【数学】江西省萍乡市湘东中学2019-2020学年高二下学期线上期中能力测试（理）（解析版）

江西省萍乡市湘东中学2019-2020学年高二下学期线上期中能力测试（理）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知，是虚数单位，则（  ▲  ）A． B． C． D．2．若函数，则（   ▲ ）A． B． C． D．3．若复数（为虚数单位），则（  ▲  ）A． B． C． D．4．三角形的面积为，其中，，为三角形的边长，为三角形内切圆的半径，则利用类比推理，可得出四面体的体积为（  ▲  ）A．B．C．，（为四面体的高）D．，（，，，分别为四面体的四个面的面积，为四面体内切球的半径）5．函数的极值点为（  ▲  ）A． B． C．或 D．6．定积分（  ▲  ）A． B． C． D．7．已知函数的图象如图所示(其中是函数的导函数)，则下面四个图象中，的图象大致是（  ▲  ）A． B． C． D．8．甲、乙、丙、丁四位同学参加一次数学智力竞赛，决出了第一名到第四名的四个名次．甲说：“我不是第一名”；乙说：“丁是第一名”；丙说：“乙是第一名”；丁说：“我不是第一名”．成绩公布后，发现这四位同学中只有一位说的是正确的，则获得第一名的同学为（  ▲  ）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁9．函数的单调递增区间为（  ▲  ）A． B． C． D．10．如图，阴影部分的面积是（  ▲  ）A． B． C． D． 11．若函数在区间内是减函数，，则（  ▲  ）A． B． C． D．12．已知定义在上的可导函数，对于任意实数都有成立，且当时，都有成立，若，则实数的取值范围为（  ▲  ）A． B． C． D．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．      ▲      ．14．将正整数有规律地排列如下：……………则在此表中第行第列出现的数字是     ▲      ．15．函数在上的最大值是     ▲      ．16．已知函数在无极值，则在上的最小值是     ▲      ．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知复数，复数，其中是虚数单位，，为实数．（1）若，为纯虚数，求的值；（2）若，求，的值．        18．（12分）已知函数在处的切线方程为．（1）求，的值；（2）求的单调区间与极值．        19．（12分）设函数在点处有极值．（1）求常数，的值；（2）求曲线与轴所围成的图形的面积．              20．（12分）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．①；②；③；④；⑤．（1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．           21．（12分）已知函数．（1）判断在定义域上的单调性；（2）若在上的最小值为，求的值．     22．（12分）已知函数．（1）求的单调区间；（2）当时，恒成立，求的取值范围．                         
参考答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】D【解析】由，∴，故选D．2．【答案】C【解析】由于，∴，故选C．3．【答案】C【解析】复数，根据模长的公式得到，故选C．4．【答案】D【解析】设四面体的内切球的球心为，则球心到四个面的距离都是，根据三角形的面积的求解方法：分割法，将与四顶点连起来，可得四面体的体积等于以为顶点，分别以四个面为底面的个三棱锥体积的和，∴，故选D．5．【答案】B【解析】，函数在上是增函数，在上是减函数，∴是函数的极小值点，故选B．6．【答案】D【解析】，故选D．7．【答案】C【解析】由的图象可得：当时，，∴，即函数单调递增；当时，，∴，即函数单调递减；当时，，∴，即函数单调递减；当时，，∴，即函数单调递增，观察选项，可得C选项图像符合题意，故选C．8．【答案】A【解析】当甲获得第一名时，甲、乙、丙说的都是错的，丁说的是对的，符合条件；当乙获得第一名时，甲、丙、丁说的都是对的，乙说的是错的，不符合条件；当丙获得第一名时，甲和丁说的是对的，乙和丙说的是错的，不符合条件；当丁获得第一名时，甲、乙说的都是对的，乙、丁说的都是错的，不符合条件，故选A．9．【答案】A【解析】，令，解得，∴函数的单调增区间是，故选A．10．【答案】D【解析】，故选D．11．【答案】C【解析】，，∵函数在区间内是减函数，∴导函数在区间内小于等于，即，故选C．12．【答案】A【解析】令，则，∴，∴函数为上的偶函数．∵当时，都有成立，∴，∴函数在上单调递减，在上单调递增．，即，∴，因此，∴，化为，解得，故选A．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．【答案】【解析】．14．【答案】【解析】依题意可知第行有个数字，前行的数字个数为个，可得前行共个，∵，即第行最后一个数为，∴第行第列出现的数字是，故答案为．15．【答案】【解析】函数，，令，解得．∵，函数在上单调递增，在上单调递减；时，取得最大值，，故答案为．16．【答案】【解析】，∵时一定有根，，即，∴要使无极值，则，此时恒成立，即单调递减，故在区间上，的最小值为． 三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）；（2），．【解析】（1）∵为纯虚数，∴，又，∴，，从而，因此．（2）∵，∴，即，又，为实数，∴，解得．18．【答案】（1）；（2）的单增区间为，的单减区间为，，无极大值．【解析】（1），根据题设得方程组，解得．（2）由（1）可知，令，（舍去），当时，；当时，，∴的单增区间为，的单减区间为，，无极大值．19．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）由题意知，且，即，解得，．（2）如图，由（1）问知．作出曲线的草图，所求面积为阴影部分的面积．由，得曲线与轴的交点坐标是，和，而是上的奇函数，函数图象关于原点中心对称，∴轴右侧阴影面积与轴左侧阴影面积相等．∴所求图形的面积为．20．【答案】（1）；（2），证明见解析．【解析】（1）．（2）三角恒等式为：，．21．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）由题意得的定义域为，．①当时，，故在上为增函数；②当时，由，得；由，得；由，得，∴在上为减函数，在上为增函数；∴当时，在上是增函数；当时，在上是减函数，在上是增函数．（2）∵，．由（1）可知：①当时，在上为增函数，，得，矛盾；②当时，即时，在上也是增函数，，∴（舍去）；③当时，即时，在上是减函数，在上是增函数，∴，得（舍去）；④当时，即时，在上是减函数，有，∴，综上可知：．22．【答案】（1）函数在上单调递减，在上单调递增；（2）．【解析】（1），令，解得，当，，则函数在上单调递减；当，，则函数在上单调递增．（2）令，根据题意，当时，恒成立，．①当，时，恒成立，∴在上是增函数，且，∴不符合题意；②当，时，恒成立，∴在上是增函数，且，∴不符合题意；③当时，∵，∴恒有，故在上是减函数，于是“对任意都成立”的充要条件是，即，解得，故．综上，的取值范围是．