、解答题（70分）17．如图，四棱锥中，底面ABCD，且底面ABCD为平行四边形，若，，.（1）求证：；（2）若与底面ABCD所成的角为，求点D到平面PBC的距离. 18．为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成两组，每组100只，其中组小鼠给服甲离子溶液，组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：记为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于”，根据直方图得到的估计值为.（1）求乙离子残留百分比直方图中的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.   19．已知数列满足，，.（1）求证：为等比数列；（2）求的通项公式. 20．已知曲线上的点到点的距离比到直线的距离小，为坐标原点.（1）过点且倾斜角为的直线与曲线交于、两点，求的面积；（2）设为曲线上任意一点，点，是否存在垂直于轴的直线，使得被以为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出的方程和定值；若不存在，说明理由.   21．已知函数.（1）设是的极值点，求，并求的单调区间；（2）当时，证明.    22．已知直线：与曲线：，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求直线和曲线的极坐标方程；（2）将直线绕极点逆时针方向旋转得到的直线，这两条直线与曲线分别交于异于极点的，两点，求的面积.   23．设函数，.（1）解不等式；（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围.   厦门外国语学校2020届高三文科模拟考数学试卷答案1．D【详解】由题知集合与集合互相没有包含关系，故A错误；又，故B错误；，故C错误；，故D正确，2．D【详解】因为，所以，所以.3．B【详解】，，把样本点中心代入回归方程得，∴．4．C【详解】设双曲线的右顶点为,一条渐近线方程为,即,由题意可得,则,由可得所以.5．B【详解】点，，，6．C【解析】与是两条异面直线．所以不可能平行,选C.7．D解：设圆柱的底面半径为，高为，∵圆柱的侧面积等于表面积的，且其轴截面的周长是16，∴，解得，∴圆柱的体积为，8．C解：根据几何体的三视图可以得到该几何体为四棱锥体，如图所示：该四棱锥的底面是长方形，长为6，宽为5，四棱锥的高即为所以，解得．设四棱锥的外接球的半径为r，所以，解得，所以，9．A【详解】所以的最小正周期为，①正确；当时，，所以②正确；当时，，此时为增函数，所以③正确；将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数解析式为，所以④不正确；10．A【详解】因为，，，，，所以曲线在处的切线方程为，即.11．C【详解】如图，由5=+3得2=2+3-3，即2(-)=3(-)，即2=3，故=，故△ABM与△ABC同底且高的比为3∶5，故S△ABM∶S△ABC=3∶5.所以选C.12．B【详解】，当时，，∴在上单调递增，不合题意，当时，时，；时，，∴在上单调递减，在上单调递增，∴，依题意得，∴，取，，则，，且，，令，则，∴在上单调递增，∴，∴，∴在及上各有一个零点，故a的取值范围是，13．2【详解】函数，则.14．【详解】画出表示的可行域,如图: 解得将变形为平移直线由图可知当直线经过点时,直线在轴上的截距最小,有最小值为,当直线经过点时,直线在y轴上的截距最大,z有最大值为所以的取值范围是.15．【解析】因为圆心坐标与半径分别为，所以圆心到直线的距离，则，解之得，所以圆的面积，16．【详解】设，则，由，由于三角形、、全等，∴，，，又∵为等边三角形，∴，在中，由正弦定理可得：，即，，化简得，∴，17．（1）证明见解析；（2）【详解】（1）∵，，，∴，∴，∴，∴，∵平面，平面，∴，又，∴平面，∵平面，∴.（2）设点到平面的距离，由（1）知，∴，∵平面，∴是与底面所成的角，∴，∴，∴.∵，，，∴，∴，∴，∴，又，∴，解得.18．(1) ，；(2) ，.【详解】(1)由题得，解得，由，解得.(2)由甲离子的直方图可得，甲离子残留百分比的平均值为，乙离子残留百分比的平均值为19．（1）证明见解析（2）解：（1）由，得，即又，∴∴是以为首项，为公比的等比数列（2）由（1）知∴，累加得又，∴又也符合上式，∴20．（1）；（2）直线存在，其方程为，定值为.【详解】（1）依题意得，曲线上的点到点的距离与到直线的距离相等，所以曲线的方程为：.过点且倾斜角为的直线方程为，设，，联立，得，则，，则；（2）假设满足条件的直线存在，其方程为，设点，则以为直径的圆的方程为，将直线代入，得，则，设直线与以为直径的圆的交点为、，则，，于是有，当，即时，为定值.故满足条件的直线存在，其方程为.21．（1），的单调递减区间为，增区间为；（2）证明见解析.【详解】（1），由是的极值点知，，即，所以.于是，定义域为，且，函数在上单调递增，且，因此当时，；当时，，所以的单调递减区间为，增区间为.（2）当，时，，从而，则，令，，则在单调递增，且，，故存在唯一的实数，使得.当时，，递减；当时，，递增．从而当时，取最小值.由得，则，，故，由知，，故，即当时，成立.22．（1）直线：，曲线：；（2）【详解】（1）则直线的方程为：，∴极坐标方程为：；曲线的方程：，即，∴极坐标方程为：.（2）将直线绕极点逆时针方向旋转得到的直线，则极坐标方程为：，设，，则，，所以的面积.23．（1）（2）解：（1）当时，，即，即，即，即当时，，即，即当时，，即，即综上所述，不等式的解集为（2）当时，，即所以，得当时，，即，所以，即当时，，即，即可，即综上所述，，即的取值范围为