2021届高考数学（理科）人教版 1轮复习资料（课件+达标练习）第四章　三角函数与解三角形 (共15份打包)

一、选择题

1．要得到函数f(x)＝cos 2x的图象，只需将函数g(x)＝sin 2x的图象(　　)

A．向左平移个周期　　　　 B．向右平移个周期

C．向左平移个周期 D．向右平移个周期

解析：选C.因为f(x)＝cos 2x＝sin＝sin，且函数g(x)的周期为＝π，所以将函数g(x)＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，即向左平移个周期，可得函数f(x)＝cos 2x的图象，故选C.

2．将函数y＝cos的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度，所得函数图象的一条对称轴为(　　)

A．x＝　　　　 B．x＝

C．x＝ D．x＝π

解析：选A.将函数y＝cos图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)时，得到函数y＝cos的图象；再将此函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数y＝cos＝cos的图象．该函数图象的对称轴为－＝kπ(k∈Z)，即x＝2kπ＋(k∈Z)．结合选项，只有A符合，故选A.

3．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递增区间为(　　)

A．(－1＋4kπ，1＋4kπ)，k∈Z

B．(－3＋8kπ，1＋8kπ)，k∈Z

C．(－1＋4k，1＋4k)，k∈Z

D．(－3＋8k，1＋8k)，k∈Z

解析：选D.由题图，知T＝4×(3－1)＝8，所以ω＝＝，所以f(x)＝sin.把(1，1)代入，得sin＝1，即＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，又|φ|＜，所以φ＝，所以f(x)＝sin.由2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得8k－3≤x≤8k＋1(k∈Z)，所以函数f(x)的单调递增区间为(8k－3，8k＋1)(k∈Z)，故选D.

4．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则＝(　　)

A．－1   B．

C． D．1

解析：选B.由已知易得ω＝2，由五点法作图可知2×＋φ＝，得φ＝，即f(x)＝sin.故f＝1，f＝，f＝－，f＝－1，f＝－，f＝，故＝336×(1＋－－1－＋)＋f＋f＝.故选B.

5．将函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位长度后关于原点对称，则函数f(x)在上的最小值为(　　)

A．－ B．－

C．   D．

解析：选A.将f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位长度得y＝sin＝sin的图象，该图象关于原点对称，即为奇函数，则＋φ＝kπ(k∈Z)，且|φ|＜，所以φ＝－，即f(x)＝sin(2x－)，当x∈时，2x－∈，所以当2x－＝－，即x＝0时，f(x)取得最小值，最小值为－，选A.

6．将函数f(x)＝sin 2x的图象向右平移φ个单位后得到函数g(x)的图象．若对满足|f(x1)－g(x2)|＝2的x1，x2，有|x1－x2|min＝，则φ＝(　　)

A． B.

C．   D.

解析：选D.由已知得g(x)＝sin(2x－2φ)，满足|f(x1)－g(x2)|＝2，不妨设此时y＝f(x)和y＝g(x)分别取得最大值与最小值，又|x1－x2|min＝，令2x1＝，2x2－2φ＝－，此时|x1－x2|＝＝，又0<φ<，故φ＝，选D.

二、填空题

7．已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)，y＝f(x)的部分图象如图，则f＝________．

解析：由题图可知，T＝2＝，

所以ω＝2，所以2×＋φ＝kπ＋(k∈Z)．

又|φ|<，所以φ＝.

又f(0)＝1，所以Atan＝1，得A＝1，

所以f(x)＝tan，

所以f＝tan＝tan＝.

答案：

8．函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)的图象向左平移个单位长度，所得图象经过点，则ω的最小值是________．

解析：依题意得，函数f＝sin(ω＞0)的图象过点，于是有f＝sin[ω(＋)]＝sin ωπ＝0(ω＞0)，ωπ＝kπ，k∈Z，即ω＝k∈Z，因此正数ω的最小值是1.

答案：1

9．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象上的一个最高点和与它相邻的一个最低点的距离为2，且过点，则函数f(x)＝________．

解析：依题意得 ＝2，则＝2，即ω＝，所以f(x)＝sin，由于该函数图象过点，因此sin(π＋φ)＝－，即sin φ＝，而－≤φ≤，故φ＝，所以f(x)＝sin.

答案：sin

10．将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y＝sin x的图象，则f＝________.

解析：y＝sin xy＝sin

y＝sin，

即f(x)＝sin，

所以f＝sin＝sin＝.

答案：

三、解答题

11．某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：

(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；

(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y＝g(x)的图象．若y＝g(x)图象的一个对称中心为，求θ的最小值．

解：(1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－，数据补全如下表：

且函数解析式为f(x)＝5sin.

(2)由(1)知 f(x)＝5sin，

则g(x)＝5sin.

因为函数y＝sin x图象的对称中心为(kπ，0)，k∈Z,

令2x＋2θ－＝kπ，

解得x＝＋－θ，k∈Z.

由于函数y＝g(x)的图象关于点成中心对称，

所以令＋－θ＝，

解得θ＝－，k∈Z.

由θ>0可知，当k＝1时，θ取得最小值.

12．已知f(x)＝2sin＋a＋1.

(1)若x∈R，求f(x)的单调递增区间；

(2)当x∈时，f(x)的最大值为4，求a的值；

(3)在(2)的条件下，求满足f(x)＝1且x∈[－π，π]的x集合．

解：(1)由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，

可得x∈(k∈Z)，

所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．

(2)当x＝时，f(x)取最大值，

f＝2sin＋a＋1＝a＋3＝4，

所以a＝1.

(3)由f(x)＝2sin＋2＝1可得

sin＝－，

则2x＋＝＋2kπ或2x＋＝π＋2kπ，k∈Z，

即x＝＋kπ或x＝＋kπ，k∈Z，

又x∈[－π，π]，

可解得x＝－，－，，，

所以x的集合为.

1．设函数f(x)＝sin＋sin，其中0<ω<3.已知f＝0.

(1)求ω；

(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在上的最小值．

解：(1)因为f(x)＝sin＋sin，

所以f(x)＝sin ωx－cos ωx－cos ωx

＝sin ωx－cos ωx

＝

＝sin.

由题设知f＝0，

所以－＝kπ，k∈Z.

故ω＝6k＋2，k∈Z，又0＜ω＜3，

所以ω＝2.

(2)由(1)得f(x)＝sin，

所以g(x)＝sin＝sin.

因为x∈，

所以x－∈，

当x－＝－，

即x＝－时，g(x)取得最小值－.

2．某市新体育公园的中心广场平面图如图所示，在y轴左侧的观光道(单位：米)曲线段是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)，x∈[－4，0]的图象且最高点为B(－1，4)，在y轴右侧的观光道曲线段是以CO为直径的半圆弧．

(1)试确定A，ω和φ的值；

(2)现要在y轴右侧的半圆中修建一条步行道CDO，点C与半圆弧上的一点D之间设计为直线段(造价为2万元/米)．点D到点O之间设计为沿半圆弧的弧形(造价为1万元/米)．设∠DCO＝θ(弧度)，试用θ来表示修建步行道CDO的造价预算，并求该造价预算的最大值？(注：只考虑步行道的长度，不考虑步行道的宽度)

解：(1)因为最高点为B(－1，4)，所以A＝4.

由图可得＝－1－(－4)＝3，

所以T＝12，

因为T＝＝12，

所以ω＝，

所以4＝4sin，即sin＝1，又0<φ<π，所以φ＝.

(2)由(1)知y＝4sin(x＋)，x∈[－4，0]，得点C(0，2)，

即CO＝2，取CO的中点F，连接DF，DO，

因为弧为半圆弧，

所以∠DFO＝2θ，∠CDO＝90°，

即＝2θ×＝2θ，

则圆弧段的造价预算为2θ万元，

在Rt△CDO中，CD＝2cos θ，

则直线段CD的造价预算为4cos θ万元，

所以步行道CDO的造价预算g(θ)＝4cos θ＋2θ，θ∈.

由g′(θ)＝4(－sin θ)＋2＝2(1－2sin θ)，得当θ＝时，g′(θ)＝0，

当θ∈时，g′(θ)>0，

即g(θ)在上单调递增；

当θ∈时，g′(θ)<0，

即g(θ)在上单调递减．

所以g(θ)在θ＝时取得极大值也是最大值为6＋π，即修建步行道CDO的造价预算的最大值为万元．