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2020年重庆市中考数学试题B卷(word版，含答案)
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重庆市2020年初中学业水平暨高中招生考试数学试题（B卷）（含解答提示）
（全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟）
参考公式：抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(,)，对称轴公式为x=.
一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）
1.5的倒数是（ ）
A.5 B. C.-5 D.
提示：根据倒数的概念.答案B.
2.围成下列立体图形的各个面中，每个面都是平的是（ ）
提示：根据平面与曲面的意义.答案A.
3.计算a∙a2结果正确的是（ ）
A.a B.a2 C.a3 D.a4
提示：根据同底数幂的乘法.答案C.
4.如图，AB是⊙O的直径，A为切点，连接OA,OB，若∠B=35°，
则∠AOB的度数为（ ）
A.65° B.55° C.45° D.35°
提示：利用圆的切线性质.答案B.
5.已知a+b=4，则代数式1+a2+b2的值为（ ）
A.3 B.1 C.0 D.-1
提示：整体代入.答案A.
6.如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心.已知OA∶OD=1∶2，
则△ABC与△DEF的面积比为（ ）
A. 1∶2 B. 1∶3 C. 1∶4 D.1∶5
提示：根据位似图形的性质.答案C.
7.小明准备用40元钱购买作业本和签字笔.已知每个作业本6元，每支签字笔2.2元.小明买了7支签字笔，他最多还可以买的作业个数为（ ）
A.5 B.4 C.3 D.2
提示：利用不等式的整数解或用计算验证法.答案B.
8.下列图形都是由同样大小的实心圆点按一定规律组成的，其中第①个图形一共有5个实心圆点，第②个图形一共有8个实心圆点，第③个图形一共有11个实心圆点，⋯，按此规律排列下去，第⑥个图形中实心圆点的个数为（ ）
A.18 B. 19 C.20 D.21
提示：横排规律2n+1，除去横排后，竖排规律n+1，总规律3n+2.答案C.
9.如图，垂直于水平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖边B点处，某测量员从山脚C点出发沿水平方向前行78米到D点（点A，B，C在同一直线上），再沿斜坡DE方向前行78米到E点（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点E处测得5G信号塔顶端A的仰角为43°，悬崖BC的高为144.5米，斜坡DE的坡度（或坡比）i=1∶2.4，则信号塔AB的高度约为（ ）（参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93）
A.23米 B.24米 C.24.5米 D.25米
提示：如图，作EF⊥CD于F，EG⊥BC于G.易求得EF=30，DF=72，EG=150，AG=139.5.并注意AB+BC=AG+CG.答案D.
10.若关于x的一元一次不等式组2x-1≤3(x-2)x-a2>1 的解集为x≥5，且关于y的分式方程yy-2+a2-y=-1有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A.-1 B.-2 C.-3 D.0
提示：由不等式组的解集为x≥5，得a<3；由分式方程有非负整数解，得a≥-2且a≠2的偶数.答案B.
11.如图，在△ABC中，AC=22，∠ABC=45°，∠BAC=15°，将△ACB沿直线AC翻折至△ABC所在的平面内，得△ACD.过点A作AE，使∠DAE=∠DAC，与CD的延长线交于点E，连接BE，则线段BE的长为（ ）
A.6 B.3 C.23 D.4
提示：依次易得∠ACB=120°，∠ACE=120°，∠CAE=30°，AC=EC，△ABC≌△EBC，BE=BA.延长BC交AE于F，则∠AFC=90°，易得AF=6.答案C.
12.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D(-2,3)，AD=5，若反比例函数y=kx (k>0，x>0)的图象经过点B，则k的值为（ ）
A.163 B.8 C.10 D.323
提示：由D(-2,3)，AD=5易得A(2,0).设AD与y轴交于E，易得E(0,1.5)，作BF垂直于x轴于F，易得△AOE∽△BFA，AF=2，进而可求得B(4,83).答案D.
二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）
13.计算：(15)-1-4 = .
提示：根据算术平方根、负整数指数幂的意义.答案3.
14.经过多年的精准扶贫，截至2019年底，我国的农村贫困人口减少了约94000000人，请把数94000000用科学记数法表示为 .
提示：根据科学记数法的意义.答案9.4×107.
15.盒子里有3张形状、大小、质地完全相同的卡片，上面分别标着数字1，2，3，从中随机抽出1张后不放回，再随机抽出1张，则两次抽出的卡片上的数字之和为奇数的概率是 .
提示：由树状图知总共有6种，符合条件的有4种.答案：23.
16.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠ABC=120°，AB=23，以点O为圆心，OB长为半径画弧，分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为 .（结果保留π）
提示：如图，菱形面积的二分之一减去两个60°扇形的面积.答案：33-π.
17.周末，自行车骑行爱好者甲、乙两人相约沿同一路线从A地出发前往B地进行骑行训练，甲、乙分别以不同的速度匀速骑行，乙比甲早出发5分钟.乙骑行25分钟后，甲以原速的85继续骑行，经过一段时间，甲先到达B地，乙一直保持原速前往B地.在此过程中，甲、乙两人相距的路程y(单位:米)与乙骑行的时间x(单位：分钟)之间的关系如图所示，则乙比甲晚_____分钟到达B地.
提示：由图及题意易乙的速度为300米/分，甲原速度为250米/分，当x=25后，甲提速为400米/分，当x=86时，甲到达B地，此时乙距B地为250(25-5)+400(86-25)-300×86=3600.答案：12.
18.为刺激顾客到实体店消费，某商场决定在星期六开展促销活动.活动方案如下：在商场收银台旁放置一个不透明的箱子，箱子里有红、黄、绿三种颜色的球各一个（除颜色外大小、形状、质地等完全相同），顾客购买的商品达到一定金额可获得一次摸球机会，摸中红、黄、绿三种颜色的球可分别返还现金50元、30元、10元.商场分三个时段统计摸球次数和返现金额，汇总统计结果为:第二时段摸到红球次数为第一时段的3倍，摸到黄球次数为第一时段的2倍,摸到绿球次数为第一时段的4倍；第三时段摸到红球次数与第一时段相同，摸到黄球次数为第一时段的4倍,摸到绿球次数为第一时段的2倍,三个时段返现总金额为2510元,第三时段返现金额比第一时段多420元,则第二时段返现金额为____元
提示：设第一时段统计摸到红、黄、绿球的次数分别为a，b，c，则第二时段统计摸到红、黄、绿球的次数分别为3a，2b，4c，第三时段统计摸到红、黄、绿球的次数分别为a，4b，2c.由题意得250a+210b+70c=2510 50a+120b+20c-50a+30b+10c=420，即25a+21b+7c=2519b+c=42 ，其整数解为a=42n-37 b=25n-21 c=231-225n(其中n为整数)，又a，b，c均是正整数，易得n=1.所以a=5b=4c=6.代入150a+60b+40c即可.答案：1230.
另解：由上9b+c=42，得知b=1，2，3，4.列举符合题意的解即可.
三、解答题（本大题7个小题，每小题10分，共70分）
19.计算：
（1）(x+y)2+y(3x-y)
解：原式=x2+2xy+y2+3xy-y2
=x2+5xy.
（2）(4-a2a-1+a)÷a2-16a-1
解：原式=4-aa-1÷(a+4)(a-4)a-1
=-1a+4
20.如图，在平行四边形ABCD中，AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，交对角线BD于点E，F.
(1)若∠BCF=60°，求∠ABC的度数；
(2)求证：BE=DF.
解与证：（1）∵CF平分∠DCB
∴∠BCD=2∠BCF=120°
∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠ABC=180°-∠BCD=180°-120°=60°.
（2）∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠BAD=∠DCB，AB=CD，AB∥CD.
∴∠ABE=∠CDF.
∵AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，
∴∠BAE=12∠BAD，∠CDF=12∠DCB
∴∠BAE=∠CDF，
∴△ABE≌△CDF，
∴BE=DF
21. 每年的4月15日是我国全民国家安全教育日.某中学在全校七、八年级共800名学生中开展“国家安全法”知识竞赛，并从七、八年级学生中各抽取20名学生统计这部分学生的竞赛成绩(竞赛成绩均为整数，满分10分，6分及以上为合格).相关数据统计、整理如下：
八年级抽取的学生的竞赛成绩：
4，4，6，6，6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，8，9，9，9，10，10.
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a=_____，b=____，c=____.
（2）估计该校七、八年级共800名学生中竞赛成绩达到9分及以上的人数；
（3）根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级“国家安全法”知识竞赛的学生成绩谁更优异.
解：（1）a=7.5，b=8，c=8
（2）估计该校七、八年级共800名学生中竞赛成绩达到9分以上的人数为：
800×5+540=200（人）.
（3）通过中位数、众数、合格率看，八年级的学生成绩更优异.
22.在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数——“好数”.
定义：对于三位自然数n，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数n为“好数”.
例如：426是“好数”，因为4，2，6都不为0，且4+2=6，6能被6整除；
643不是“好数”，因为6+4=10，10不能被3整除.
（1）判断312，675是否是“好数”？并说明理由；
（2）求出百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数，并说明理由.
解：（1）∵3，1，2都不为0，且3+1=4，4能被2整除，∴312是“好数”，
∵6，7，5都不为0，且6+7=12，12不能被5整除，∴675不是“好数”；
（2）设十位数字为x，个位数字为y，则百位数字为(x+5).其中x，y都是正整数，且1≤x≤4，1≤y≤9.十位数字与个位数字的和为：2x+5.
当x=1时，2x+5=7，此时y=1或7，“好数”有：611，617
当x=2时，2x+5=9，此时y=1或3或9，“好数”有：721，723，729
当x=3时，2x+5=11，此时y=1，“好数”有：831
当x=4时，2x+5=13，此时y=1，“好数”有：941
所以百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数是7.理由如上.
23.探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程.结合已有的学习经验，请画出函数y=-12x2+2的图象并探究该函数的性质.
x
⋯
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
⋯
y
⋯
-23
a
-2
-4
b
-4
-2
-1211
-23
⋯
（1）列表，写出表中a，b的值：a=____ ，b= .
描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象.
（2）观察函数图象，判断下列关于函数性质的结论是否正确(在答题卡相应位置正确的用
“√”作答，错误的用“×”作答)：
①函数y=-12x2+2的图象关于y轴对称；
②当x=0时，函数y=-12x2+2有最小值，最小值为-6；
③在自变量的取值范围内函数y的值随自变量x的增大而减小.
（3）已知函数y=-23x-103的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式-12x2+2<-23x-103的解集.
解：（1）a=-1211，b=-6.
所画图象，如图所示.
（2）①√；②√；③×.
（3）x<-4或-2
(1)求A、B两个品种去年平均亩产量分别是多少千克？
(2)今年，科技小组优化了玉米的种植方法，在保持去年种植面积不变的情况下，预计A、B两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加a%和2a%.由于B品种深受市场欢迎，预计每千克售价将在去年的基础上上涨a%，而A品种的售价保持不变，A、B两个品种全部售出后总收人将增加209a%，求a的值.
解：（1）设A、B两个品种去年平均亩产量分别是x、y千克，由题意得
y=x+100 24x+24y=21600，解得x=400y=500.
答：A、B两个品种去年平均亩产量分别是400、500千克
（2）根据题意得：24×4001+a%+241+a%×5001+2a%=21600(1+209a%).
令a%=m，则方程化为：24×4001+m+241+m×5001+2m=21600(1+209m).
整理得10m2-m=0，解得m1=0（不合题意，舍去），m2=0.1
所以a%=0.1，所以a=10，即a的值为10.
25. 如图，在平面直角坐标系中抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，且A点坐标为(-2,0)，直线BC的解析式为y=-23x+2
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点A作AD//BC，交抛物线于点D，点E为直线BC上方抛物线上一动点，连接CE，EB，BD，DC.求四边形BECD面积的最大值及相应点E的坐标；
（3）将抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)向左平移2个单位，已知点M为抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)的对称轴上一动点，点N为平移后的抛物线上一动点.在(2)中，当四边形BECD的面积最大时，是否存在以A，E，M，N为顶点的四边形为平行四边形，若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.
提示：（1）易得B(32,0)，C(0,2)，又A(-2,0)，
所以易求抛物线的解析式为y=-13x2+223x+2；
（2）易求AD的解析式为y=-23x-23，进而D(42,-103).CD的解析式为：y=-223x+2.则CD与x轴的交点F为(322,0).所以易求△BCD的面积为42，设E(x, -13x2+223x+2)，则SBECD的面积=12×32×-13x2+223x+2--23x+2+42=-22x2+3x+42，
当x=322时，四边形BECD面积最大，其最大值为2524，此时E(322,52).
（3）存在.N的坐标为(-322，76)，或(-22，52)，或(722，-112).
注：抛物线y=-13x2+223x+2的顶点是(2，0)，设M(2，m)，N(xn，yn)，又A(-2,0)，E(322,52)，易求平移后抛物线解析式为y=-13x2+83.
根据平行四边形对角线互相平分及中点公式.分类：
①当AM为对角线时，则xn+322=2+(-2)，
解得xn=-322，代入解析式得yn=76.
所以N(-322，76)，如图
对角线交点坐标为(0,116)，M坐标为(2,113)
②当AE为对角线时，则xn+2=322+(-2)，
解得xn=-22，代入解析式得yn=52.
所以N(-22，52)，如图
对角线交点坐标为(24,54)，M坐标为(2,0)
③当AN为对角线时，则xn+(-2)=2+322，
解得xn=722，代入解析式得yn=-112.
所以N(722，-112).如图
对角线交点坐标为(524,-114)，M坐标为(2,-8)
四、解答题（本大题1个小题，共8分）
26. △ABC为等边三角形，AB=8，AD⊥BC于点D，E为线段AD上一点，AE=23 .以AE为边在直线AD右侧构造等边三角形AEF，连接CE，N为CE的中点.
（1）如图1，EF与AC交于点G，连接NG ，求线段NG的长；
（2）如图2，将△AEF绕点A逆时针旋转，旋转角为α，M为线段EF的中点，连接DN，MN.当30°<α<120°时，猜想∠DNM的大小是否为定值，并证明你的结论；
（3）连接BN，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，当线段BN最大时，请直接写出△ADN的面积.
提示：（1）易得∠CGE=90°，NG=12CE，CD=4，DE=23.答案：NG=7.
（2）∠DNM的为定值120°.
连CF，BE，BE交AC于H，DN交AC于G，如图.
易得：BE∥DN，MN∥CF，△ABE≌△ACF.
因此∠DGC=∠BHC，∠ENM=∠ECF，∠ABE=∠ACF
又∠BHC=∠ABE+∠BAH=∠ABE+60°
∴∠DGC=∠ABE+60°=∠ACF+60°
又∠DGC=∠DNC+∠GCN=∠DNC+∠ACF-∠ECF
∴∠DNC=60°+∠ECF=60°+∠ENM
∴∠DGE=180°-∠DNC=120°-∠ENM
∴∠DNM=∠DNE+∠ENM=120°.
（3）△AND的面积为73
如图，取AC中点P，因为BP+PN≥BN，所以当B、P、N在一直线上，BN最大.
易得BN=BP+PN=BP+12AE=43+3=53
设BP与AD交于O，NQ⊥AD于Q，如图.
易得BO=23BP=833，ON=733，BD=4，△ONQ∽△OBD，可求得NQ= 72.
∴△AND的面积为：12×AD×NQ=73.
（全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟）
参考公式：抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(,)，对称轴公式为x=.
一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）
1.5的倒数是（ ）
A.5 B. C.-5 D.
提示：根据倒数的概念.答案B.
2.围成下列立体图形的各个面中，每个面都是平的是（ ）
提示：根据平面与曲面的意义.答案A.
3.计算a∙a2结果正确的是（ ）
A.a B.a2 C.a3 D.a4
提示：根据同底数幂的乘法.答案C.
4.如图，AB是⊙O的直径，A为切点，连接OA,OB，若∠B=35°，
则∠AOB的度数为（ ）
A.65° B.55° C.45° D.35°
提示：利用圆的切线性质.答案B.
5.已知a+b=4，则代数式1+a2+b2的值为（ ）
A.3 B.1 C.0 D.-1
提示：整体代入.答案A.
6.如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心.已知OA∶OD=1∶2，
则△ABC与△DEF的面积比为（ ）
A. 1∶2 B. 1∶3 C. 1∶4 D.1∶5
提示：根据位似图形的性质.答案C.
7.小明准备用40元钱购买作业本和签字笔.已知每个作业本6元，每支签字笔2.2元.小明买了7支签字笔，他最多还可以买的作业个数为（ ）
A.5 B.4 C.3 D.2
提示：利用不等式的整数解或用计算验证法.答案B.
8.下列图形都是由同样大小的实心圆点按一定规律组成的，其中第①个图形一共有5个实心圆点，第②个图形一共有8个实心圆点，第③个图形一共有11个实心圆点，⋯，按此规律排列下去，第⑥个图形中实心圆点的个数为（ ）
A.18 B. 19 C.20 D.21
提示：横排规律2n+1，除去横排后，竖排规律n+1，总规律3n+2.答案C.
9.如图，垂直于水平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖边B点处，某测量员从山脚C点出发沿水平方向前行78米到D点（点A，B，C在同一直线上），再沿斜坡DE方向前行78米到E点（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点E处测得5G信号塔顶端A的仰角为43°，悬崖BC的高为144.5米，斜坡DE的坡度（或坡比）i=1∶2.4，则信号塔AB的高度约为（ ）（参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93）
A.23米 B.24米 C.24.5米 D.25米
提示：如图，作EF⊥CD于F，EG⊥BC于G.易求得EF=30，DF=72，EG=150，AG=139.5.并注意AB+BC=AG+CG.答案D.
10.若关于x的一元一次不等式组2x-1≤3(x-2)x-a2>1 的解集为x≥5，且关于y的分式方程yy-2+a2-y=-1有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A.-1 B.-2 C.-3 D.0
提示：由不等式组的解集为x≥5，得a<3；由分式方程有非负整数解，得a≥-2且a≠2的偶数.答案B.
11.如图，在△ABC中，AC=22，∠ABC=45°，∠BAC=15°，将△ACB沿直线AC翻折至△ABC所在的平面内，得△ACD.过点A作AE，使∠DAE=∠DAC，与CD的延长线交于点E，连接BE，则线段BE的长为（ ）
A.6 B.3 C.23 D.4
提示：依次易得∠ACB=120°，∠ACE=120°，∠CAE=30°，AC=EC，△ABC≌△EBC，BE=BA.延长BC交AE于F，则∠AFC=90°，易得AF=6.答案C.
12.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D(-2,3)，AD=5，若反比例函数y=kx (k>0，x>0)的图象经过点B，则k的值为（ ）
A.163 B.8 C.10 D.323
提示：由D(-2,3)，AD=5易得A(2,0).设AD与y轴交于E，易得E(0,1.5)，作BF垂直于x轴于F，易得△AOE∽△BFA，AF=2，进而可求得B(4,83).答案D.
二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）
13.计算：(15)-1-4 = .
提示：根据算术平方根、负整数指数幂的意义.答案3.
14.经过多年的精准扶贫，截至2019年底，我国的农村贫困人口减少了约94000000人，请把数94000000用科学记数法表示为 .
提示：根据科学记数法的意义.答案9.4×107.
15.盒子里有3张形状、大小、质地完全相同的卡片，上面分别标着数字1，2，3，从中随机抽出1张后不放回，再随机抽出1张，则两次抽出的卡片上的数字之和为奇数的概率是 .
提示：由树状图知总共有6种，符合条件的有4种.答案：23.
16.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠ABC=120°，AB=23，以点O为圆心，OB长为半径画弧，分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为 .（结果保留π）
提示：如图，菱形面积的二分之一减去两个60°扇形的面积.答案：33-π.
17.周末，自行车骑行爱好者甲、乙两人相约沿同一路线从A地出发前往B地进行骑行训练，甲、乙分别以不同的速度匀速骑行，乙比甲早出发5分钟.乙骑行25分钟后，甲以原速的85继续骑行，经过一段时间，甲先到达B地，乙一直保持原速前往B地.在此过程中，甲、乙两人相距的路程y(单位:米)与乙骑行的时间x(单位：分钟)之间的关系如图所示，则乙比甲晚_____分钟到达B地.
提示：由图及题意易乙的速度为300米/分，甲原速度为250米/分，当x=25后，甲提速为400米/分，当x=86时，甲到达B地，此时乙距B地为250(25-5)+400(86-25)-300×86=3600.答案：12.
18.为刺激顾客到实体店消费，某商场决定在星期六开展促销活动.活动方案如下：在商场收银台旁放置一个不透明的箱子，箱子里有红、黄、绿三种颜色的球各一个（除颜色外大小、形状、质地等完全相同），顾客购买的商品达到一定金额可获得一次摸球机会，摸中红、黄、绿三种颜色的球可分别返还现金50元、30元、10元.商场分三个时段统计摸球次数和返现金额，汇总统计结果为:第二时段摸到红球次数为第一时段的3倍，摸到黄球次数为第一时段的2倍,摸到绿球次数为第一时段的4倍；第三时段摸到红球次数与第一时段相同，摸到黄球次数为第一时段的4倍,摸到绿球次数为第一时段的2倍,三个时段返现总金额为2510元,第三时段返现金额比第一时段多420元,则第二时段返现金额为____元
提示：设第一时段统计摸到红、黄、绿球的次数分别为a，b，c，则第二时段统计摸到红、黄、绿球的次数分别为3a，2b，4c，第三时段统计摸到红、黄、绿球的次数分别为a，4b，2c.由题意得250a+210b+70c=2510 50a+120b+20c-50a+30b+10c=420，即25a+21b+7c=2519b+c=42 ，其整数解为a=42n-37 b=25n-21 c=231-225n(其中n为整数)，又a，b，c均是正整数，易得n=1.所以a=5b=4c=6.代入150a+60b+40c即可.答案：1230.
另解：由上9b+c=42，得知b=1，2，3，4.列举符合题意的解即可.
三、解答题（本大题7个小题，每小题10分，共70分）
19.计算：
（1）(x+y)2+y(3x-y)
解：原式=x2+2xy+y2+3xy-y2
=x2+5xy.
（2）(4-a2a-1+a)÷a2-16a-1
解：原式=4-aa-1÷(a+4)(a-4)a-1
=-1a+4
20.如图，在平行四边形ABCD中，AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，交对角线BD于点E，F.
(1)若∠BCF=60°，求∠ABC的度数；
(2)求证：BE=DF.
解与证：（1）∵CF平分∠DCB
∴∠BCD=2∠BCF=120°
∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠ABC=180°-∠BCD=180°-120°=60°.
（2）∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠BAD=∠DCB，AB=CD，AB∥CD.
∴∠ABE=∠CDF.
∵AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，
∴∠BAE=12∠BAD，∠CDF=12∠DCB
∴∠BAE=∠CDF，
∴△ABE≌△CDF，
∴BE=DF
21. 每年的4月15日是我国全民国家安全教育日.某中学在全校七、八年级共800名学生中开展“国家安全法”知识竞赛，并从七、八年级学生中各抽取20名学生统计这部分学生的竞赛成绩(竞赛成绩均为整数，满分10分，6分及以上为合格).相关数据统计、整理如下：
八年级抽取的学生的竞赛成绩：
4，4，6，6，6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，8，9，9，9，10，10.
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a=_____，b=____，c=____.
（2）估计该校七、八年级共800名学生中竞赛成绩达到9分及以上的人数；
（3）根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级“国家安全法”知识竞赛的学生成绩谁更优异.
解：（1）a=7.5，b=8，c=8
（2）估计该校七、八年级共800名学生中竞赛成绩达到9分以上的人数为：
800×5+540=200（人）.
（3）通过中位数、众数、合格率看，八年级的学生成绩更优异.
22.在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数——“好数”.
定义：对于三位自然数n，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数n为“好数”.
例如：426是“好数”，因为4，2，6都不为0，且4+2=6，6能被6整除；
643不是“好数”，因为6+4=10，10不能被3整除.
（1）判断312，675是否是“好数”？并说明理由；
（2）求出百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数，并说明理由.
解：（1）∵3，1，2都不为0，且3+1=4，4能被2整除，∴312是“好数”，
∵6，7，5都不为0，且6+7=12，12不能被5整除，∴675不是“好数”；
（2）设十位数字为x，个位数字为y，则百位数字为(x+5).其中x，y都是正整数，且1≤x≤4，1≤y≤9.十位数字与个位数字的和为：2x+5.
当x=1时，2x+5=7，此时y=1或7，“好数”有：611，617
当x=2时，2x+5=9，此时y=1或3或9，“好数”有：721，723，729
当x=3时，2x+5=11，此时y=1，“好数”有：831
当x=4时，2x+5=13，此时y=1，“好数”有：941
所以百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数是7.理由如上.
23.探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程.结合已有的学习经验，请画出函数y=-12x2+2的图象并探究该函数的性质.
x
⋯
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
⋯
y
⋯
-23
a
-2
-4
b
-4
-2
-1211
-23
⋯
（1）列表，写出表中a，b的值：a=____ ，b= .
描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象.
（2）观察函数图象，判断下列关于函数性质的结论是否正确(在答题卡相应位置正确的用
“√”作答，错误的用“×”作答)：
①函数y=-12x2+2的图象关于y轴对称；
②当x=0时，函数y=-12x2+2有最小值，最小值为-6；
③在自变量的取值范围内函数y的值随自变量x的增大而减小.
（3）已知函数y=-23x-103的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式-12x2+2<-23x-103的解集.
解：（1）a=-1211，b=-6.
所画图象，如图所示.
（2）①√；②√；③×.
（3）x<-4或-2
(1)求A、B两个品种去年平均亩产量分别是多少千克？
(2)今年，科技小组优化了玉米的种植方法，在保持去年种植面积不变的情况下，预计A、B两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加a%和2a%.由于B品种深受市场欢迎，预计每千克售价将在去年的基础上上涨a%，而A品种的售价保持不变，A、B两个品种全部售出后总收人将增加209a%，求a的值.
解：（1）设A、B两个品种去年平均亩产量分别是x、y千克，由题意得
y=x+100 24x+24y=21600，解得x=400y=500.
答：A、B两个品种去年平均亩产量分别是400、500千克
（2）根据题意得：24×4001+a%+241+a%×5001+2a%=21600(1+209a%).
令a%=m，则方程化为：24×4001+m+241+m×5001+2m=21600(1+209m).
整理得10m2-m=0，解得m1=0（不合题意，舍去），m2=0.1
所以a%=0.1，所以a=10，即a的值为10.
25. 如图，在平面直角坐标系中抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，且A点坐标为(-2,0)，直线BC的解析式为y=-23x+2
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点A作AD//BC，交抛物线于点D，点E为直线BC上方抛物线上一动点，连接CE，EB，BD，DC.求四边形BECD面积的最大值及相应点E的坐标；
（3）将抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)向左平移2个单位，已知点M为抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)的对称轴上一动点，点N为平移后的抛物线上一动点.在(2)中，当四边形BECD的面积最大时，是否存在以A，E，M，N为顶点的四边形为平行四边形，若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.
提示：（1）易得B(32,0)，C(0,2)，又A(-2,0)，
所以易求抛物线的解析式为y=-13x2+223x+2；
（2）易求AD的解析式为y=-23x-23，进而D(42,-103).CD的解析式为：y=-223x+2.则CD与x轴的交点F为(322,0).所以易求△BCD的面积为42，设E(x, -13x2+223x+2)，则SBECD的面积=12×32×-13x2+223x+2--23x+2+42=-22x2+3x+42，
当x=322时，四边形BECD面积最大，其最大值为2524，此时E(322,52).
（3）存在.N的坐标为(-322，76)，或(-22，52)，或(722，-112).
注：抛物线y=-13x2+223x+2的顶点是(2，0)，设M(2，m)，N(xn，yn)，又A(-2,0)，E(322,52)，易求平移后抛物线解析式为y=-13x2+83.
根据平行四边形对角线互相平分及中点公式.分类：
①当AM为对角线时，则xn+322=2+(-2)，
解得xn=-322，代入解析式得yn=76.
所以N(-322，76)，如图
对角线交点坐标为(0,116)，M坐标为(2,113)
②当AE为对角线时，则xn+2=322+(-2)，
解得xn=-22，代入解析式得yn=52.
所以N(-22，52)，如图
对角线交点坐标为(24,54)，M坐标为(2,0)
③当AN为对角线时，则xn+(-2)=2+322，
解得xn=722，代入解析式得yn=-112.
所以N(722，-112).如图
对角线交点坐标为(524,-114)，M坐标为(2,-8)
四、解答题（本大题1个小题，共8分）
26. △ABC为等边三角形，AB=8，AD⊥BC于点D，E为线段AD上一点，AE=23 .以AE为边在直线AD右侧构造等边三角形AEF，连接CE，N为CE的中点.
（1）如图1，EF与AC交于点G，连接NG ，求线段NG的长；
（2）如图2，将△AEF绕点A逆时针旋转，旋转角为α，M为线段EF的中点，连接DN，MN.当30°<α<120°时，猜想∠DNM的大小是否为定值，并证明你的结论；
（3）连接BN，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，当线段BN最大时，请直接写出△ADN的面积.
提示：（1）易得∠CGE=90°，NG=12CE，CD=4，DE=23.答案：NG=7.
（2）∠DNM的为定值120°.
连CF，BE，BE交AC于H，DN交AC于G，如图.
易得：BE∥DN，MN∥CF，△ABE≌△ACF.
因此∠DGC=∠BHC，∠ENM=∠ECF，∠ABE=∠ACF
又∠BHC=∠ABE+∠BAH=∠ABE+60°
∴∠DGC=∠ABE+60°=∠ACF+60°
又∠DGC=∠DNC+∠GCN=∠DNC+∠ACF-∠ECF
∴∠DNC=60°+∠ECF=60°+∠ENM
∴∠DGE=180°-∠DNC=120°-∠ENM
∴∠DNM=∠DNE+∠ENM=120°.
（3）△AND的面积为73
如图，取AC中点P，因为BP+PN≥BN，所以当B、P、N在一直线上，BN最大.
易得BN=BP+PN=BP+12AE=43+3=53
设BP与AD交于O，NQ⊥AD于Q，如图.
易得BO=23BP=833，ON=733，BD=4，△ONQ∽△OBD，可求得NQ= 72.
∴△AND的面积为：12×AD×NQ=73.
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