湖南省岳阳市备战2021年中考数学试题分类汇编 专题四 图形的认识（教师版）

 专题四   图形的认识

1. (2016,6)下列长度的三根小木棒能构成三角形的是（　　）

A．2cm，3cm，5cm    B．7cm，4cm，2cm   

C．3cm，4cm，8cm    D．3cm，3cm，4cm

答案：D

2. (2016,7)下列说法错误的是（　　）

A．角平分线上的点到角的两边的距离相等       B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

C．菱形的对角线相等                         D．平行四边形是中心对称图形

答案：C

3. (2016,14)如图，一山坡的坡度为，小辰从山脚A出发，沿山坡向上走了200米到达点B，则小辰上升了　　　　　　米．

答案：100

4. (2016,18)已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE=CF，EF⊥DF，求证：BF=CD．

答案：证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°，

∵EF⊥DF，∴∠EFD=90°，

∴∠EFB+∠CFD=90°，

∵∠EFB+∠BEF=90°，

∴∠BEF=∠CFD，

在△BEF和△CFD中，

，∴△BEF≌△CFD（ASA），∴BF=CD．

5. (2017,12)如图，点P是∠NOM的边OM上一点，PD⊥ON于点D，∠OPD=30°，PQON，则∠MPQ的度数是　   　．

答案：60°

6. (2017,18)求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

小红同学画出了图形，并写出了已知和求证的一部分，请你补全已知和求证，并写出证明过程．

已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，　        　．

求证：　                      ．

答案：已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD，

求证：四边形ABCD是菱形．

证明：∵四边形ABCD为平行四边形，

∴BO=DO，

∵AC⊥BD，

∴AC垂直平分BD，

∴AB=AD，

∴四边形ABCD为菱形．

故答案为：AC⊥BD；四边形ABCD是菱形．

7. (2017,23)问题背景：已知∠EDF的顶点D在△ABC的边AB所在直线上（不与A，B重合），DE交AC所在直线于点M，DF交BC所在直线于点N，记△ADM的面积为，△BND的面积为．

（1）初步尝试：如图①，当△ABC是等边三角形，AB=6，∠EDF=∠A，且DEBC，AD=2时，则=　    　；

（2）类比探究：在（1）的条件下，先将点D沿AB平移，使AD=4，再将∠EDF绕点D旋转至如图②所示位置，求的值；

（3）延伸拓展：当△ABC是等腰三角形时，设∠B=∠A=∠EDF=α．

（Ⅰ）如图③，当点D在线段AB上运动时，设AD=a，BD=b，求的表达式（结果用a，b和α的三角函数表示）．

（Ⅱ）如图④，当点D在BA的延长线上运动时，设AD=a，BD=b，直接写出的表达式，不必写出解答过程．

答案：解：（1）如图1中，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=CB=AC=6，∠A=∠B=60°，

∵DEBC，∠EDF=60°，

∴∠BND=∠EDF=60°，

∴∠BDN=∠ADM=60°，

∴△ADM，△BDN都是等边三角形，

∴==，=，

∴=12，

故答案为12．

（2）如图2中，设AM=x，BN=y．

∵∠MDB=∠MDN+∠NDB=∠A+∠AMD，∠MDN=∠A，

∴∠AMD=∠NDB，∵∠A=∠B，

∴△AMD∽△BDN，

∴，

∴，

∴xy=8，

∵==，==，

∴===12．

（3）Ⅰ如图3中，设AM=x，BN=y，

同法可证△AMD∽△BDN，可得xy=ab，

∵=ADAMsinα=axsinα，=DBBNsinα=bysinα，

∴=．

Ⅱ如图4中，设AM=x，BN=y，

同法可证△AMD∽△BDN，可得xy=ab，

∵=ADAMsinα=axsinα，=DBBNsinα=bysinα，

∴=．

8. (2018,7) 下列命题是真命题的是（　　）

A．平行四边形的对角线相等             B．三角形的重心是三条边的垂直平分线的交点

C．五边形的内角和是540°              D．圆内接四边形的对角相等

答案：C

9. (2018,14)如图，直线ab，∠l=60°，∠2=40°，则∠3=　   　．

答案：80°

10. (2018,18)如图，在平行四边形ABCD中，AE=CF，求证：四边形BFDE是平行四边形．

答案：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴ABCD，且AB=CD，

又∵AE=CF，

∴BE=DF，

∴BEDF且BE=DF，

∴四边形BFDE是平行四边形．　

11. (2018,23)已知在Rt△ABC中，∠BAC=90°，CD为∠ACB的平分线，将∠ACB沿CD所在的直线对折，使点B落在点B′处，连结AB'，BB'，延长CD交BB'于点E，设∠ABC=2α（0°＜α＜45°）．

（1）如图1，若AB=AC，求证：CD=2BE；

（2）如图2，若AB≠AC，试求CD与BE的数量关系（用含α的式子表示）；

（3）如图3，将（2）中的线段BC绕点C逆时针旋转角（α+45°），得到线段FC，连结EF交BC于点O，设△COE的面积为，△COF的面积为，求（用含α的式子表示）．

答案：解：（1）如图1中，

∵B、B′关于EC对称，

∴BB′⊥EC，BE=EB′，

∴∠DEB=∠DAC=90°，

∵∠EDB=∠ADC，

∴∠DBE=∠ACD，

∵AB=AC，∠BAB′=∠DAC=90°，

∴△BAB′≌CAD，

∴CD=BB′=2BE．

（2）如图2中，结论：CD=2•BE•tan2α．

理由：由（1）可知：∠ABB′=∠ACD，∠BAB′=∠CAD=90°，

∴△BAB′∽△CAD，

∴，

∴，

∴CD=2•BE•tan2α．

（3）如图 3中，

在Rt△ABC中，，

∵EC平分∠ACB，

∴，

∵∠BCF=45°+α，

∴∠ECF==90°，

∴∠BEC+∠ECF=180°，

∴BB′CF，

∴，

∵=，

∴．

12. (2019,4)如图，已知BE平分∠ABC，且BE//DC，若∠ABC=50°，则∠C的度数是（　　）

A．20°    B．25°   

C．30°    D．50°

答案：B

13. (2019,7)下列命题是假命题的是 (    )

A.平行四边形既是轴对称图形,又是中心对称图形

B.同角(或等角)的余角相等

C.线段直平分线上的点到线段两端的距离相等

D.正方形的对角线相等,且互相垂直平分

答案：A

14. (2019,12)若一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形的边数为       .

答案：4

15. (2019,18)如图,在菱形ABCD中,点E、F分别为AD、CD边上的点,DE=DF,求证:∠1=∠2

答案：证明：∵四边形ABCD是菱形

∴AD=CD

在△ADF和△CDE中，

∴△ADF≌△CDE(SAS)，

∴∠1=∠2.

16. (2019,23)操作体验：如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点C′处．点P为直线EF上一动点（不与E、F重合），过点P分别作直线BE、BF的垂线，垂足分别为点M和N，以PM、PN为邻边构造平行四边形PMQN．

（1）如图1，求证：BE＝BF；

（2）特例感知：如图2，若DE＝5，CF＝2，当点P在线段EF上运动时，求平行四边形PMQN的周长；

（3）类比探究：若DE＝a，CF＝b．

①如图3，当点P在线段EF的延长线上运动时，试用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系，并证明；

②如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，请直接用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系．（不要求写证明过程）

答案（1）证明：如图1中，

∵四边形ABCD是矩形，

∴ADBC，

∴∠DEF＝∠EFB，

由翻折可知：∠DEF＝∠BEF，

∴∠BEF＝∠EFB，

∴BE＝BF．

（2）解：如图2中，连接BP，作EH⊥BC于H，则四边形ABHE是矩形，EH＝AB．

∵DE＝EB＝BF＝5，CF＝2，

∴AD＝BC＝7，AE＝2，

在Rt△ABE中，∵∠A＝90°，BE＝5，AE＝2，

∴AB＝，

∵＝，PM⊥BE，PN⊥BF，

∴•BF•EH＝•BE•PM+•BF•PN，

∵BE＝BF，

∴PM+PN＝EH＝，

∵四边形PMQN是平行四边形，

∴四边形PMQN的周长＝2（PM+PN）＝2．

（3）①证明：如图3中，连接BP，作EH⊥BC于H．

∵ED＝EB＝BF＝a，CF＝b，

∴AD＝BC＝a+b，

∴AE＝＝b，

∴EH＝AB＝，

∵，

∴BE•PM﹣•BF•PN＝•BF•EH，

∵BE＝BF，

∴PM﹣PN＝EH＝，

∵四边形PMQN是平行四边形，

∴QN﹣QM＝（PM﹣PN）＝．

②如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，同法可证：QM﹣QN＝PN﹣PM＝．

17. (2020,5)如图，DA⊥AB，CD⊥DA，∠B=56°，则∠C的度数是（　　）

A．154°    B．144°   

C．134°    D．124°

答案：D

18. (2020,7) 下列命题是真命题的是（　　）

A.一个角的补角一定大于这个角

B.平行于同一条直线的两条直线平行

C.等边三角形是中心对称图形

D.旋转改变图形的形状和大小

答案：B

19. (2020,12)如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∠A=20°，则∠BCD=        .

答案：70°

20. (2020,18)如图，点E、F在平行四边形ABCD的边BC，AD上，BE=BC，FD=AD，连接BF，DE.

求证：四边形BEDF是平行四边形.

答案：∵四边形ABCD是平行四边形

∴BEDF，BC=AD

∴BC=AD

又∵BE=BC，DF=AD

∴BE=DF

∴四边形BEDF是平行四边形.

21. (2020,23)如图1,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,动点P,Q分别从C点,A点同时以每秒1个单位长度的速度出发,且分别在边CA,AB上沿C→A,A→B的方向运动,当点Q运动到点B时,P,Q两点同时停止运动,设点P运动的时间为,连接PQ,过点P作PE⊥PQ,PE与边BC相交于点E,连接QE

(1)如图2,当时,延长EP交边AD于点F.求证:AF=CE；

(2)在(1)的条件下,试探究线段AQ,QE,CE三者之间的等量关系,并加以证明；

(3)如图3,当>s时,延长EP交边AD于点F,连接FQ,若FQ平分∠AFP,求的值

答案：(1) 在Rt△ABC中，

AC=

，PC=1×5=5

PA=AC-PC=10-5=5

∴PA=PC

在矩形ABCD中

AFCE

∴∠PCE=∠PAF

∴

∴△CPE≌△APF

∴AF=CE

(2)，证明略

(3)