广东省东莞市2020届高三4月模拟自测数学（理）试题
展开2020年东莞市普通高中毕业班模拟自测
理科数学
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.
1. 已知集合，则AB=
A B. (-3,1) C. D.
2. 设复数z满足， 则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于
A.第一像限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3. 玫瑰花窗(如右图)是哥特式建筑的特色之一，镶嵌着彩色玻璃
的玫瑰花窗给人以瑰丽之感.构成花窗的图案有三叶形、四叶形、
五叶形、六叶形和八叶形等.右图是四个半圆构成的四叶形，半
圆的连接点构成正方形ABCD，在整个图形中随机取一点，此
点取自正方形区域的概率为
A. B. C. D.
4. 己知定义在R上的奇函数f(x)， 当x>0时，;且f(m)=2，则m=
A. B.4 C.4或 D.4或
5. 已知平面向量、的夹角为135°， 且为单位向量，，则
A. . B. . C.1 D.
6. 已知F1、F2分别为椭圆C: 的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线l交椭圆C于A，B两点，若∆AF2B是边长为4的等边三角形，则椭圆C的方程为
A. B.
C. D.
7.定义运算为执行如图所示的程序框图输出的S值,则
A. B. C.1 D.-1
8。《尘劫记》中记载了这样一个问题:第1个月，有一对老鼠生了6对小老鼠，两代老鼠加起来共有7对;第2个月，每对老鼠各生了6对小老鼠，三代老鼠共有49对.由此类推，父母、子女、孙子、曾孙辈的大小老鼠们，每个月每对老鼠都会生6对.第6个月，共有( ) 对老鼠.
A.66 B.76 C. D.
9. 为加强学生音乐素养的培育，东莞市某高中举行“校园十大歌手”比赛，比赛现场有7名评委给选手
评分，另外，学校也提前发起了网络评分，学生们可以在网络上给选手评分，场内数百名学生均参与网络评分.某选手参加比赛后，现场评委的评分表和该选手网络得分的条形图如下图所示:
记现场评委评分的平均分为,网络评分的平均分为,所有评委与场内学生评分的平均数为，那么下列选项正确的是
A. B. C. D. 与关系不确定
10.已知函数的最小正周期为π,将f(x)的图象向左平移个单位后，所得图象关于原点对称，则函数f(x)的图象
A.关于直线对称 B.关于直线对称
C.关于点(,0)对称 D. 关于点(,0)对称
11. 已知双曲线C : 的一条渐近线被圆截得的弦长为2b (其中c为双曲线的半焦距)，则双曲线C的离心率为
A. B. C. D. 2
12.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为AB和DD1的中点，经过点B1，E，F的平面交AD于G，则AG=
A. B. C. D.
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡的相应位置上.
13.各项均为正数的等比数列中， 2a2，a4，3a3 成等差数列，则
14. 已知的展开式中x2的系数为18, 则a=___________.
15. 已知三棱锥P- ABC中，PA⊥平面ABC，PA=BC=2，∠BAC=,则三棱锥P- ABC的外
接球的表面积为_______。
16.已知在上恰有一个零点，则正实数a的取值范围为_______________。
三、解答题:本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17至21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
(一)必考题:本大题共5小题，每小题12分，共60分.
17. (本小题满分12分)
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
(1)求A;
(2)若b=4，c=2，AM为BC边上的中线，求AM的长.
18. (本小题满分 12分),
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，其中AB⊥BC,AD// BC, AD=4,
AP= AB=BC=2, E是AD的中点，AC和BE交于点O,且PO⊥平面ABCD.
(1)证明:平面PAC⊥平面PCD;
(2)求直线AB与平面PCD所成角的大小.
19. (本小题满分 12分)
已知抛物线E:y2 = 4x,过抛物线焦点F的直线1分别交抛物线E和圆F :(x-1)2+y2=1于点A、C、D、B (自上而下)。
(1)求证: 为定值;
(2)若、、成等差数列，求直线l的方程.
20. (本小题满分 12分)
已知函数.
(1)讨论函数f(x)的单调性:
(2)若函数f(x)在区间[1,+∞)上的最小值为0，求a的值.
21. (本小题满分 12分)
在党中央的正确领导下，通过全国人民的齐心协力，特别是全体一线医护人员的奋力救治，二月份“新冠肺炎”疫情得到了控制.甲、乙两个地区采取防护措施后，统计了从2月7日到2月13日一周的新增“新冠肺炎”确诊人数，绘制成如下折线图:
(1)根据图中甲、乙两个地区折线图的信息，写出你认为最重要的两个统计结论;
(2)治疗“新冠肺炎”药品的研发成了当务之急，某药企计划对甲地区的A项目或乙地区的B项目投入研发资金，经过评估,对于A项目，每投资十万元，一年后利润是l. 38万元、1.18万元、l. 14万元的概率分别为、、;对于B项目，利润与产品价格的调整有关，已知B.项目产品价格在一年内进行2次独立的调整，每次价格调整中，产品价格下调的概率都是p(0<p<1)，记B项目一年内产品价格的下调次数为，每投资十万元，ξ取0、1、2时，一年后相应利润是1.4万元、1.25 万元、0.6万元。记对A项目投资十万元，一年后利润的随机变量为，记对B项目投资十万元，一年后利润的随机变量为.
( i )求，的概率分布列和数学期望，;
(ii) 如果你是投资决策者，将做出怎样的决策?请写出决策理由.
(二)选考题:共10分，请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.
22. (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数)， 以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为,己知直线l与曲线C有且仅有一个公共点.
(l)求a;
(2) A, B为曲线C上的两点，且∠AOB=，求的最大值.
23. (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
设函数
(1) 当a=1时，求不等式的解集; .
(2)对任意，恒有，求实数a的取值范围.
