第2讲 空间向量与立体几何（知识点串讲）（复习讲义）

第2讲 空间向量与立体几何（知识点串讲）一、[体系构建]二、知识整合考点1．空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底．例1、(2019·山东威海月考)若向量c垂直于不共线的向量a和b，d＝λa＋μb(λ、μ∈R，且λμ≠0)，则(　　)A．c∥dB．c⊥dC．c不平行于d，c也不垂直于dD．以上三种情况均有可能【答案】B　[由题意得，c垂直于由a，b确定的平面．∵d＝λa＋μb，∴d与a，b共面．∴c⊥d.][跟踪训练]1、 (2019·河南新乡联考)O为空间任意一点，若＝＋＋，则A，B，C，P四点(　　)A．一定不共面 B．一定共面C．不一定共面 D．无法判断【答案】B　[∵＝＋＋，且＋＋＝1. ∴P，A，B，C四点共面．]   考点2．两个向量的数量积(1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)空间向量数量积的运算律：①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.考点3．空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3). 向量表示坐标表示数量积a·ba1b1＋a2b2＋a3b3共线a＝λb(b≠0，λ∈R)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模|a|夹角cos〈a，b〉(a≠0，b≠0)例2、（2019年海南月考）如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，O为AC的中点．(1)化简－－＝________.(2)用，，表示，则＝________.【答案】(1)　(2)＋＋　[(1)－－＝－(＋)＝－＝＋＝.(2)因为＝＝(＋)．所以＝＋＝(＋)＋＝＋＋.]　[跟踪训练]2、（2019·山西太原期末）已知P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，点M在线段PC上，点N在线段PD上，且PM＝2MC，PN＝ND，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝________.【答案】－　[如图，＝－＝－＝(－)－(＋)＝－＋－(＋)＝－－＋.所以x＋y＋z＝－－＋＝－.]  考点4．直线的方向向量与平面的法向量(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量．(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．考点5．空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1∥l2n1∥n2⇔n1＝λn2l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2＝0直线l的方向向量为n，平面α的法向量为ml∥αn⊥m⇔m·n＝0l⊥αn∥m⇔n＝λm平面α，β的法向量分别为n，mα∥βn∥m⇔n＝λmα⊥βn⊥m⇔n·m＝0例3、(2019·辽宁大连月考)向量a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)，下列结论正确的是(　　)A．a∥b，a∥c B．a∥b，a⊥cC．a∥c，a⊥b D．以上都不对【答案】C　[因为c＝(－4，－6,2)＝2(－2，－3,1)＝2a，所以a∥c. 又a·b＝(－2)×2＋(－3)×0＋1×4＝0，所以a⊥b.][跟踪训练]3、(2019·山西晋中联考)已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，则λ与μ的值可以是(　　)A．2， B．－， C．－3,2 D．2,2【答案】A　[ ∵a∥b，∴b＝ka，即(6,2μ－1,2λ)＝k(λ＋1,0,2)，∴解得或]   考点6．异面直线所成角设异面直线a，b所成的角为θ，则cos θ＝， 其中a，b分别是直线a，b的方向向量．考点7．直线与平面所成角如图所示，设l为平面α的斜线，l∩α＝A，a为l的方向向量，n为平面α的法向量，φ为l与α所成的角，则sin φ＝|cos〈a，n〉|＝.考点8．二面角若AB，CD分别是二面角α­l­β的两个平面内与棱l垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向量与的夹角，如图(1)．平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为n1，平面β的法向量为n2，〈n1，n2〉＝θ，则二面角α ­l ­β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则|cos φ|＝|cos θ|＝，如图(2)(3)．例4、(2018·全国卷Ⅱ)在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为(　　)A．　　 B．　　C．　　 D．【答案】C　[方法一　如图(1)，在长方体ABCD­A1B1C1D1的一侧补上一个相同的长方体A′B′BA­A1′B1′B1A1.图(1)连接B1B′，由长方体性质可知，B1B′∥AD1，所以∠DB1B′为异面直线AD1与DB1所成的角或其补角．连接DB′，由题意，得DB′＝＝，B′B1＝＝2，DB1＝＝.在△DB′B1中，由余弦定理，得DB′2＝B′B＋DB－2B′B1·DB1·cos∠DB1B′，即5＝4＋5－2×2cos∠DB1B′，∴cos∠DB1B′＝.故选C．方法二　如图(2)，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．图(2)由题意，得A(1,0,0)，D(0,0,0)，D1(0,0，)，B1(1,1，)，∴＝(－1,0，)，＝(1,1，)，∴·＝－1×1＋0×1＋()2＝2，||＝2，||＝，∴cos〈，〉＝＝＝.][跟踪训练]4、(2018·全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF.(1)证明：平面PEF⊥平面ABFD；(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值．【答案】(1)证明　由已知可得BF⊥PF，BF⊥EF，所以BF⊥平面PEF.又BF⊂平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD.(2)解　如图，作PH⊥EF，垂足为H.由(1)得，PH⊥平面ABFD.以H为坐标原点，的方向为y轴正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H­xyz.由(1)可得，DE⊥PE.又DP＝2，DE＝1，所以PE＝.又PF＝1，EF＝2，所以PE⊥PF.所以PH＝，EH＝.则H(0,0,0)，P，D，＝，＝.又为平面ABFD的法向量，设DP与平面ABFD所成角为θ，则sin θ＝＝＝.所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为.