【数学】山西省朔州市怀仁县怀仁一中云东校区2019-2020学年高二下学期期中考试（理）
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高二下学期期中考试（理）
时间：120分钟 满分：150分
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的 ）
1．若复数满足，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
2. 用反证法证明命题：“若，且，则中至少有一个负数”的假设为（ ）
A. 中至少有一个正数 B. 全都为正数
C. 全都为非负数 D. 中至多有一个负数
3．设为随机变量，且，若随机变量的方差，则 ( )
A. B. C. D.
4.下列有关线性回归分析的四个命题：
①线性回归直线必过样本数据的中心点；
②回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线；
③当相关性系数时，两个变量正相关；
④如果两个变量的相关性越强，则相关性系数就越接近于1.
其中真命题的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5.某市教育局人事部门打算将甲、乙、丙、丁4名大学生安排到该市三所不同的学校任教，每校至少安排一人，其中甲、乙不能安排在同一学校，则不同的安排方法种数为（ ）
A. 18 B. 24 C. 30 D. 36
6.两圆，的公共区域的面积是（ ）
A． B． C． D．
7.已知的展开式中的系数为5，则＝（ ）
A．－4 B．－3 C．－2 D．－1
8.在平面几何中，可以得出正确结论：“正三角形的内切圆半径等于这个正三角形的高的.”拓展到空间中，类比平面几何的上述结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的( )
A. B. C. D.
9、篮子里装有2个红球，3个白球和4个黑球。某人从篮子中随机取出两个球，记事件“取出的两个球颜色不同”，事件“取出一个红球，一个白球”，=（ ）
A． B． C． D．
10.已知曲线的极坐标方程为：，为曲线上的动点，为极点，则的最大值为（ ）
A.2 B.4 C. D.
11.在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取它的项：第一次取1；第二次取2个连续偶数2，4；第三次取3个连续奇数5，7，9；第四次取4个连续偶数10，12，14，16；第五次取5个连续奇数17，19，21，23，25，按此规律取下去，得到一个子数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，19…，则在这个子数中第2014个数是（ ）
A. 3965 B. 3966 C. 3968 D. 3989
12.若函数在区间（0，2）内有且仅有一个极值点，则的取值范围（ ）
A. B. C. D.
第II卷
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13、某校期末测试理科数学成绩，统计结果显示，若学校理科学生共700人，则本次测试成绩高于120分的学生人数为________.
14. 从8名女生和4名男生中抽取3名学生参加某娱乐节目，若按性别进行分层抽样，则不同的抽取方法数为 .
15、的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中的常数项等于__________．
16、由函数的图像在点处的切线直线直线（其中是自然对数的底数）及曲线所围成的曲边四边形(如图中的阴影部分)的面积 .
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17（10分）、以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，的极坐标方程为.
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）经过点作直线交曲线于，两点，若恰好为线段的中点，求直线的方程.
18、(12分)某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中：
（1）两种大树各成活1株的概率；（2）成活的株数的分布列．
19．（12分）已知函数，曲线在点处的切线方程为．
(Ⅰ)求的值；
(Ⅱ)讨论的单调性．
20（12分）、每年春晚都是万众瞩目的时刻，这些节目体现的文化内涵、历史背景等反映了社会的进步.国家的富强，人民生活水平的提高等.某学校高三年级主任开学初为了解学生在看春晚后对节目体现的文化内涵、历史背景等是否会在今年的高考题中体现进行过思考，特地随机抽取100名高三学生（其中文科学生50，理科学生50名），进行了调查.统计数据如表所示（不完整）：
| “思考过” | “没有思考过” | 总计 |
文科学生 | 40 | 10 |
|
理科学生 | 30 |
|
|
总计 |
|
| 100 |
（1）补充完整所给表格，并根据表格数据计算是否有95%的把握认为看春晚后会思考节目体现的文化内涵、历史背景等与文理科学生有关；
（2）①现从上表的”思考过”的文理科学生中按分层抽样选出7人.再从这7人中随机抽取4人，记这4人中“文科学生”的人数为,试求的分布列与数学期望；
②现设计一份试卷（题目知识点来自春晚相关知识整合与变化），假设“思考过”的学生及格率为，“没有思考过”的学生的及格率为.现从“思考过”与“没有思考过”的学生中分别随机抽取一名学生进行测试，求两人至少有一个及格的概率.
附参考公式：，其中.
参考数据：
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
21（12分）已知数列的前n项和为，，且
（1）求的通项公式
（2）设，数列的前n项和为，求证：
22、（12分）已知函数.
（1）若对任意，恒成立，求的取值范围；
（2）若函数有两个不同的零点，证明：.
参考答案
一选择题：1-5BCDBC 6-10CDBBD 11-12AB
二填空题： 13.70 14.112 15. 180 16.
三解答题
17、（1）由，得，根据公式，得，
故曲线的直角坐标方程是.
（2）设直线的斜率为，则直线的方程为.
而曲线：化为标准方程是，故圆心.
因为恰好为线段的中点，所以.所以，即，解得.故直线的方程是，即.
18、解：设表示甲种大树成活株，
表示乙种大树成活株，则，独立．由独立重复试验中事件发生的概率公式有，
据此算得，，，，，
⑴所求概率为
⑵的所有可能值为0，1，2，3，4，且
，，
，，
综上知有分布列
ξ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
P |
19、(1)f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4，
由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4，故b＝4，a＋b＝8从而a＝4，b＝4由(1)知，
f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x，f′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2)·．
令f′(x)＝0得，x＝－ln 2或x＝－2．
当x∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f′(x)＞0；当x∈(－2，－ln 2)时，f′(x)＜0．
故f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减．
20、（1）填表如下：
| “思考过” | “没有思考过” | 总计 |
文科学生 | 40 | 10 | 50 |
理科学生 | 30 | 20 | 50 |
总计 | 70 | 30 | 100 |
由上表得，的观测值，
故有的把握认为看春晚节目后是否会思考与文理科学生有关.
（2）①由题意，得抽取的100名学生中“思考过”的有文科学生40人，理科学生30人，
（3）所以抽取7人中文科学生有4人，理科学生有3人，所以的所有可能取值为1，2，3，4.
，，,
,
所以的分布列为
1 | 2 | 3 | 4 | |
P |
故数学期望为.
②设“思考过”的学生的及格率为，则；“没有思考过”的学生的及格率为，则，所以两人至少有一个及格的概率为.
21.(1)由,得,当时,可,
两式相减得:,即,又可得,所以,所以为常数数列,所以,所以.(2)由,得,所以,当时,成立;
当时,,
所以.
所以时,.
22.（1）解：由对任意恒成立，得对任意恒成立.令，则.令，则.
∴在上，，单调递增；在上，，单调递减.∴，则，即的取值范围为.
（2）证明：设，，则.
在上，，单调递增；在上，，单调递减.
∵，，当时，，且，
∴，，要证，即证.∵，，在上单调递减，∴只需证明.由，只需证明.令，.
∵，∴，，
∴，∴在上单调递增，
∴，即，∴.
