2021届高考数学（理科）人教版 1轮复习资料（课件+达标练习）第十三章 选考部分 (共11份打包)

1．设x，y，z∈R，2x－y－2z＝6，试求x2＋y2＋z2的最小值．

解：考虑以下两组向量u＝(2，－1，－2)，v＝(x，y，z)，

根据柯西不等式(u·v)2≤|u|2·|v|2，

得[2x＋(－1)y＋(－2)z]2≤[22＋(－1)2＋(－2)2](x2＋y2＋z2)，

即(2x－y－2z)2≤9(x2＋y2＋z2)，

将2x－y－2z＝6代入其中，

得36≤9(x2＋y2＋z2)，

即x2＋y2＋z2≥4，

故x2＋y2＋z2的最小值为4．

2．设x，y，z∈R，x2＋y2＋z2＝25，试求x－2y＋2z的最大值与最小值．

解：根据柯西不等式，有(1·x－2·y＋2·z)2≤[12＋(－2)2＋22](x2＋y2＋z2)，

即(x－2y＋2z)2≤9×25，所以－15≤x－2y＋2z≤15，

故x－2y＋2z的最大值为15，最小值为－15．

3．已知大于1的正数x，y，z满足x＋y＋z＝3．求证：＋＋≥．

证明：由柯西不等式及题意得，

·[(x＋2y＋3z)＋(y＋2z＋3x)＋(z＋2x＋3y)]≥(x＋y＋z)2＝27．

又(x＋2y＋3z)＋(y＋2z＋3x)＋(z＋2x＋3y)＝6(x＋y＋z)＝18，

所以＋＋≥＝，

当且仅当x＝y＝z＝时，等号成立．

4．已知关于x的不等式|x＋a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}．

(1)求实数a，b的值；

(2)求＋的最大值．

解：(1)由|x＋a|＜b，可得－b－a＜x＜b－a，

所以－b－a＝2且b－a＝4．

解得a＝－3，b＝1．

(2)利用柯西不等式，可得＋＝(＋)≤＝×＝2，当且仅当＝，即t＝2时等号成立．

当t＝2时，＋的最大值为2．

5．设函数f(x)＝|x－4|＋|x－3|，f(x)的最小值为m．

(1)求m的值；

(2)当a＋2b＋3c＝m(a，b，c∈R)时，求a2＋b2＋c2的最小值．

解：(1)法一：f(x)＝|x－4|＋|x－3|≥|(x－4)－(x－3)＝1，故函数f(x)的最小值为1，即m＝1．

法二：f(x)＝

当x≥4时，f(x)≥1；当x<3时，f(x)>1；当3≤x<4时，f(x)＝1，故函数f(x)的最小值为1，即m＝1．

(2)(a2＋b2＋c2)(12＋22＋32)≥(a＋2b＋3c)2＝1，故a2＋b2＋c2≥，当且仅当a＝，b＝，c＝时取等号．

故a2＋b2＋c2的最小值为．

6．已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝3．

求证：＋＋≥3．

证明：因为a，b，c∈R＋，由柯西不等式得

≥

即(a＋b＋c)≥(b＋c＋a)2

所以＋＋≥a＋b＋c＝3．即＋＋≥3．

1．已知函数f(x)＝|x－1|＋|x－5|，g(x)＝．

(1)求f(x)的最小值；

(2)记f(x)的最小值为m，已知实数a，b满足a2＋b2＝6，求证：g(a)＋g(b)≤m．

解：(1)因为f(x)＝|x－1|＋|x－5|，

所以f(x)＝|x－1|＋|x－5|＝，

所以f(x)min＝4．

(2)证明：由(1)知m＝4．由柯西不等式得

[1×g(a)＋1×g(b)]2≤(12＋12)[g2(a)＋g2(b)]，

即[g(a)＋g(b)]2≤2(a2＋b2＋2)，

又g(x)＝>0，a2＋b2＝6，

所以g(a)＋g(b)≤4(当且仅当a＝b＝时取等号)．

即g(a)＋g(b)≤m．

2．已知a>0，b>0，c>0，函数f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c的最小值为4．

(1)求a＋b＋c的值；

(2)求a2＋b2＋c2的最小值．

解：(1)因为f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c≥|(x＋a)－(x－b)|＋c＝|a＋b|＋c，

当且仅当－a≤x≤b时，等号成立．

又a>0，b>0，所以|a＋b|＝a＋b，

所以f(x)的最小值为a＋b＋c，

又f(x)的最小值为4，所以a＋b＋c＝4．

(2)由(1)知a＋b＋c＝4，由柯西不等式得×(4＋9＋1)≥

＝(a＋b＋c)2＝16，

故a2＋b2＋c2≥．

当且仅当＝＝，即a＝，b＝，c＝时等号成立．故a2＋b2＋c2的最小值为．