甘肃省兰州市第一中学2020届高三冲刺模拟考试（二）数学（文）试题
展开2020年兰州一中高三数学模拟试卷（二）
文科数学
（命题：韩慧萍 审题：卢文彬）
（考试时间：120分钟 试题满分：150分）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，集合B＝{x|x﹣1＞0}，则（∁RA）∩B＝（ ）
A．（1，3） B．（1，3] C．[3，+∞） D．（3，+∞）
2．设复数z满足（z+2i）•i＝3﹣4i，则复数 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．若非零实数a，b满足 ，则下列式子一定正确的是（ ）
A．b＞a B．b＜a C．|b|＜|a| D．|b|＞|a|
4．已知α为锐角，，则 ＝（ ）
A． B． C．2 D．3
5．已知f（k）＝k+（﹣1）k，执行如图所示的程序框图，
若输出k的值为4，则判断框内可填入的条件是（ ）
A．s＞3？ B．s＞5？
C．s＞15？ D．s＞10？
6．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，﹣2），N（1，0）．
若动点M满足，则的取值范围是（ ）
A．[0，2] B．[0，2] C．[﹣2，2] D．[﹣2，2]
7．中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．如图，是利用算筹表示数1～9的一种方法．例如：3可表示为“≡”，26可表示为“＝⊥”．现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1～9这9个数字表示两位数的个数为（ ）
A．16 B．15 C．14 D．13
8．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x2﹣4x，则不等式f（x+2）＜5的解集为（ ）
A．（﹣3，7） B．（﹣4，5） C．（﹣7，3） D．（﹣2，6）
9．已知双曲线C：，O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C的两条渐近线交于A，B两点，若△OAB是边长为2的等边三角形，则双曲线C的方程为（ ）
A． B． C． D．
10．甲、乙二人玩数字游戏，先由甲任意想一个数字，记为m，再由乙猜想甲刚才想的数字，把猜出的数字记为n，且m，n∈{1，2，3}，若|m﹣n|≤1，则称二人“心有灵犀”，现任意找二人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数，若方程的解为，则＝（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数f（x）＝kx，g（x）＝2lnx+2e（≤x≤e2），若f（x）与g（x）的图象上分别存在点M，N，使得M，N关于直线y＝e对称，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．
13．已知多项式f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7，则f(5) =____________.
14．设m，n为正数，且m+n＝2，则的最小值为＝ ．
15．设f（x）是定义在R上的函数，其导函数为f'（x），若f（x）+f'（x）＞1，f（0）＝2020，则不等式exf（x）＞ex+2019（其中e为自然对数的底数）的解集为 ．
16．已知点A是以BC为直径的圆O上异于B，C的动点，P为平面ABC外一点，且平面PBC⊥平面ABC，BC＝3，PB＝2，PC＝，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为 ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题学生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分。
17．（本小题12分）
如图，在四棱锥中，是等边三角形，
侧面底面，其中，，，.
（1）是上一点，求证：平面平面；
（2）求三棱锥的体积.
18．（本小题12分）
已知数列{an}的前n项和为Sn，．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若．
19．（本小题12分）
根据某电子商务平台的调查统计显示，参与调查的1000位上网购物者的年龄情况如图．
（1）已知、，三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，
求，的值；
（2）该电子商务平台将年龄在之间的人群定义为
高消费人群，其他的年龄段定义为潜在消费人群，为了
鼓励潜在消费人群的消费，该平台决定发放代金券，高
消费人群每人发放50元的代金券，潜在消费人群每人
发放100元的代金券．已经采用分层抽样的方式从参与
调查的1000位上网购物者中抽取了5人，现在要在这5
人中随机抽取3人进行回访，求此三人获得代金券总和为200元的概率．
20．（本小题12分）
已知抛物线的焦点为F，点，点B在抛物线C上，且满足（O为坐标原点）.
（1）求抛物线C的方程；
（2）过焦点F任作两条相互垂直的直线l与，直线l与抛物线C交于P，Q两点，直线与抛物线C交于M，N两点，的面积记为，的面积记为，求证：为定值.
21.（本小题12分）
已知函数.
（1）求函数的单调区间;
（2）证明当时，关于的不等式恒成立;
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cosθ．
（1）求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
（2）已知曲线C3的极坐标方程为θ＝α（0＜α＜π，ρ∈R），点A是曲线C3与C1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，A、B均异于原点O，且|AB|＝2，求实数α的值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|x﹣m|﹣|x+2|（m∈R），不等式f（x﹣2）≥0的解集为（﹣∞，4]．
（1）求m的值；
（2）若a＞0，b＞0，c＞3，且a+2b+c＝2m，求（a+1）（b+1）（c﹣3）的最大值．
2020年兰州一中高考数学模拟试卷（文科2）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，集合B＝{x|x﹣1＞0}，则（∁RA）∩B＝（C ）
A．（1，3） B．（1，3] C．[3，+∞） D．（3，+∞）
2．设复数z满足（z+2i）•i＝3﹣4i，则复数在复平面内对应的点位于（ B ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．若非零实数a，b满足2a＝3b，则下列式子一定正确的是（C ）
A．b＞a B．b＜a C．|b|＜|a| D．|b|＞|a|
4．已知α为锐角，cosα＝，则tan（+）＝（ D ）
A． B． C．2 D．3
5．已知f（k）＝k+（﹣1）k，执行如图所示的程序框图，
若输出k的值为4，则判断框内可填入的条件是（ D ）
B．s＞3？ B．s＞5？
C．s＞15？ D．s＞10？
6．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，﹣2），N（l，0）．若动点M满足＝，则的取值范围是（ D ）
A．[0，2] B．[0，2] C．[﹣2，2] D．[﹣2，2]
7．中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．如图，是利用算筹表示数1～9的一种方法．例如：3可表示为“≡”，26可表示为“＝⊥”．现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1～9这9数字表示两位数的个数为（A ）
A．16 B．15 C．14 D．13
8．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x2﹣4x，则不等式f（x+2）＜5的解集为（ C ）
A．（﹣3，7） B．（﹣4，5） C．（﹣7，3） D．（﹣2，6）
9．已知双曲线C：，O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C的两条渐近线交于A，B两点，若△OAB是边长为2的等边三角形，则双曲线C的方程为（A ）
A．﹣y2＝1 B．x2＝1
C．＝1 D．＝1
10．甲、乙二人玩数字游戏，先由甲任意想一个数字，记为m，再由乙猜想甲刚才想的数字，把猜出的数字记为n，且m，n∈{1，2，3}，若|m﹣n|≤1，则称二人“心有灵犀”，现任意找二人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（ D ）
A． B． C． D．
11．已知函数f（x）＝sin（2x﹣），若方程f（x）＝的解为x1，x2（0＜x1＜x2＜π），则sin（x1﹣x2）＝（ B ）
A． B． C． D．
12．已知函数f（x）＝kx，g（x）＝2lnx+2e（≤x≤e2），若f（x）与g（x）的图象上分别存在点M，N，使得M，N关于直线y＝e对称，则实数k的取值范围是（ B ）
A．[﹣，﹣] B．[﹣，2e] C．[﹣，2e] D．[，+∞）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．
13．已知多项式f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7，则f(5) = 2677.
14．设m，n为正数，且m+n＝2，则的最小值为＝ ．
15．设f（x）是定义在R上的函数，其导函数为f'（x），若f（x）+f'（x）＞1，f（0）＝2020，则不等式exf（x）＞ex+2019（其中e为自然对数的底数）的解集为 （0，+∞） ．
16．已知点A是以BC为直径的圆O上异于B，C的动点，P为平面ABC外一点，且平面PBC⊥平面ABC，BC＝3，PB＝2，PC＝，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为 10π ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题学生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．如图，在四棱锥中，是等边三角形，侧面底面，其中，，，.
（1）是上一点，求证：平面平面；
（2）求三棱锥的体积.
试题解析：（Ⅰ）在中，，，
又平面平面，平面平面，
平面 平面
平面平面
（Ⅱ）取中点，由为等边三角形得
平面平面，平面，
又因为 中，，在中，边上的高
三棱锥的体积为.
18．已知数列{an}的前n项和为Sn，．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若．
【解答】解：（1）
19．根据某电子商务平台的调查统计显示，参与调查的1000位上网购物者的年龄情况如图．
（1）已知、，三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，求，的值；
（2）该电子商务平台将年龄在之间的人群定义为高消费人群，其他的年龄段定义为潜在消费人群，为了鼓励潜在消费人群的消费，该平台决定发放代金券，高消费人群每人发放50元的代金券，潜在消费人群每人发放100元的代金券．已经采用分层抽样的方式从参与调查的1000位上网购物者中抽取了5人，现在要在这5人中随机抽取3人进行回访，求此三人获得代金券总和为200元的概率．
【答案】（1），；（2）3/5
【解析】
试题解析：（1）由于五个组的频率之和等于1，故：
，且，
联立解出，．
（2）由已知高消费人群所占比例为，潜在消费人群的比例为0.4，由分层抽样的性质知抽出的5人中，高消费人群有3人，潜在消费人群有2人，令高消费的人为A,B,C，潜在消费的人为a,b，从中抽取的三人总共有:ABC,ABa,ABb,ACa,ACb,BCa,BCb,Aab,Bab,Cab共10种，其中ABa,ABb,ACa,ACb,BCa,BCb共6种是获得代金券总和为200元的情况，因此三人获得代金券总和为200元的概率为3/5
20．已知抛物线的焦点为F，点，点B在抛物线C上，且满足（O为坐标原点）.
（1）求抛物线C的方程；
（2）过焦点F任作两条相互垂直的直线l与，直线l与抛物线C交于P，Q两点，直线与抛物线C交于M，N两点，的面积记为，的面积记为，求证：为定值.
【解答】解：(1)设
因为点B在抛物线C上，
（2）由题意得直线l的斜率存在且不为零，设，代入得，所以
因此，同理可得
因此
21．已知函数.
（1）求函数的单调区间;
（2）证明当时，关于的不等式恒成立;
21.【解答】解：（1） ，由，得.
又,所以，所以的单调递减区间为，函数的单增区间为.
（2）令,所以,因为,所以,令,得,所以当,当时，因此函数在是增函数，在是减函数，故函数的最大值为，令，因为，又因为在是减函数，所以当时，，即对于任意正数总有，所以关于的不等式恒成立.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cosθ．
（1）求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
（2）已知曲线C3的极坐标方程为θ＝α（0＜α＜π，ρ∈R），点A是曲线C3与C1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，A、B均异于原点O，且|AB|＝2，求实数α的值．
【解答】解：（1）由曲线C1的参数方程为参数），得曲线C1的普通方程为，
由曲线C2的极坐标方程ρ＝2cosθ，得C2的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2＝1；
（2）曲线C1化为极坐标方程为，
设A（ρ1，α），B（ρ2，α），则，
∴，
由知，，
∵，∴或，
∴或
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．已知函数f（x）＝|x﹣m|﹣|x+2|（m∈R），不等式f（x﹣2）≥0的解集为（﹣∞，4]．
（1）求m的值；
（2）若a＞0，b＞0，c＞3，且a+2b+c＝2m，求（a+1）（b+1）（c﹣3）的最大值．
【解答】解：（1）∵f（x）＝|x﹣m|﹣|x+2|，∴f（x﹣2）＝|x﹣m﹣2|﹣|x|≥0的解集为（﹣∞，4]，
∴|x﹣m﹣2|≥|x|，解得m+2＝8，即m＝6．
（2）∵m＝6，∴a+2b+c＝12．
又∵a＞0，b＞0，c＞3，
，
当且仅当a+1＝2b+2＝c﹣3，结合a+2b+c＝12解得a＝3，b＝1，c＝7时，等号成立，
∴（a+1）（b+1）（c﹣3）的最大值为32.
