第2讲 随机变量及其分布（知识点串讲）（复习讲义）

第2讲 随机变量及其分布

1．离散型随机变量
随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．
2．离散型随机变量的分布列及性质
(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则下表称为离散型随机变量X的概率分布列.
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
(2)离散型随机变量的分布列的性质：
①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋p3＋…＋pn＝1．
例1．(2019·山东济宁检测)已知随机变量X的分布列为：P(X＝k)＝，k＝1,2，…，则P(2，所以M会入选最终的大名单．
(2)M获胜场数X的可能取值为0,1,2,3，则
P(X＝0)＝P( )
＝××＝；
P(X＝1)＝P(A )＋P( C)＋P(B)＝××＋××＋××＝＝；
P(X＝2)＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)
＝××＋××＋××＝；
P(X＝3)＝P(ABC)＝××＝＝，所以M获胜场数X的分布列为：
X
0
1
2
3
P




数学期望为E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝．
练习. (2019·山东沂水模拟)甲、乙、丙3位大学生同时应聘某个用人单位的职位，3人能被选中的概率分别为，，，且各自能否被选中互不影响．
(1)求3人同时被选中的概率；
(2)求3人中至少有1人被选中的概率．
解　记甲、乙、丙能被选中的事件分别为A，B，C，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝．
(1)3人同时被选中的概率
P1＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝××＝．
(2)法一：3人中有2人被选中的概率
P2＝P(AB∪AC∪BC)
＝××＋××＋××＝．
3人中只有1人被选中的概率
P3＝P(A ∪B∪ C)＝××＋××＋××＝．
故3人中至少有1人被选中的概率为P1＋P2＋P3＝＋＋＝．
法二：3人都未被选中的概率为
P( )＝＝，
所以3人中至少有一人被选中的概率为1－＝.
7．独立重复试验与二项分布
(1)独立重复试验
在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验．Ai(i＝1,2，…，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．
(2)二项分布
在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率是p，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率.在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)．
例5．(全国卷Ⅰ)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为(　　)
A．0.648　 B．0.432　
C．0.36　 D．0.312
【答案】A　[3次投篮投中2次的概率为P(k＝2)＝C×0.62×(1－0.6)，投中3次的概率为P(k＝3)＝0.63，所以通过测试的概率为P(k＝2)＋P(k＝3)＝C×0.62×(1－0.6)＋0.63＝0.648.]
练习. (2019·山东济南模拟)某市为了调查学校“阳光体育活动”在高三年级的实施情况，从本市某校高三男生中随机抽取一个班的男生进行投掷实心铅球(重3 kg)测试，成绩在6.9米以上的为合格．把所得数据进行整理后，分成5组画出频率分布直方图的一部分(如图所示)，已知成绩在[9.9,11.4)的频数是4．

(1)求这次铅球测试成绩合格的人数；
(2)若从今年该市高中毕业男生中随机抽取两名，记ξ表示两人中成绩不合格的人数，利用样本估计总体，求ξ的分布列．
解　(1)由直方图，知成绩在[9.9,11.4)的频率为
1－(0.05＋0.22＋0.30＋0.03)×1.5＝0.1．
因为成绩在[9.9,11.4)的频数是4，
故抽取的总人数为＝40．
又成绩在6.9米以上的为合格，所以这次铅球测试成绩合格的人数为40－0.05×1.5×40＝37．
(2)ξ的所有可能的取值为0,1,2，利用样本估计总体，从今年该市高中毕业男生中随机抽取一名成绩合格的概率为，成绩不合格的概率为
1－＝，可判断ξ～B．
P(ξ＝0)＝C×2＝，
P(ξ＝1)＝C××＝，
P(ξ＝2)＝C×2＝，
故所求分布列为
X
0
1
2
P




8．均值
(1)一般地，若离散型随机变量X的分布列为：
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
(2)若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量，且E(aX＋b)＝aE(X)＋b．
(3)①若X服从两点分布，则E(X)＝p；
②若X～B(n，p)，则E(X)＝np．
9．方差
(1)设离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
则(xi－E(X))2描述了xi(i＝1,2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度．而D(X)＝(xi－E(X))2pi为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度.称D(X)为随机变量X的方差，并称其算术平方根为随机变量X的标准差．
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)．
(3)若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)．
(4)若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)．
例6．(2019·江西上饶月考)已知随机变量X服从二项分布B(n，p)，若E(X)＝30，D(X)＝20，则p＝____________．
【答案】　[由于X～B(n，p)，且E(X)＝30，D(X)＝20，
所以解之得p＝.]
练习. (2018·全国卷Ⅰ)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p(02)＝.]
练习．(2019·山东德州模拟)已知某公司生产的一种产品的质量X(单位：克)服从正态分布N(100,4)，现从该产品的生产线上随机抽取10 000件产品，其中质量在[98,104]内的产品估计有(　　)
(附：若X服从N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.682 7，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.954 5)
A．4 093件 B．4 772件
C．6 827件 D．8 186件
【答案】 D　[由题意可得，该正态分布的对称轴为x＝100，且σ＝2，则质量在[96,104]内的产品的概率为P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.954 5，而质量在[98,102]内的产品的概率为P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.682 7，结合对称性可知，质量在[98,104]内的产品的概率为0.682 7＋＝0.818 6，据此估计质量在[98,104]内的产品的数量为10 000×0.818 6＝8 186(件)．]