高中数学人教版新课标A必修3第二章 统计综合与测试学案设计

章末复习

学习目标　1.会根据不同的特点选择适当的抽样方法获得样本数据.2.能利用图、表对样本数据进行整理分析，用样本和样本的数字特征估计总体.3.能利用散点图对两个变量是否相关进行初步判断，能用线性回归方程进行预测.

1.抽样方法

(1)用随机数法抽样时，对个体所编号码位数要相同，当问题所给位数不同时，以位数较多的为准，在位数较少的数前面添“0”，凑齐位数.

(2)用系统抽样法时，如果总体容量N能被样本容量n整除，抽样间隔为k＝；如果总体容量N不能被样本容量n整除，先用简单随机抽样剔除多余个体，抽样间隔为k＝(其中K＝N－多余个体数).

(3)三种抽样方法的异同点

2.用样本估计总体

(1)用样本估计总体

用样本频率分布估计总体频率分布时，通常要对给定的一组数据作频率分布表与频率分布直方图.当样本只有两组数据且样本容量比较小时，用茎叶图刻画数据比较方便.

(2)样本的数字特征

样本的数字特征可分为两大类：一类是反映样本数据集中趋势的，包括众数、中位数和平均数；另一类是反映样本波动大小的，包括方差及标准差.

3.变量间的相关关系

(1)两个变量之间的相关关系的研究，通常先作变量的散点图，根据散点图判断这两个变量最接近于哪种确定性关系(函数关系).

(2)求回归方程的步骤：

①先把数据制成表，从表中计算出，，x，xiyi；

②计算回归系数，，公式为

③写出回归方程＝x＋.

类型一　用样本的频率分布估计总体

例1　某制造商生产一批直径为40 mm的乒乓球，现随机抽样检查20个，测得每个球的直径(单位：mm，保留两位小数)如下：

40.03　40.00　39.98　40.00　39.99　40.00　39.98

40.01　39.98　39.99　40.00　39.99　39.95　40.01

40.02　39.98　40.00　39.99　40.00　39.96

(1)完成下面的频率分布表，并画出频率分布直方图；

(2)假定乒乓球的直径误差不超过0.02 mm为合格品.若这批乒乓球的总数为10 000，试根据抽样检查结果估计这批产品的合格个数.

考点　样本估计总体

题点　用样本的频率分布估计总体的频率分布

解　(1)频率分布表如下：

频率分布直方图如图.

(2)∵抽样的20个产品中在[39.98,40.02]范围内的有17个，∴合格品合格率为×100%＝85%.

∴10 000×85%＝8 500.

故根据抽样检查结果，可以估计这批产品的合格个数为8 500.

反思与感悟　总体分布中相应的统计图表主要包括：频率分布表、频率分布直方图、频率分布折线图等.通过这些统计图表给出的相应统计信息可以估计总体.

跟踪训练1　某市民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10 000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：

(1)如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？

(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w＝3时，估计该市居民该月的人均水费.

考点　样本估计总体

题点　用样本的频率分布估计总体的频率分布

解　(1)如题图所示，用水量在[0.5,3)的频率的和为

(0.2＋0.3＋0.4＋0.5＋0.3)×0.5＝0.85.

∴用水量小于等于3立方米的频率为0.85，又w为整数，

∴为使80%以上的居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为3.

(2)当w＝3时，该市居民该月的人均水费估计为

(0.1×1＋0.15×1.5＋0.2×2＋0.25×2.5＋0.15×3)×4＋0.15×3×4＋[0.05×(3.5－3)＋0.05×(4－3)＋0.05×(4.5－3)]×10＝7.2＋1.8＋1.5＝10.5(元).

即该市居民该月的人均水费估计为10.5元.

类型二　用样本的数字特征估计总体的数字特征

例2　为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩(百分制)作为样本，样本数据的茎叶图如图.

(1)若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率(60分及60分以上为及格)；

(2)设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为1，2，估计1－2的值.

考点　样本估计总体

题点　用样本的数字特征估计总体的数字特征

解　(1)设甲校高三年级学生总人数为n.

由题意，知＝0.05，解得n＝600.

样本中甲校高三年级学生数学成绩不及格的人数为5，据此估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率为

1－＝.

(2)设甲、乙两校样本平均数分别为，.

根据样本茎叶图知，30(－)＝30－30

＝(7－5)＋(55＋8－14)＋(24－12－65)＋(26－24－79)＋(22－20)＋92

＝2＋49－53－77＋2＋92＝15.

因此－＝0.5，所以1－2的估计值为0.5分.

反思与感悟　样本的数字特征分为两大类：一类是反映样本数据集中趋势的特征数，例如平均数；另一类是反映样本数据波动大小的特征数，例如方差和标准差.通常我们用样本的平均数和方差(标准差)来近似代替总体的平均数和方差(标准差)，从而实现对总体的估计.

跟踪训练2　对甲、乙的学习成绩进行抽样分析，各抽5门功课，得到的观测值如下：

问：甲、乙谁的平均成绩好？谁的各门功课发展较平衡？

考点　样本估计总体

题点　用样本的数字特征估计总体的数字特征

解　甲的平均成绩为甲＝74，乙的平均成绩为乙＝73.所以甲的平均成绩好.

甲的方差是s＝[(－14)2＋62＋(－4)2＋162＋(－4)2]＝104，乙的方差是s＝×[72＋(－13)2＋(－3)2＋72＋22]＝56.

因为s>s，所以乙的各门功课发展较平衡.

类型三　变量间的相关关系

例3　理论预测某城市2020到2024年人口总数与年份的关系如下表所示：

(1)请画出上表数据的散点图；

(2)指出x与y是否线性相关；

(3)若x与y线性相关，请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的回归方程＝x＋；

(4)据此估计2025年该城市人口总数.

(参数数据：0×5＋1×7＋2×8＋3×11＋4×19＝132,02＋12＋22＋32＋42＝30)

考点　变量间的相关关系

题点　变量间的相关关系

解　(1)数据的散点图如图：

(2)由散点图可知，样本点基本上分布在一条直线附近，故x与y呈线性相关.

(3)由表知＝×(0＋1＋2＋3＋4)＝2，

＝×(5＋7＋8＋11＋19)＝10.

∴＝＝3.2，

＝－＝3.6，

∴回归方程为＝3.2x＋3.6.

(4)当x＝5时，＝19.6(十万)＝196万.

故2025年该城市人口总数约为196万.

反思与感悟　对两个变量进行研究，通常是先作出两个变量之间的散点图，根据散点图直观判断两个变量是否具有线性相关关系，如果具有，就可以应用最小二乘法求线性回归方程.由于样本可以反映总体，所以可以利用所求的线性回归方程，对这两个变量所确定的总体进行估计，即根据一个变量的取值，预测另一个变量的取值.

跟踪训练3　某车间为了制定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次试验，得到的数据如下：

(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；

(2)求出y关于x的线性回归方程＝x＋，并在坐标系中画出回归直线；

(3)试预测加工10个零件需要多少小时？

考点　变量间的相关关系

题点　变量间的相关关系

解　(1)散点图如图.

(2)由表中数据得：iyi＝52.5，

＝3.5，＝3.5，＝54，

∴ ＝0.7，∴＝1.05，

∴＝0.7x＋1.05，回归直线如图所示.

(3)将x＝10代入线性回归方程，

得＝0.7×10＋1.05＝8.05，

故预测加工10个零件约需要8.05小时.

1.一个容量为80的样本中，数据的最大值是140，最小值是50，组距是10，这里将样本数据分为(　　)

A.10组   B.9组

C.8组   D.7组

考点　抽样方法

题点　抽样方法中的计算

答案　B

解析　组数＝＝＝9.

2.现有10个数，其平均数是4，且这10个数的平方和是200，那么这组数的标准差是(　　)

A.1   B.2

C.3   D.4

考点　方差与标准差

题点　求标准差

答案　B

解析　设这10个数为a1，a2，…，a10，则有a＋a＋…＋a＝200，且a1＋a2＋…＋a10＝40，

所以

＝

＝＝4，∴标准差为＝2.

3.某农田施肥量x(单位：kg)与小麦产量y(单位：kg)之间的回归方程是＝4x＋250，则当施肥量为50 kg时，可以预测小麦的产量为________kg.

考点　变量间的相关关系

题点　变量间的相关关系

答案　450

解析　直接将x＝50代入回归方程中，可得＝4×50＋250＝450.

4.如图所示是一次考试结果的频率分布直方图，则据此估计这次考试的平均分为________.

考点　平均数

题点　由表或图估计平均数

答案　75

解析　利用组中值估算平均分，则有＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.4＋85×0.2＋95×0.1＝75，故估计这次考试的平均分为75.

5.从某学校的男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155 cm和195 cm之间，将测量结果按如下方式分成八组；第一组[155,160)，第二组[160,165)，…，第八组[190,195].如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组的人数相同，第六组的人数为4.

(1)求第七组的频率；

(2)估计该校的800名男生的身高的中位数以及身高在180 cm以上(含180 cm)的人数.

考点　样本估计总体

题点　用样本的频率分布估计总体的频率分布

解　(1)第六组的频率为＝0.08，所以第七组的频率为1－0.08－5×(0.008×2＋0.016＋0.04×2＋0.06)＝0.06.

(2)身高在第一组[155,160)的频率为0.008×5＝0.04，

身高在第二组[160,165)的频率为0.016×5＝0.08，

身高在第三组[165,170)的频率为0.04×5＝0.2，

身高在第四组[170,175)的频率为0.04×5＝0.2，

由于0.04＋0.08＋0.2＝0.32＜0.5,0.04＋0.08＋0.2＋0.2＝0.52＞0.5，

估计这所学校的800名男生的身高的中位数为m，则170＜m＜175，

由0.04＋0.08＋0.2＋(m－170)×0.04＝0.5，得m＝174.5，所以可估计这所学校的800名男生的身高的中位数为174.5，

由直方图得后三组频率为0.06＋0.08＋0.008×5＝0.18，

所以身高在180 cm以上(含180 cm)的人数为0.18×800＝144.

1.用频率分布直方图解决相关问题时，应正确理解图中各个量的意义，识图掌握信息是解决该类问题的关键.频率分布直方图有以下几个特点：

1纵轴表示；2频率分布直方图中各小长方形高的比就是相应各组的频率之比；3直方图中各小长方形的面积是相应各组的频率，所有的小长方形的面积之和等于1，即频率之和为1.

2.平均数、中位数、众数与方差、标准差都是重要的数字特征，利用它们可对总体进行一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数可描述总体的集中趋势，方差和标准差可描述波动大小.