人教版新课标A必修5第二章 数列综合与测试导学案及答案

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1　数列中的数学思想

数学思想在以后的学习中起着重要的作用，若能根据问题的题设特点，灵活地运用相应的数学思想，往往能迅速找到解题思路，从而简便、准确求解．
1．方程思想
例1　在等比数列{an}中，已知a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求通项an.
分析　欲求通项an，需求出a1及q，为此根据题设构造关于a1与q的方程组即可求解．
解　方法一　∵a1a3＝a，∴a1a2a3＝a＝8，∴a2＝2.
从而解得a1＝1，a3＝4或a1＝4，a3＝1.
当a1＝1时，q＝2；当a1＝4时，q＝.
故an＝2n－1或an＝23－n.
方法二　由等比数列的定义知a2＝a1q，a3＝a1q2代入已知得，
即
即
将a1＝代入①得2q2－5q＋2＝0，
∴q＝2或q＝，
由②得或
∴an＝2n－1或an＝23－n.
2．分类讨论思想
例2　已知{an}是各项均为正数的等差数列，且lg a1，lg a2，lg a4也成等差数列，若bn＝，n＝1,2,3，…，证明：{bn}为等比数列．
证明　由于lg a1，lg a2，lg a4成等差数列，
所以2lg a2＝lg a1＋lg a4，则a＝a1·a4.
设等差数列{an}的公差为d，
则有(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，
整理得d2＝da1，从而d(d－a1)＝0.
(1)当d＝0时，数列{an}为常数列，
又bn＝，则{bn}也是常数列，
此时{bn}是首项为正数，公比为1的等比数列．
(2)当d＝a1≠0时，
则a2n＝a1＋(2n－1)d＝d＋(2n－1)d＝2nd，
所以bn＝＝·，
这时{bn}是首项b1＝，公比为的等比数列．
综上，{bn}为等比数列．
3．特殊化思想
例3　在数列{an}中，若＝k(k为常数)，n∈N*，则称{an}为“等差比数列”．下列是对“等差比数列”的判断：①k不可能为0；②等差数列一定是等差比数列；③等比数列一定是等差比数列；④等差比数列中可以有无数项为0.其中正确的判断是(　　)
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
分析　本题为新定义题，且结论具有开放性，解决本题可借助新定义构造特殊数列，排除不正确的判断，从而简捷求解．
解析　数列a，a，…，a(a≠0)既是等差数列，又是等比数列，但不满足＝k，即不是等差比数列，故②、③不正确．故选D.
答案　D
4．整体思想
例4　在等比数列{an}中，a9＋a10＝a(a≠0)，a19＋a20＝b，则a99＋a100＝________.
分析　根据题设条件可知＝q10＝，
而＝q90，故可整体代入求解．
解析　设等比数列{an}的公比为q，
则＝q10＝，
又＝q90＝(q10)9＝9，
故a99＋a100＝9(a9＋a10)＝.
答案　

2　求数列通项的四大法宝

1．公式法
题设中有an与Sn的关系式时，常用公式
an＝来求解．
例1　已知数列{an}的前n项和Sn＝3n－2，求其通项公式an.
解　当n＝1时，a1＝S1＝31－2＝1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－2－(3n－1－2)＝3n－3n－1＝2×3n－1，
又a1＝1≠2×31－1，
所以数列{an}的通项公式an＝
2．累加法
若数列{an}满足an－an－1＝f(n－1)(n≥2)，且f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)可求，则可用累加法求通项．
例2　已知数列{an}满足a1＝1，an＝3n－1＋an－1(n≥2)，求其通项公式an.
解　由已知，得an－an－1＝3n－1(n≥2)，
所以a2－a1＝3，a3－a2＝32，a4－a3＝33，…，an－an－1＝3n－1，
以上各式左右两边分别相加，得
an－a1＝3＋32＋33＋…＋3n－1，
所以an＝＋1＝(n≥2)，
又n＝1时，a1＝1＝，所以an＝(n∈N*)．
3．叠乘法
若数列{an}满足＝f(n－1)(n≥2)，其中f(1)·f(2)·…·f(n－1)可求，则可用叠乘法求通项．
例3　已知数列{an}中，a1＝3，an＝an－1(an≠0，n≥2)，求其通项公式an.
解　由a1＝3，an＝an－1，得＝，
所以＝，＝，＝，＝，…，＝(n≥2)，以上各式左右两边分别相乘，得＝，
所以an＝(n≥2)，
又a1＝3＝，所以an＝(n∈N*)．
4．构造法
当题中出现an＋1＝pan＋q(pq≠0且p≠1)的形式时，把an＋1＝pan＋q变形为an＋1＋λ＝p(an＋λ)，即an＋1＝pan＋λ(p－1)，令λ(p－1)＝q，解得λ＝，从而构造出等比数列{an＋λ}．
例4　数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋3(n∈N*)，求其通项公式an.
解　设an＋1＋t＝(an＋t)，则an＋1＝an－t，
与已知比较，得－t＝3，所以t＝－4，
故an＋1－4＝(an－4)，
又a1－4＝1－4＝－3≠0，故数列{an－4}是首项为－3，公比为的等比数列，因此an－4＝－3×n－1，
即an＝4－3×n－1(n∈N*).

3　函数思想在等差数列中的妙用

对比等差数列的通项公式和一次函数的解析式，等差数列的前n项和公式和二次函数的解析式，可以得出等差数列以下三点性质．
性质1：在等差数列{an}中，通项公式an＝a1＋(n－1)d，变形为an＝dn＋(a1－d)，知点(n，an)均在直线y＝dx＋(a1－d)上．
例1　在等差数列{an}中，a12＝21，a45＝153，那么225是第几项？
解　由an＝dn＋a1－d，知点(n，an)在直线：y＝dx＋a1－d上，所以＝＝d，
代入数据得＝，解得n＝63，
即225是这个数列中的第63项．
性质2：在等差数列{an}中，其前n项和Sn＝na1＋d，可变形为＝n＋，知点均在直线y＝x＋a1－上．
例2　在等差数列{an}中，S10＝20，S50＝200，则S2 010的值为________．
解析　由于点在直线y＝x＋a1－上，于是点，，三点共线，
∴＝成立．
把S10＝20，S50＝200代入上式，解得：S2 010＝205 020.
答案　205 020
性质3：在等差数列{an}中，其前n项和Sn＝na1＋d，可变形为Sn＝n2＋n，若设A＝，B＝a1－，则Sn＝An2＋Bn，且点(n，Sn)均在曲线y＝Ax2＋Bx上．
例3　已知等差数列{an}中，Sm＝Sn (m≠n)，则Sm＋n＝______.
解析　
因为Sn＝An2＋Bn，知点(n，Sn)在抛物线y＝Ax2＋Bx上，又Sm＝Sn，所以点P1(m，Sm)与点P2(n，Sn)关于抛物线的对称轴对称，而对称轴方程为x＝，不妨设A0，S12>0，S130，S13