【数学】四川省泸县第五中学2019-2020学年高二下学期期中考试（文）
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高二下学期期中考试（文）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．集合，，则
A． B． C． D．
2．复数＝
A． B．﹣i C． D．i
3．椭圆的焦距为
A．5 B．3 C．4 D．8
4．已知为等差数列，若，，则
A．1 B．2 C．3 D．6
5．甲、乙两名运动员分别进行了5次射击训练，成绩如下：
甲：7，7，8，8，10； 乙：8，9，9，9，10．
若甲、乙两名运动员的平均成绩分别用，表示，方差分别用，表示，则
A．， B．，
C．， D．，
6．若向量，满足，，且，则与的夹角为
A． B． C． D．
7．“直线与直线平行”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．某人午睡醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，他等待的时间不多于15分钟的概率是
A． B． C． D．
9．如图程序框图的算法思路源于我因古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序相图，若输入分别为2，6，则输出的a等于
A．4 B．0 C．2 D．14
10．已知点是抛物线的焦点，点为抛物线上的任意一点，为平面上点，则的最小值为
A．3 B．2 C．4 D．
11．已知函数，若函数在上为增函数，则正实数a的取值范围为
A． B． C． D．
12．已知椭圆的右焦点为．短轴的一个端点为，直线交椭圆于两点．若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是
A． B． C． D．
第II卷 非选择题（90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．命题“若，则”的逆命题是_____．
14.若，则满足不等式f(3x一1)十f(2)＞0的x的取值范围是__．
15.将函数 的图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变；再向右平移个单位长度得到的图象，则_________.
16．若存在两个正实数x，y使等式成立，（其中）则实数m的取值范围是________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）已知函数，曲线在点处的切线方程为.
（I）求的值；
（II）求在上的最大值．
18．（12分）为了分析某个高三学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议．现对他前7次考试的数学成绩、物理成绩进行分析．下面是该生7次考试的成绩．
数学 | 88 | 83 | 117 | 92 | 108 | 100 | 112 |
物理 | 94 | 91 | 108 | 96 | 104 | 101 | 106 |
（I）他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定？请给出你的证明；
（II）已知该生的物理成绩与数学成绩是线性相关的，若该生的物理成绩达到115分，请你估计他的数学成绩大约是多少？并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性，给出该生在学习数学、物理上的合理建议．
参考公式：方差公式：，其中为样本平均数.，。
19．（12分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，平面，，点、分别为和的中点.
（I）求证：直线平面；
（II）求点到平面的距离.
20．（12分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为中心，以坐标轴为对称轴的帮圆C经过点M（2，1），N.
（I）求椭圆C的标准方程；
（II）经过点M作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆C相交于异于M点的A，B两点，当△AMB面积取得最大值时，求直线AB的方程.
21．（12分）
已知函数，．
（Ⅰ）求函数在点点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，≤恒成立，求的取值范围．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，）.在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标中，曲线：.
（I）当时，求与的交点的极坐标；
（II）直线与曲线交于，两点，线段中点为，求的值.
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数．
（I）当时，求不等式的解集；
（II），，求a的取值范围．
参考答案
1．C 2．D 3．D 4．B 5．D 6．A 7．B 8．C
9．C 10．A 11．B 12．A
13．若，则. 14. 15. 16．
17．(1)依题意可知点为切点，代入切线方程可得，，
所以，即，
又由，则，
而由切线的斜率可知，∴，即，
由，解得，∴，．
(2)由(1)知，则，
令，得或，
当变化时，，的变化情况如下表：
－3 | －2 | 1 | |||||
| ＋ | 0 | － | 0 | ＋ |
| |
8 | ↗ | 极大值 | ↘ | 极小值 | ↗ | 4 |
∴的极大值为，极小值为，
又，，所以函数在上的最大值为13．
18．（1），，
∴，∴，从而，∴物理成绩更稳定.
（2）由于与之间具有线性相关关系，
根据回归系数公式得到，，
∴线性回归方程为，当时，.
建议：进一步加强对数学的学习，提高数学成绩的稳定性，将有助于物理成绩的进一步提高
19．解（1）取的中点，连结、，
由题意，且，且，
故且，所以，四边形为平行四边形，
所以，，又平面，平面，
所以，平面.
（2）设点到平面的距离为.
由题意知在中，，
在中，在中，
故，，， ，
所以由得：， 解得.
20．解：（1）设椭圆C的方程为（，，）.
∵点和N在椭圆C上，∴.解得.
∴椭圆C的标准方程为.
（2）∵点A，B为椭圆上异于M的两点，且直线AM，BM的倾斜角互补，
∴直线AM，BM，AB的斜率存在.设它们的斜率分别为，，k.
设，，直线AB的方程为.
∴.∴.
由，消去y，得.
由，得.∴，.
∴.∴.
∴.∴，或. ∵点A，B为椭圆上异于M的两点，
∴当时，直线AB的方程为，不合题意，舍去.∴直线AB的斜率为.
∵，点M到直线AB的距离为，
∴的面积为.
当且仅当时，的面积取得最大值，此时.
∵，满足.∴直线AB的方程为或.
21．解：(I)因为
所以，
在点点处的切线方程为……………2分
(II),
令,,
令,,……6分
,
,.……8分
(2),
以下论证.……………10分
,
,
,
综上所述，的取值范围是………………12分
22．（1）依题意可知，直线的极坐标方程为（），
当时，联立解得交点，
当时，经检验满足两方程，（易漏解之处忽略的情况）
当时，无交点；综上，曲线与直线的点极坐标为，，
（2）把直线的参数方程代入曲线，得，
可知，，所以.
23．（1）当时，，
①当时，，令，即，解得，
②当时，，显然成立，所以，
③当时，，令，即，解得，综上所述，不等式的解集为．
（2）因为，
因为，有成立，所以只需，
解得，所以a的取值范围为．
