2020年天津市南开区中考数学押题卷

2020年天津市南开区中考数学押题卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题日要求的）
1．（3分）计算9﹣（﹣3）的结果是（　　）
A．6 B．12 C．﹣12 D．﹣3
2．（3分）3tan30°的值等于（　　）
A． B．3 C． D．
3．（3分）5月18日，我市新一批复课开学共涉及全市877所小学、489所中学，63万名中小学生，将“63万”用科学记数法表示为（　　）
A．630×103 B．63×104 C．6.3×105 D．0.63×106
4．（3分）下列常用手机APP的图标中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
5．（3分）如图是由多个相同小立方体搭成的几何体的三视图，则这个几何体是（　　）

A． B． C． D．
6．（3分）已知m＝+2，估计m的值在（　　）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
7．（3分）化简﹣的结果是（　　）
A． B． C． D．
8．（3分）方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
9．（3分）若点A（x1，﹣6），B（x2，﹣2），C（x3，2）在反比例函数y＝（m为常数）的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（　　）
A．x1＜x2＜x3 B．x2＜x1＜x3 C．x2＜x3＜x1 D．x3＜x2＜x1
10．（3分）如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，则∠BDF的度数是（　　）

A．18° B．36° C．54° D．72°
11．（3分）如图，在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4），点C在边AB上，且＝，点D为OB的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为（　　）

A．（2，2） B．（，） C．（，） D．（3，3）
12．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：①abc＜0；②3a+c＞0；③（a+c）2﹣b2＜0；④a+b≤m（am+b）（m为实数）．其中结论正确的个数为（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）把多项式x3﹣25x分解因式的结果是　 　
14．（3分）计算（3+）2的结果等于　 　．
15．（3分）已知直线y＝2x+4与两坐标轴分别交于A，B两点，线段AB的长为　 　．
16．（3分）在学校组织的朗诵比赛中，甲、乙两名学生以抽签的方式从3篇不同的文章中抽取一篇参加比赛，抽签规则是：在3个相同的标签上分别标注字母A、B、C，各代表1篇文章，一名学生随机抽取一个标签后放回，另一名学生再随机抽取，则甲、乙抽中同一篇文章的概率为　 　．
17．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x经过点A，将△ABO绕点B逆时针旋转60°，得到△CBD，若点B的坐标为（4，0），则点C的坐标为　 　．

18．（3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A，B，D，E为格点，C为AD，BE的延长线的交点．
（Ⅰ）sin∠CAB的结果为　 　；
（Ⅱ）若点R在线段AB上，点S在线段BC上，点T在线段AC上，且满足四边形ARST为菱形，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出菱形ARST，并简要说明点R，S，T的位置是如何找到的（不要求证明）　 　．

三、解答题（本大趣共7小题，共66分、解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（8分）解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得　 　；
（Ⅱ）解不等式②，得　 　；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；

（Ⅳ）原不等式组的解集为　 　．
20．（8分）某校350名学生参加植树活动，要求每人植4～7棵，活动结束后随机抽查了若干名学生每人的植树量，并分为四种类型，A：4棵；B：5棵；C：6棵；D：7棵，将各类的人数绘制成了图1和图2两个统计图表．
请根据相关信息回答下列问题：
（Ⅰ）此次共随机抽查了　 　名学生每人的植树量；图①中m的值为　 　；
（Ⅱ）求统计的这组数据的平均数、众数和中位数；
（Ⅲ）根据样本数据，估计这350名学生共植树多少棵？

21．（10分）如图1，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于G，过C点的切线与射线DO相交于点E，直线DB与CE交于点H，OG＝BG，BH＝1．
（Ⅰ）求⊙O的半径；
（Ⅱ）将射线DO绕D点逆时针旋转，得射线DM（如图2），DM与AB交于点M，与⊙O及切线CF分别相交于点N，F，当GM＝GD时，求切线CF的长．

22．（10分）某数学社团成员想利用所学的知识测量某广告牌的宽度（图中线段MN的长），直线MN垂直于地面，垂足为点P．在地面A处测得点M的仰角为58°、点N的仰角为45°，在B处测得点M的仰角为31°，AB＝5米，且A、B、P三点在一直线上．请根据以上数据求广告牌的宽MN的长．
（参考数据：sin58°＝0.85，cos58°＝0.53，tan58°＝1.60，sin31°＝0.52，cos31°＝0.86，tan31°＝0.60．）

23．（10分）某市中心城区居民用水实行以户为单位的三级阶梯收费办法：
第Ⅰ级：居民每户每月用水不超过18吨时，每吨收水费3元；
第Ⅱ级：居民每户每月用水超过18吨但不超过25吨，未超过18吨的部分按第Ⅰ级标准收费，超过的部分每吨收水费4元：
第Ⅲ级：居民每户每月用水超过25吨，未超过25吨的部分按照第Ⅰ、Ⅱ级标准收费，超过的部分每吨收水费6元．
现把上述水费阶梯收费办法称为方案①；假设还存在方案②，居民每户月用水一律按照每吨4元的标准缴费．
设一户居民月用水x吨：
（Ⅰ）根据题意填表：
一户居民月用水量
10
25
36
…
方案①应缴水费（元）
30
　 　
　 　
…
方案②应缴水费（元）
40
100
　 　
…
（Ⅱ）设方案①应缴水费为y1元，方案②应缴水费为y2元，分别求y1，y2关于x的函数解析式；
（Ⅲ）当x＞25时，通过计算说明居民选择哪种付费方式更合算．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点O（0，0），点A（3，0），点C（0，4）；D为AB边上的动点．
（Ⅰ）如图1，将△ABC对折，使得点B的对应点B落在对角线AC上，折痕为CD，求此刻点D的坐标：
（Ⅱ）如图2，将△ABC对折，使得点A的与点C重合，折痕交AB于点D，交AC于点E，求直线CD的解析式；
（Ⅲ）在坐标平面内，是否存在点P（除点B外），使得△APC与△ABC全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（﹣1，0），且OA＝OC＝4OB，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过A，B，C三点．
（1）求A，C两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，当PD的值最大时，求此时点P的坐标及PD的最大值．






















参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题日要求的）
1．【解答】解：9﹣（﹣3）＝9+3＝12．
故选：B．
2．【解答】解：原式＝3×＝．
故选：A．
3．【解答】解：63万＝630000＝6.3×105．
故选：C．
4．【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
5．【解答】解：从主视图看第一列两个正方体，说明俯视图中的左边一列有两个正方体，主视图右边的一列只有一行，说明俯视图中的右边一列两行都只有一个正方体，所以此几何体如图所示：．
故选：B．
6．【解答】解：∵16＜21＜25，
∴，
∴，
即m的值在6和7之间．
故选：C．
7．【解答】解：原式＝﹣
＝﹣
＝，
故选：A．
8．【解答】解：，
①+②得：3x＝6，
解得：x＝2，
把x＝2代入②得：y＝﹣5，
则方程组的解为．
故选：D．
9．【解答】解：∵反比例函数y＝（m为常数），m2+1＞0，
∴在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵点A（x1，﹣6），B（x2，﹣2），C（x3，2）在反比例函数y＝（m为常数）的图象上，﹣6＜﹣2＜0＜2，
∴x2＜x1＜x3，
故选：B．
10．【解答】解：∵AF是⊙O的直径，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
∴，，∠BAE＝108°，
∴，
∴∠BAF＝∠BAE＝54°，
∴∠BDF＝∠BAF＝54°，
故选：C．
11．【解答】解：∵在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4），
∴AB＝OB＝4，∠AOB＝45°，
∵＝，点D为OB的中点，
∴BC＝3，OD＝BD＝2，
∴D（2，0），C（4，3），
作D关于直线OA的对称点E，连接EC交OA于P，
则此时，四边形PDBC周长最小，E（0，2），
∵直线OA 的解析式为y＝x，
设直线EC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴直线EC的解析式为y＝x+2，
解得，，
∴P（，），
故选：C．

12．【解答】解：①∵抛物线开口向上，∴a＞0，
∵抛物线的对称轴在y轴右侧，∴b＜0
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，①错误；
②当x＝﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，
∵，∴b＝﹣2a，
把b＝﹣2a代入a﹣b+c＞0中得3a+c＞0，所以②正确；
③当x＝1时，y＜0，∴a+b+c＜0，
∴a+c＜﹣b，
当x＝﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，
∴a+c＞b，
∴|a+c|＜|b|
∴（a+c）2＜b2，即（a+c）2﹣b2＜0，所以③正确；
④∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴x＝1时，函数的最小值为a+b+c，
∴a+b+c≤am2+mb+c，
即a+b≤m（am+b），所以④正确．
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．【解答】解：x3﹣25x
＝x（x2﹣25）
＝x（x+5）（x﹣5）．
故答案为：x（x+5）（x﹣5）．
14．【解答】解：原式＝9+6+6
＝15+6．
故答案为15+6．
15．【解答】解：令直线y＝2x+4与x轴的交点为点A，与y轴的交点为点B．
当x＝0时，y＝2x+4＝4，
∴点B的坐标为（0，4），OB＝4；
当y＝0时，2x+4＝0，
解得：x＝﹣2，
∴点A的坐标为（﹣2，0），OA＝2．
∴AB＝＝2．
故答案为：2．
16．【解答】解：画树形图得：

所有可能的结果有9种，甲、乙抽中同一篇文章的情况有3种，
∴甲、乙抽中同一篇文章的概率＝＝．
故答案为：．
17．【解答】解：作CH⊥x轴于H点，如图，
当x＝4时，y＝x＝4，则A（4，4），
∴AB＝4，
∵△ABO绕点B逆时针旋转60°，得到△CBD，
∴BC＝BA＝4，∠ABC＝60°，
∴∠CBH＝30°，
在Rt△CBH中，CH＝BC＝2，BH＝CH＝6，
∴OH＝BH﹣OB＝6﹣4＝2，
∴C点坐标为（﹣2，2）．
故答案为（﹣2，2）．

18．【解答】解：（Ⅰ）过点D作DH⊥AB于H．

在Rt△ADH中，AH＝3，DH＝4，
∴AD＝＝＝5，
∴sin∠CAB＝＝，
故答案为．

（Ⅱ）如图，菱形ARST即为所求．

方法：取格点M，W，构造边长为5的菱形AMWD，连接AW交BC于S，取格点T，连接TS，取格点H，连接MH交AS于O，作直线TO交AB于R，连接RS，四边形ARST即为所求．
故答案为：取格点M，W，构造边长为5的菱形AMWD，连接AW交BC于S，取格点T，连接TS，取格点H，连接MH交AS于O，作直线TO交AB于R，连接RS，四边形ARST即为所求．
三、解答题（本大趣共7小题，共66分、解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．【解答】解：（Ⅰ）解不等式①，得x≥﹣2，
（Ⅱ）解不等式②，得x＜3；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来如下：

（Ⅳ）原不等式组的解集为﹣2≤x＜3，
故答案为：x≥﹣2，x＜3，﹣2≤x＜3．
20．【解答】解：（Ⅰ）此次共随机抽查了5÷20%＝25名学生每人的植树量，
m%＝×100%＝40%，
故答案为：25，40；
（Ⅱ）平均数是：＝5.36，
众数是5，中位数是5；
（Ⅲ）350×5.36＝1876（棵），
答：这350名学生共植树1876棵．
21．【解答】解：（Ⅰ）如图1，连接OC，

∵OG＝BG，且OB⊥CG，
∴OC＝BC，
又∵OC＝OB，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠BCH＝30°，∠4＝60°，
∴∠H＝90°，
∵BH＝1，
∴OC＝BC＝2BH＝2，即圆O的半径为2；

（Ⅱ）如图2，过点F作FE⊥DC．交DC延长线于点E，

∴∠CFE+∠FCE＝90°，
∵OC⊥FC，
∴∠OCG+∠FCE＝90°，
∴∠CFE＝∠OCG，
∴tan∠CFE＝tan∠OCG，即＝，
设CE＝x，则EF＝x，
∵GM＝GD，MG⊥CD，
∴∠MDG＝45°，
∵FE⊥ED，
∴∠DFE＝90°﹣∠MDG＝45°＝∠MDG，
∴EF＝ED＝EC+CD，
又∵CD＝2CG＝2×＝2，
∴x＝x+2，
解得x＝3+，
∴FC＝2EC＝6+2．
22．【解答】解：在Rt△APN中，∠NAP＝45°，
∴PA＝PN，
在Rt△APM中，tan∠MAP＝，
设PA＝PN＝x，
∵∠MAP＝58°，
∴MP＝AP•tan∠MAP＝1.6x，
在Rt△BPM中，tan∠MBP＝，
∵∠MBP＝31°，AB＝5，
∴0.6＝，
∴x＝3，
∴MN＝MP﹣NP＝0.6x＝1.8（米），
答：广告牌的宽MN的长为1.8米．
23．【解答】解：（Ⅰ）当x＝25时，方案①应缴水费为：18×3+（25﹣18）×4＝82（元）；
当x＝36时，方案①应缴水费为：18×3+7×4+（36﹣25）×6＝148（元），方案②应缴水费为：36×4＝144元．
故答案为：82；148；144．

（Ⅱ）根据题意得：当x≤18时，y1＝3x；
当18＜x≤25时，y1＝18×3+4（x﹣18）＝4x﹣18；
当x＞25时，y1＝18×3+7×4+6（x﹣25）＝6x﹣68；
∴；
y2＝4x．

（Ⅲ）当x＞25，y1＝y2时，6x﹣68＝4x，解得x＝34，
即当x＝34时，两种付费方式一样；
当x＞25，y1＞y2时，6x﹣68＞4x，解得x＞34，
即当x＞34时，选择方案②付费方式更合算；
当x＞25，y1＜y2时，6x﹣68＜4x，解得x＜34，
即当x＜34时，选择方案①付费方式更合算．
24．【解答】解：（Ⅰ）设D（3，b），根据折叠的性质可得B′D＝BD＝4﹣b，
由勾股定理，得
AC＝＝＝5，
由三角形的面积，得S△ACD＝AD•BC＝AC•B′D，即×3b＝×5×（4﹣b）．
解得b＝，即D（3，）；

（Ⅱ）由折叠可知：CD＝AD，
设AD＝x，则CD＝x，BD＝8﹣x，
由题意得，（8﹣x）2+42＝x2，
解得x＝5，
此时AD＝5，
∴D（4，5），
设直线CD为y＝kx+8，
把D（4，5）代入得5＝4k+8，解得k＝﹣，
∴直线CD的解析式为y＝﹣x+8；

（Ⅲ）①当点P与点O重合时，△APC≌△CBA，此时P（0，0）；
②当点P在第一象限时，如图1，

由△APC≌△CBA得∠ACP＝∠CAB，
则点P在直线CD上．过P作PQ⊥AD于点Q，
在Rt△ADP中，
AD＝，PD＝BD＝4﹣＝，AP＝BC＝2
由AD×PQ＝DP×AP得：×PQ＝×2，
∴PQ＝，
xP＝2+＝，则y＝﹣x+4＝，
故点P（，），
（也可通过Rt△APQ勾股定理求AQ长得到点P的纵坐标）；

③当点P在第二象限时，如图2，

同理可求得：CQ＝，
∴OQ＝4﹣＝，
故点P（﹣，），
综合得，满足条件的点P有三个，为（0，0）或（，）或（﹣，）．
25．【解答】解：（1）OA＝OC＝4OB＝4，
故点A、C的坐标分别为（4，0）、（0，﹣4）；
（2）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4），
即﹣4a＝﹣4，解得：a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣3x﹣4；
（3）直线CA过点C，设其函数表达式为：y＝kx﹣4，
将点A坐标代入上式并解得：k＝1，
故直线CA的表达式为：y＝x﹣4，
过点P作y轴的平行线交AC于点H，

∵OA＝OC＝4，∴∠OAC＝∠OCA＝45°，
∵PH∥y轴，∴∠PHD＝∠OCA＝45°，
设点P（x，x2﹣3x﹣4），则点H（x，x﹣4），
PD＝HPsin∠PFD＝（x﹣4﹣x2+3x+4）＝﹣x2+2x，
∵＜0，∴PD有最大值，当x＝2时，其最大值为2，
此时点P（2，﹣6）．