2021届高考数学（理科）人教版 1轮复习资料（课件+达标练习）第十二章 　复数、算法、推理与证明 (共11份打包)

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一、选择题

1.用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝1时，等号左边的式子应为（　　）

A.1　　　　　　　　　　 B.1＋2

C.1＋2＋22   D.1＋2＋22＋23

答案：D

2.若f（n）＝1＋＋＋…＋（n∈N*），则f（1）等于（　　）

A.1   B.

C.1＋＋＋＋   D.1＋

答案：C

3.已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋…－＝2时，若已假设n＝k（k≥2，且k为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证（　　）

A.n＝k＋1时等式成立

B.n＝k＋2时等式成立

C.n＝2k＋2时等式成立

D.n＝2（k＋2）时等式成立

答案：B

4.在用数学归纳法证明“平面内有n条（n≥2）直线，任何两条不平行，任何三条不过同一个点的交点个数为”时，第一步验证n0等于（　　）

A.1   B.2

C.3   D.4

答案：B

二、填空题

5.用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上增添的代数式是　　　　　　　　　　　　.

答案：（k2＋1）＋（k2＋2）＋…＋（k＋1）2

6.当n∈N*时，1·2＋2·3＋…＋n（n＋1）＝n（n＋1）（an＋b）恒成立，则a－b＝　　　　Ｗ.

解析：由n＝1，2得.

解得a＝，b＝.所以a－b＝－.

答案：－

三、解答题

7.用数学归纳法证明：＋＋＋…＋＝（n∈N*）.

证明：（1）当n＝1时，左边＝＝，

右边＝＝，

左边＝右边，即等式成立.

（2）假设n＝k（k∈N*）时等式成立，即＋＋＋…＋＝，

则当n＝k＋1时，＋＋＋…＋＋

＝＋＝＝＝＝.

所以当n＝k＋1时，等式也成立，

由（1）（2）可知，对于一切n∈N*等式都成立.

8.设数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝2nan＋1－3n2－4n，n∈N*，且S3＝15.

（1）求a1，a2，a3的值；

（2）猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明.

解：（1）由Sn＝2nan＋1－3n2－4n，得S2＝4a3－20，S3＝S2＋a3＝5a3－20.又S3＝15，所以a3＝7，S2＝4a3－20＝8.

又S2＝S1＋a2＝（2a2－7）＋a2＝3a2－7，

所以a2＝5，a1＝S1＝2a2－7＝3.

综上知a1＝3，a2＝5，a3＝7.

（2）由（1）猜想an＝2n＋1（n∈N*），以下用数学归纳法证明：

①当n＝1时，结论显然成立；

②假设当n＝k（k∈N*，且k≥2）时，有ak＝2k＋1成立，

则Sk＝3＋5＋7＋…＋（2k＋1）

＝×k＝k（k＋2）.

又Sk＝2kak＋1－3k2－4k，

所以k（k＋2）＝2kak＋1－3k2－4k，

解得ak＋1＝2k＋3＝2（k＋1）＋1，

即当n＝k＋1时，结论成立.

由①②知，数列{an}的通项公式为an＝2n＋1（n∈N*）.

9.已知点Pn（an，bn）满足an＋1＝an·bn＋1，bn＋1＝（n∈N*）且点P1的坐标为（1，－1）.

（1）求过点P1，P2的直线l的方程；

（2）试用数学归纳法证明：对于n∈N*，点Pn都在（1）中的直线l上.

解：（1）由P1的坐标为（1，－1）知a1＝1，b1＝－1.

所以b2＝＝，a2＝a1·b2＝.

所以点P2的坐标为.

所以直线l的方程为2x＋y＝1.

（2）证明：①当n＝1时，

2a1＋b1＝2×1＋（－1）＝1成立.

②假设n＝k（k∈N*，k≥1）时，2ak＋bk＝1成立，

则2ak＋1＋bk＋1＝2ak·bk＋1＋bk＋1

＝（2ak＋1）＝＝＝1，

所以当n＝k＋1时，命题也成立.

由①②知，对n∈N*，都有2an＋bn＝1，

即点Pn都在直线l上.

10.是否存在a，b∈R，使得等式13＋23＋33＋…＋n3＝对于一切n∈N*均成立.并说明理由.

解：当n＝1，2时，

解之得a＝b＝1.

所以存在a＝b＝1使得等式13＋23＋33＋…＋n3＝＝对于n＝1，2成立.

下面用数学归纳法探讨13＋23＋33＋…＋n3＝（n∈N）*是否正确.

（1）当n＝1时，左边＝13＝1，右边＝＝1.等式成立.

（2）假设n＝k（k∈N*）时，等式成立.

即13＋23＋33＋…＋k3＝，则当n＝k＋1时，13＋23＋33＋…＋k3＋（k＋1）3＝＋（k＋1）3＝＝

＝，

即n＝k＋1时，等式也成立.

由（1）（2）可知，存在a＝b＝1，使得等式13＋23＋33＋…＋n3＝对于一切n∈N*均成立.