浙江省丽水市2020年中考数学真题试卷（含解析）

2020年浙江省丽水市中考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）.1．实数3的相反数是　　A． B．3 C． D．2．分式的值是零，则的值为　　A．2 B．5 C． D．3．下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是　　A． B． C． D．4．下列四个图形中，是中心对称图形的是　　A． B． C． D．5．如图，有一些写有号码的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上，从中任意摸出一张，摸到1号卡片的概率是　　A． B． C． D．6．如图，工人师傅用角尺画出工件边缘的垂线和，得到．理由是　　A．连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 C．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线 D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行7．已知点，，，在函数的图象上，则下列判断正确的是　　A． B． C． D．8．如图，是等边的内切圆，分别切，，于点，，，是上一点，则的度数是　　A． B． C． D．9．如图，在编写数学谜题时，“□”内要求填写同一个数字，若设“□”内数字为．则列出方程正确的是　　A． B． C． D．10．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形．连结，相交于点、与相交于点．若，则的值是　　A． B． C． D．二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）11．点在第二象限内，则的值可以是（写出一个即可）　　．12．数据1，2，4，5，3的中位数是　　．13．如图为一个长方体，则该几何体主视图的面积为　　．14．如图，平移图形，与图形可以拼成一个平行四边形，则图中的度数是　　．15．如图是小明画的卡通图形，每个正六边形的边长都相等，相邻两正六边形的边重合，点，，均为正六边形的顶点，与地面所成的锐角为．则的值是　　．16．图1是一个闭合时的夹子，图2是该夹子的主视示意图，夹子两边为，（点与点重合），点是夹子转轴位置，于点，于点，，，，．按图示方式用手指按夹子，夹子两边绕点转动．（1）当，两点的距离最大时，以点，，，为顶点的四边形的周长是　　．（2）当夹子的开口最大（即点与点重合）时，，两点的距离为　　．三、解答题（本题有8小题，共66分，各小题都必须写出解答过程）17．计算：．18．解不等式：．19．某市在开展线上教学活动期间，为更好地组织初中学生居家体育锻炼，随机抽取了部分初中学生对“最喜爱的体育锻炼项目”进行线上问卷调查（每人必须且只选其中一项），得到如图两幅不完整的统计图表．请根据图表信息回答下列问题：抽取的学生最喜爱体育锻炼项目的统计表 类别项目　人数（人　跳绳59　　健身操▲　俯卧撑31　开合跳▲　其它22（1）求参与问卷调查的学生总人数；（2）在参与问卷调查的学生中，最喜爱“开合跳”的学生有多少人？（3）该市共有初中学生8000人，估算该市初中学生中最喜爱“健身操”的人数．20．如图，的半径，于点，．（1）求弦的长．（2）求的长．21．某地区山峰的高度每增加1百米，气温大约降低，气温和高度（百米）的函数关系如图所示．请根据图象解决下列问题：（1）求高度为5百米时的气温；（2）求关于的函数表达式；（3）测得山顶的气温为，求该山峰的高度．22．如图，在中，，，．（1）求边上的高线长．（2）点为线段的中点，点在边上，连结，沿将折叠得到．①如图2，当点落在上时，求的度数．②如图3，连结，当时，求的长23．如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数图象的顶点为，与轴交于点，异于顶点的点在该函数图象上．（1）当时，求的值．（2）当时，若点在第一象限内，结合图象，求当时，自变量的取值范围．（3）作直线与轴相交于点．当点在轴上方，且在线段上时，求的取值范围．24．如图，在平面直角坐标系中，正方形的两直角边分别在坐标轴的正半轴上，分别过，的中点，作，的平行线，相交于点，已知．（1）求证：四边形为菱形．（2）求四边形的面积．（3）若点在轴正半轴上（异于点，点在轴上，平面内是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形与四边形相似？若存在，求点的坐标；若不存在，试说明理由．
 参考答案一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）1．实数3的相反数是　　A． B．3 C． D．解：实数3的相反数是：．故选：．2．分式的值是零，则的值为　　A．2 B．5 C． D．解：由题意得：，且，解得：，故选：．3．下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是　　A． B． C． D．解：、不能运用平方差公式分解，故此选项错误；、不能运用平方差公式分解，故此选项错误；、能运用平方差公式分解，故此选项正确；、不能运用平方差公式分解，故此选项错误；故选：．4．下列四个图形中，是中心对称图形的是　　A． B． C． D．解：、该图形不是中心对称图形，故本选项不合题意；、该图形不是中心对称图形，故本选项不合题意；、该图形是中心对称图形，故本选项符合题意；、该图形不是中心对称图形，故本选项不合题意；故选：．5．如图，有一些写有号码的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上，从中任意摸出一张，摸到1号卡片的概率是　　A． B． C． D．解：共有6张卡片，其中写有1号的有3张，从中任意摸出一张，摸到1号卡片的概率是；故选：．6．如图，工人师傅用角尺画出工件边缘的垂线和，得到．理由是　　A．连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 C．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线 D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行解：由题意，，（垂直于同一条直线的两条直线平行），故选：．7．已知点，，，在函数的图象上，则下列判断正确的是　　A． B． C． D．解：，函数的图象分布在第一、三象限，在每一象限，随的增大而减小，，，，．故选：．8．如图，是等边的内切圆，分别切，，于点，，，是上一点，则的度数是　　A． B． C． D．解：如图，连接，．是的内切圆，，是切点，，，，是等边三角形，，，，故选：．9．如图，在编写数学谜题时，“□”内要求填写同一个数字，若设“□”内数字为．则列出方程正确的是　　A． B． C． D．解：设“□”内数字为，根据题意可得：．故选：．10．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形．连结，相交于点、与相交于点．若，则的值是　　A． B． C． D．解：四边形为正方形，，，，，，又，，，，，，．设，为，的交点，，，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，，，，．故选：．二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）11．点在第二象限内，则的值可以是（写出一个即可）　（答案不唯一）．　．解：点在第二象限内，，则的值可以是（答案不唯一）．故答案为：（答案不唯一）．12．数据1，2，4，5，3的中位数是　3　．解：数据1，2，4，5，3按照从小到大排列是1，2，3，4，5，则这组数据的中位数是3，故答案为：3．13．如图为一个长方体，则该几何体主视图的面积为　20　．解：该几何体的主视图是一个长为4，宽为5的矩形，所以该几何体主视图的面积为．故答案为：20．14．如图，平移图形，与图形可以拼成一个平行四边形，则图中的度数是　30　．解：四边形是平行四边形，，，故答案为：30．15．如图是小明画的卡通图形，每个正六边形的边长都相等，相邻两正六边形的边重合，点，，均为正六边形的顶点，与地面所成的锐角为．则的值是　　．解：如图，作，过点作于，设正六边形的边长为，则正六边形的半径为，边心距．观察图象可知：，，，，．故答案为．16．图1是一个闭合时的夹子，图2是该夹子的主视示意图，夹子两边为，（点与点重合），点是夹子转轴位置，于点，于点，，，，．按图示方式用手指按夹子，夹子两边绕点转动．（1）当，两点的距离最大时，以点，，，为顶点的四边形的周长是　16　．（2）当夹子的开口最大（即点与点重合）时，，两点的距离为　　．解：（1）当，两点的距离最大时，，，共线，此时四边形是矩形，，，，此时四边形的周长为，故答案为16． （2）如图3中，连接交于．由题意，，垂直平分线段，，，，，，．故答案为．三、解答题（本题有8小题，共66分，各小题都必须写出解答过程）17．计算：．解：原式．18．解不等式：．解：，，，．19．某市在开展线上教学活动期间，为更好地组织初中学生居家体育锻炼，随机抽取了部分初中学生对“最喜爱的体育锻炼项目”进行线上问卷调查（每人必须且只选其中一项），得到如图两幅不完整的统计图表．请根据图表信息回答下列问题：抽取的学生最喜爱体育锻炼项目的统计表 类别项目　人数（人　跳绳59　　健身操▲　俯卧撑31　开合跳▲　其它22（1）求参与问卷调查的学生总人数；（2）在参与问卷调查的学生中，最喜爱“开合跳”的学生有多少人？（3）该市共有初中学生8000人，估算该市初中学生中最喜爱“健身操”的人数．解：（1）（人，答：参与调查的学生总数为200人；（2）（人，答：最喜爱“开合跳”的学生有48人；（3）最喜爱“健身操”的学生数为（人，（人，答：最喜爱“健身操”的学生数大约为1600人．20．如图，的半径，于点，．（1）求弦的长．（2）求的长．解：（1）的半径，于点，，，；（2），，，，的长是：．21．某地区山峰的高度每增加1百米，气温大约降低，气温和高度（百米）的函数关系如图所示．请根据图象解决下列问题：（1）求高度为5百米时的气温；（2）求关于的函数表达式；（3）测得山顶的气温为，求该山峰的高度．解：（1）由题意得，高度增加2百米，则气温降低，，高度为5百米时的气温大约是； （2）设关于的函数表达式为，则：，解得，关于的函数表达式为； （3）当时，，解得．该山峰的高度大约为15百米．22．如图，在中，，，．（1）求边上的高线长．（2）点为线段的中点，点在边上，连结，沿将折叠得到．①如图2，当点落在上时，求的度数．②如图3，连结，当时，求的长解：（1）如图1中，过点作于．在中，． （2）①如图2中，，，，，，，． ②如图3中，由（1）可知：，，，，，，，，，即，，在，，．23．如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数图象的顶点为，与轴交于点，异于顶点的点在该函数图象上．（1）当时，求的值．（2）当时，若点在第一象限内，结合图象，求当时，自变量的取值范围．（3）作直线与轴相交于点．当点在轴上方，且在线段上时，求的取值范围．解：（1）当时，，当时，． （2）当时，将代入函数表达式，得，解得或（舍弃），此时抛物线的对称轴，根据抛物线的对称性可知，当时，或5，的取值范围为． （3）点与点不重合，，抛物线的顶点的坐标是，抛物线的顶点在直线上，当时，，点的坐标为，抛物线从图1的位置向左平移到图2的位置，逐渐减小，点沿轴向上移动，当点与重合时，，解得或，当点与点重合时，如图2，顶点也与，重合，点到达最高点，点，，解得，当抛物线从图2的位置继续向左平移时，如图3点不在线段上，点在线段上时，的取值范围是：或．24．如图，在平面直角坐标系中，正方形的两直角边分别在坐标轴的正半轴上，分别过，的中点，作，的平行线，相交于点，已知．（1）求证：四边形为菱形．（2）求四边形的面积．（3）若点在轴正半轴上（异于点，点在轴上，平面内是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形与四边形相似？若存在，求点的坐标；若不存在，试说明理由．【解答】（1）证明：如图1中，，，四边形是平行四边形，四边形是正方形，，，，分别是，的中点，，，，四边形是菱形． （2）解：如图1中，连接．，，，． （3）解：如图1中，连接，设交于，，，，，，，，①当为菱形的一边，点在轴的上方，有图2，图3两种情形：如图2中，设交于，过点作轴于，交于，设．菱形菱形，，，，，是的中位线，，，，，，，，，，，，．如图3中，过点作轴于，过点作轴交于，延长交于．同法可证：，，设，，，是的中位线，，，，，，．②当为菱形的边，点在轴的下方时，有图4，图5两种情形：如图4中，，过点作于，过点作于．是的中位线，，同法可得：，，，，设，则，，，，，点的坐标为，． 如图5中，，过点作轴于交于，过点作于．是的中位线，，，同法可得：，，则，设，则，，，，，，．③如图6中，当为菱形的对角线时，有图6一种情形：过点作轴于于点，交于，过点作于．轴，，，，同法可得：，，，，是的中位线，，，，综上所述，满足条件的点的坐标为或或，或，或．