广东省东莞市2020届高三4月模拟自测数学（文）试题
展开2020年东莞市普通高中毕业班模拟自测
文科数学
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.
1. 已知集合，则AB=
A B. (-3,1) C. D.
2. 设复数z满足， 则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于
A.第一像限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3. 玫瑰花窗(如右图)是哥特式建筑的特色之一，镶嵌着彩色玻璃
的玫瑰花窗给人以瑰丽之感.构成花窗的图案有三叶形、四叶形、
五叶形、六叶形和八叶形等.右图是四个半圆构成的四叶形，半
圆的连接点构成正方形ABCD，在整个图形中随机取一点，此
点取自正方形区域的概率为
A. B. C. D.
4. 己知定义在R上的奇函数f(x)， 当x>0时，;且f(m)=2，则m=
A. B.4 C.4或 D.4或
5. 已知平面向量、的夹角为135°， 且为单位向量，，则
A. . B. . C.1 D.
6. 已知F1、F2分别为椭圆C: 的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线l交椭圆C于A，B两点，若∆AF2B是边长为4的等边三角形，则椭圆C的方程为
A. B.
C. D.
7.定义运算为执行如图所示的程序框图输出的S值,则
A. B. C.1 D.-1
8.约公元前600年，几何学家泰勒斯第一个测出了金
字塔的高度.如图，金字塔是正四棱锥，泰勒斯先测
量出某个金字塔的底棱长约为230米;然后，他站立
在沙地上,请人不断测量他的影子,当他的影子和身高
相等时，他立刻测量出该金字塔影子的顶点A与相
应底棱中点B的距离约为22.2米.此时，影子的顶点
A和底面中心O的连线恰好与相应的底棱垂直，则
该金字塔的高度约为
A. 115米 B.137.2米 C.230米. D.252.2米
9. 为加强学生音乐素养的培育，东莞市某高中举行“校园十大歌手”比赛，比赛现场有7名评委给选手评分，另外，学校也提前发起了网络评分，学生们可以在网络上给选手评分，场内数百名学生均参与网络评分.某选手参加比赛后，现场评委的评分表和该选手网络得分的条形图如下图所示:
记现场评委评分的平均分为,网络评分的平均分为,所有评委与场内学生评分的平均数为，那么下列选项正确的是
A. B. C. D. 与关系不确定
10.已知函数的最小正周期为π,将f(x)的图象向左平移个单位后，所得图象关于原点对称，则函数f(x)的图象
A.关于直线对称 B.关于直线对称
C.关于点(,0)对称 D. 关于点(,0)对称
11. 已知双曲线C : 的一条渐近线被圆截得的弦长为2b (其中c为双曲线的半焦距)，则双曲线C的离心率为
A. B. C. D. 2
12.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为AB和DD1的中点，经过点B1，E，F的平面交AD于G，则AG=
A. B. C. D.
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡的相应位置上.
13.∆ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，则
14. 已知在的切线方程为, 则k=___________.
15. 已知三棱锥P- ABC中，PA⊥平面ABC，PA=BC=2，∠BAC=,则三棱锥P- ABC的外
接球的表面积为_______。
16.已知在上恰有一个零点，则正实数a的取值范围为_______________。
三、解答题:本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17至21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
(一)必考题:本大题共5小题，每小题12分，共60分.
17. (本小题满分12分)
已知等差数列的前n项和为Sn，
(1)求的通项公式;
(2)设，求的前2n项的和.
18. (本小题满分 12分),
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，其中AB⊥BC,AD// BC, AD=4,
AP= AB=BC=2, E是AD的中点，AC和BE交于点O,且PO⊥平面ABCD.
(1)证明:平面PAC⊥平面PCD;
(2)求点D到平面PCE的距离.
19. . (本小题满分 12分)
已知函数.
(1)讨论函数f(x)的单调性:
(2)若函数在上恒成立，求a的取值范围.
20.在平面直角坐标系xOy中，已知圆N：，圆心N(1,0)，点E在直线上，点P满足,点P的轨迹为曲线M。
(1)求曲线M的方程.
(2)过点N的直线l分别交M和圆N于点A、B、C、D（自上而下），若、、成等差数列，求直线l的方程。
21. (本小题满分 12分)
在党中央的正确领导下，通过全国人民的齐心协力，特别是全体一线医护人员的奋力救治，二月份“新冠肺炎”疫情得到了控制.甲、乙两个地区采取防护措施后，统计了从2月7日到2月13日一周的新增“新冠肺炎”确诊人数，绘制成如下折线图:
(1)根据图中甲、乙两个地区折线图的信息，写出你认为最重要的两个统计结论;
(2)新冠病毒在进入人体后有一段时间的潜伏期，此期间为病毒传播的最佳时期，我们把与病毒感染者有过密切接触的人群称为密切接触者，假设每位密切接触者不再接触其他病毒感染者，10天内所有人不知情且生活照常.
( i )在不加任何防护措施的前提下，假设每位密切接触者被感染的概率均为p(0<p<1).第一天，若某位感染者产生名密切接触者则第二天新增感染者平均人数为ap;第二天，若每位感染者都产生a名密切接触者，则第三天新增感染者平均人数为ap(1+ap);以此类推，记由一名感染者引发的病毒传播的第n天新增感染者平均人数为En(2≤n≤10).写出E4，En ;
(ii)在(i )的条件下，若所有人都配戴口罩后，假设每位密切接触者被感染的概率均为p'，且满足关系p'=ln(1+p) ，此时，记由一名感染者引发的病毒传播的第n天新增感染者平均人数为 (2≤n≤10).当p'最大，且a=10时， 、根据E6和的值说明戴口罩的必要性. (精确到0.1)
参考公式:函数y=ln(1+ x)的导函数，;参考数据: ln3≈1.1， ln2≈0.7, 64 = 1296.
(二)选考题:共10分，请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.
22. (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数)， 以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为,己知直线l与曲线C有且仅有一个公共点.
(l)求a;
(2) A, B为曲线C上的两点，且∠AOB=，求的最大值.
23. (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
设函数
(1) 当a=1时，求不等式的解集; .
(2)对任意，恒有，求实数a的取值范围.
