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    人教版九年级上册课件:22.1.4 第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式
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    数学九年级上册22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质备课课件ppt

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    这是一份数学九年级上册22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质备课课件ppt,共23页。PPT课件主要包含了待定系数法,解这个方程组得,解得a-1,4a+c,-3a+c,c-5,a+b+c=1,c=-4,a-b+c=-5,b=3等内容,欢迎下载使用。

    1.会用待定系数法求二次函数的表达式.(难点)2.会根据待定系数法解决关于二次函数的相关问题.(重点)
    1.一次函数y=kx+b(k≠0)有几个待定系数?通常需要已知几个点的坐标求出它的表达式?
    2.求一次函数表达式的方法是什么?它的一般步骤是什么?
    (1)设:(表达式)(2)代:(坐标代入)(3)解:方程(组)(4)还原:(写表达式)
    问题1 (1)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中有几个待定系数?需要几个抛物线上的点的坐标才能求出来?
    (2)下面是我们用描点法画二次函数的图象所列表格的一部分:
    解: 设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,把(-3,0),(-1,0),(0,-3)代入y=ax2+bx+c得
    ①选取(-3,0),(-1,0),(0,-3),试求出这个二次函数的表达式.
    ∴所求的二次函数的表达式是y=-x2-4x-3.
    待定系数法步骤:1.设:(表达式)2.代:(坐标代入)3.解:方程(组)4.还原:(写解析式)
    这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法.其步骤是:①设函数表达式为y=ax2+bx+c;②代入后得到一个三元一次方程组;③解方程组得到a,b,c的值;④把待定系数用数字换掉,写出函数表达式.
    一般式法求二次函数表达式的方法
    例1 一个二次函数的图象经过 (0, 1)、(2,4)、(3,10)三点,求这个二次函数的表达式.
    解: 设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,由于这个函数经过点(0, 1),可得c=1. 又由于其图象经过(2,4)、(3,10)两点,可得
    ∴所求的二次函数的表达式是
    选取顶点(-2,1)和点(1,-8),试求出这个二次函数的表达式.
    解:设这个二次函数的表达式是y=a(x-h)2+k,把顶点(-2,1)代入y=a(x-h)2+k得
    y=a(x+2)2+1,
    再把点(1,-8)代入上式得
    a(1+2)2+1=-8,
    解得 a=-1.
    ∴所求的二次函数的表达式是y=-(x+2)2+1或y=-x2-4x-3.
    顶点法求二次函数的方法
    这种知道抛物线的顶点坐标,求表达式的方法叫做顶点法.其步骤是:①设函数表达式是y=a(x-h)2+k;②先代入顶点坐标,得到关于a的一元一次方程;③将另一点的坐标代入原方程求出a值;④a用数值换掉,写出函数表达式.
    例2 一个二次函数的图象经点 (0, 1),它的顶点坐标为(8,9),求这个二次函数的表达式.
    解: 因为这个二次函数的图象的顶点坐标为(8,9),因此,可以设函数表达式为 y=a(x-8)2+9.
    解:∵(-3,0)(-1,0)是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点.所以可设这个二次函数的表达式是y=a(x-x1)(x-x2).(其中x1、x2为交点的横坐标.因此得
    y=a(x+3)(x+1).
    再把点(0,-3)代入上式得
    ∴a(0+3)(0+1)=-3,
    ∴所求的二次函数的表达式是y=-(x+3)(x+1),即y=-x2-4x-3.
    选取(-3,0),(-1,0),(0,-3),试出这个二次函数的表达式.
    交点法求二次函数表达式的方法
    这种知道抛物线与x轴的交点,求表达式的方法叫做交点法.其步骤是:①设函数表达式是y=a(x-x1)(x-x2);②先把两交点的横坐标x1, x2代入到表达式中,得到关于a的一元一次方程;③将方程的解代入原方程求出a值;④a用数值换掉,写出函数表达式.
    想一想确定二次函数的这三点应满足什么条件?
    任意三点不在同一直线上(其中两点的连线可平行于x轴,但不可以平行于y轴.
    例3.已知二次函数y=ax2 + c的图象经过点(2,3)和(-1,-3),求这个二次函数的表达式.
    解:∵该图象经过点(2,3)和(-1,-3),
    ∴所求二次函数表达式为 y=2x2-5.
      已知二次函数y=ax2 + bx的图象经过点(-2,8) 和(-1,5),求这个二次函数的表达式.
    解:∵该图象经过点(-2,8)和(-1,5),
    解得a=-1,b=-6.
    ∴ y=-x2-6x.
    1.如图,平面直角坐标系中,函数图象的表达式应是 .
    注 y=ax2与y=ax2+k、y=a(x-h)2、y=a(x-h)2+k一样都是顶点式,只不过前三者是顶点式的特殊形式.
    2.过点(2,4),且当x=1时,y有最值为6,则其表达式是 .
    y=-2(x-1)2+6
    3.已知二次函数的图象经过点(-1,-5),(0,-4)和(1,1).求这个二次函数的表达式.
    解:设这个二次函数的表达式为y=ax2+bx+c.依题意得
    ∴这个二次函数的表达式为y=2x2+3x-4.
    4.已知抛物线与x轴相交于点A(-1,0),B(1,0),且过点M(0,1),求此函数的表达式.
    解:因为点A(-1,0),B(1,0)是图象与x轴的交点,所以设二次函数的表达式为y=a(x+1)(x-1).又因为抛物线过点M(0,1),所以1=a(0+1)(0-1),解得a=-1,所以所求抛物线的表达式为y=-(x+1)(x-1),即y=-x2+1.
    5.如图,抛物线y=x2+bx+c过点A(-4,-3),与y轴交于点B,对称轴是x=-3,请解答下列问题:
    (1)求抛物线的表达式;
    解:(1)把点A(-4,-3)代入y=x2+bx+c得16-4b+c=-3,c-4b=-19.∵对称轴是x=-3,∴ =-3,∴b=6,∴c=5,∴抛物线的表达式是y=x2+6x+5;
    (2)若和x轴平行的直线与抛物线交于C,D两点,点C在对称轴左侧,且CD=8,求△BCD的面积.
    (2)∵CD∥x轴,∴点C与点D关于x=-3对称.∵点C在对称轴左侧,且CD=8,∴点C的横坐标为-7,∴点C的纵坐标为(-7)2+6×(-7)+5=12.∵点B的坐标为(0,5),∴△BCD中CD边上的高为12-5=7,∴△BCD的面积= ×8×7=28.
    ②已知顶点坐标或对称轴或最值
    ③已知抛物线与x轴的两个交点
    用一般式法:y=ax2+bx+c
    用顶点法:y=a(x-h)2+k
    用交点法:y=a(x-x1)(x-x2) (x1,x2为交点的横坐标)
    待定系数法求二次函数解析式
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