【数学】江苏省苏州第一中学2019-2020学年高二下学期期中考试试题

江苏省苏州第一中学2019-2020学年

高二下学期期中考试试题

一、单项选择题（本大题共有8小题，每题5分，共40分）

1．复数(2‒i)i（i是虚数单位）的虚部是(      )

A．2i B．2            C．1+2i         D．‒2

2．有三对师徒共6个人，站成一排照相，每对师徒相邻的站法共有(      )

A．72种       B．48种          C． 54种        D．8种

3．已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，P(ξ＞2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝(      )

A．0.477     B．0.628           C．0.954      D．0.977

4．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中甲型与乙型电视机都要取到，则不同的取法种数为(      )

A．40          B．50             C．60           D．70

5．函数的单调递减区间为(      )

A．       B．           C．        D．

6．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的22列联表：(      )

由χ2＝算得，χ2＝≈7.8.

附表：

参照附表，得到的正确结论是(      )

A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”；

B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”；

C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”；

D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”．

7．设随机变量ξ服从二项分布ξ～B(6，)，则P(ξ≤3)等于(     )

A． 　　　　B．　　　　C．　　　　D．

8．已知(a－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，若a2＝80，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝(     )

A．－32        B．1         C．32         D．1或－32

二、多项选择题（本大题共有4小题，每题5分，共20分）

9．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么概率为的事件是(    )

A．至多一件一等品          B．至少一件一等品

C．至多一件二等品          D．至少一件二等品

10．定义在区间上的函数的导函数图象如图所示，则下列结论正确的是(   )

A．函数在区间单调递增

B．函数在区间单调递减

C．函数在处取得极大值

D．函数在处取得极小值

11．下列对各事件发生的概率判断正确的是(      )

A．某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为

B．三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为，，，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为

C．甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为

D．设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率是

12．函数，下列结论正确的是(      )

A．函数有两个不同零点

B．函数既存在极大值又存在极小值

C．当时，方程有且只有两个实根

D．若时，，则t的最小值为2

三、填空题（本大题共有4小题，每题5分，共20分）

13．已知复数z满足 z(1＋i)＝i，（i为虚数单位），则|z|为   ▲   ．

14．若二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则展开式中常数项为   ▲   ．

15．将A，B，C，D四个小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，若每个盒子中至少放一个球且A，B不能放入同一个盒子中，则不同的放法有   ▲   种．

16．设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则实数a的取值范围是   ▲   ．

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17．（本小题共10分）

已知函数f (x)＝x3－2x2＋ax (x∈R)，在曲线y＝f (x)的所有切线中，有且仅有一条切线l与直线y＝x垂直．求实数a的值和切线l的方程．

18．（本小题共12分）

设.已知.

（1）求n的值；

（2）设，其中，求的值.

19．（本小题共12分）

某设备的使用时间x（单位：年）和所支出的维修费用y（单位：万元）有如下统计数据：

若由数据知x与y具有线性相关关系.

（1）试求线性回归方程；

（2）试估计使用年限为10年时的维修费用是多少？

参考公式：线性回归方程中，

20．（本小题共12分）

已知函数f (x)＝ (a≠0)．

（1）当a＝－1，b＝0时，求函数f (x)的极值；

（2）当b＝1时，若函数f (x)没有零点，求实数a的取值范围．

21．（本小题共12分）

经调查统计，网民在网上光顾某淘宝小店，经过一番浏览后，对该店铺中的A，B，C三种商品有购买意向．该淘宝小店推出买一种送5元优惠券的活动．已知某网民购买A，B，C商品的概率分别为，p1，p2(p1<p2)，至少购买一种的概率为，最多购买两种的概率为，假设该网民是否购买这三种商品相互独立．

（1）求该网民分别购买B，C两种商品的概率；

（2）用随机变量X表示该网民购买商品所享受的优惠券钱数，求X的分布列和数学期望．

22．（本小题共12分）

已知函数．

（1）当时，则满足什么条件，曲线与在处总有相同的切线？

（2）当时，求函数的单调减区间；

（3）当时，若对任意的恒成立，求b的取值的集合．

参考答案

一、单项选择题（本大题共有8小题，每题5分，共40分）

二、多项选择题（本大题共有4小题，每题5分，共20分）

三、填空题（本大题共有4小题，每题5分，共20分）

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17．（本小题共10分）

解：因为f(x)＝x3－2x2＋ax，

所以f ′(x)＝x2－4x＋a.

由题意可知，方程f ′(x)＝x2－4x＋a＝－1有两个相等的实根．

所以Δ＝16－4(a＋1)＝0，所以a＝3.

所以f ′(x)＝x2－4x＋3＝－1化为x2－4x＋4＝0.

解得切点横坐标为x＝2，

所以f(2)＝×8－2×4＋2×3＝.

所以切线l的方程为y－＝(－1)(x－2)，

即3x＋3y－8＝0.

所以a＝3，切线l的方程为3x＋3y－8＝0.

18．（本小题共12分）

解：（1）因为，

所以，

．

因为，

所以，

解得．

（2）由（1）知，．

．

解法一：

因为，所以，

从而．

解法二：

．

因为，所以．

因此．

19．（本小题共12分）

解：（1）；（2）使用年限为10年时的维修费用是12.38万元.

20．（本小题共12分）

解：（1）当a＝－1，b＝0时，f(x)＝，所以f′(x)＝，

所以当x∈(－∞，2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．

所以f(x)的极小值为f(2)＝－，无极大值．

（2）当b＝1时，f(x)＝.

根据题意，知＝0无实根，即ax－a＋ex＝0无实根．

令h(x)＝ax－a＋ex，则h′(x)＝a＋ex.

若a>0，则h′(x)>0，h(x)在R上单调递增，存在x0，使得h(x0)＝0，不合题意；

若a<0，令h′(x)>0，得x>ln(－a)；

令h′(x)<0，得x<ln(－a)， 所以h(x)min＝h(ln(－a))＝aln(－a)－2a.

由题意，得h(x)min>0，即aln(－a)－2a>0，

解得－e2<a<0，符合题意．

综上所述，a的取值范围为(－e2，0)．

21．（本小题共12分）

解：（1）由题意可知至少购买一种的概率为，

所以一种都不买的概率为1－＝，即(1－p1)(1－p2)＝.①

又因为最多购买两种商品的概率为，

所以三种都买的概率为1－＝，即p1p2＝.②

联立①②，解得或

因为p1<p2，所以某网民购买B，C两种商品的概率分别为p1＝，p2＝.

（2）用随机变量X表示该网民购买商品所享受的优惠券钱数，则X的所有可能取值为0，5，10，15.

则P(X＝0)＝，  P(X＝5)＝××＋××＋××＝，

P(X＝10)＝××＋××＋××＝，

P(X＝15)＝××＝.

所以X的分布列为

则E(X)＝0×＋5×＋10×＋15×＝.

22．（本小题共12分）

解  （1）因为，所以，又，

所以在处的切线方程为，

又因为，所以，又，

所以在处的切线方程为，

所以当且时，曲线与在处总有相同的切线；

（2）由，，所以，

所以，

由，得，，

所以当时，函数的减区间为和；

当时，函数的减区间为；

当时，函数的减区间为和.

（3）由，则，，

①当时，，函数在单调递增，

又，所以时，，与函数矛盾，

②当时，因为，，，，

所以函数在单调递减；单调递增，

（1）当时，，又，所以，与函数矛盾，

（2）当时，同理，与函数矛盾，

（3）当时，，所以函数在单调递减；单调递增，

所以，故满足题意．

综上所述，的取值的集合为．