【数学】四川省泸县第一中学2019-2020学年高二下学期期中考试（理）

四川省泸县第一中学2019-2020学年

高二下学期期中考试（理）

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷 选择题（60分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合，，则

A． B． C． D．

2．若复数满足（其中是虚数单位），则

A．2 B．4 C． D．

3．设有一正态总体,它的概率密度曲线是函数f(x)的图象,且f(x)=φμ,σ(x)=,则这个正态总体的平均数与标准差分别是

A．10与8 B．10与2 C．8与10 D．2与10

4．在边长为2的菱形中，，是的中点，则

A． B． C． D．

5．已知，则“”是“是第三象限角”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6．在等差数列中，已知，，则等于

A．50 B．52 C．54 D．56

7．在2018年合肥市高中生研究性学习课题展示活动中，甲、乙、丙代表队中只有一个队获得一等奖，经询问，丙队代表说：“甲代表队没得—等奖”；乙队代表说：“我们队得了一等奖”；甲队代表说：“丙队代表说的是真话”。事实证明，在这三个代表的说法中，只有一个说的是假话，那么获得一等奖的代表队是

A．甲代表队    B．乙代表队    C．丙代表队    D．无法判断

8．的展开式中的常数项为

A．12 B． C． D．

9．有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就坐，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这两人不左右相邻，那么不同的排法种数是               

A．234 B．346 C．350 D．363

10．已知函数f（x）=是奇函数，若f（2m-1）+f（m-2）≥0，则m的取值范围为

A． B． C． D．

11．在四面体中，与均是边长为的等边三角形，二面角的大小为，则四面体外接球的表面积为

A． B． C． D．

12．已知函数，，若对任意，都存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是

A． B． C． D．

第II卷 非选择题（90分）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设随机变量，，若，则的值为__________．

14．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且＝，则的值是________．

15．若函数为偶函数，则__________．

16．若函数在区间上有极值,则实数a的取值范围为_________.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。

17． （12分）山东省《体育高考方案》于2012年2月份公布，方案要求以学校为单位进行体育测试，某校对高三1班同学按照高考测试项目按百分制进行了预备测试，并对50分以上的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示，若90~100分数段的人数为2人.

（Ⅰ）请估计一下这组数据的平均数M；

（Ⅱ）现根据初赛成绩从第一组和第五组（从低分段到高分段依次为第一组、第二组、…、第五组）中任意选出两人，形成一个小组.若选出的两人成绩差大于20，则称这两人为“帮扶组”，试求选出的两人为“帮扶组”的概率.

18．（12分）已知函数，其中.

（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）当时，若函数在区间上的最小值为，求的取值范围.

19．（12分）某市为创建全国文明城市，推出“行人闯红灯系统建设项目”，将针对闯红灯行为进行曝光.交警部门根据某十字路口以往的监测数据，从穿越该路口的行人中随机抽查了人，得到如图示的列联表：

（Ⅰ）能否有的把握认为闯红灯行为与年龄有关？

（Ⅱ）下图是某路口监控设备抓拍的个月内市民闯红灯人数的统计图.请建立与的回归方程，并估计该路口月份闯红灯人数.

附：  ，

参考数据：，

20．（12分）如图，四边形为矩形，平面平面，，，，，点在线段上.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）若二面角的余弦值为，求的长度.

21．（12分）已知，.

（Ⅰ）当时，求函数图象在处的切线方程；

（Ⅱ）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围；

（III）若存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求的取值范围.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为.

（Ⅰ）若的参数方程中的时，得到点，求的极坐标和曲线直角坐标方程；

（Ⅱ）若点，和曲线交于两点，求.

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

若函数的最小值为2．

（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）若 ，且，证明：．

参考答案

1-5:CABDB    6-10:CCCBB     11-12:AB

13．   14．     15．   16．

17．解：(Ⅰ)由频率分布直方图可知:50~60分的频率为0.1, 60~70分的频率为0.25, 70~80分的频率为0.45, 80~90分的频率为0.15, 90~100分的频率为0.05； ……………2分

∴这组数据的平均数M=55×0.1+65×0.25+75×0.45+85×0.15+95×0.05=73(分)…4分

(Ⅱ)∵90~100分数段的人数为2人，频率为0.05；

∴参加测试的总人数为=40人，……………………………………5分

∴50~60分数段的人数为40×0.1=4人， …………………………6分

设第一组50~60分数段的同学为A1，A2，A3，A4；第五组90~100分数段的同学为B1，B2

则从中选出两人的选法有：（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A1，B1），（A1，B2），（A2，A3），（A2，A4），（A2，B1），（A2，B2），（A3，A4），（A3，B1），（A3，B2），（A4，B1），（A4，B2），（B1，B2），共15种；其中两人成绩差大于20的选法有：（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（A4，B1），（A4，B2）共8种 ………11分

则选出的两人为“帮扶组”的概率为

18．（1）当a＝1时，f（x）＝x2﹣7x+3lnx（x＞0），

∴，∴f（1）＝﹣6，f'（1）＝﹣2．

∴切线方程为y+6＝﹣2（x﹣1），即2x+y+4＝0．

（2）函数f（x）＝ax2﹣（a+6）x+3lnx的定义域为（0，+∞），

当a＞0时，，

令f'（x）＝0得或，

①当，即a≥3时，f（x）在[1，3e]上递增，

∴f（x）在[1，3e]上的最小值为f（1）＝﹣6，符合题意；

②当，即时，f（x）在上递减，在上递增，

∴f（x）在[1，3e]上的最小值为，不合题意；

③当，即时，f（x）在[1，3e]上递减，

∴f（x）在[1，3e]上的最小值为f（3e）＜f（1）＝﹣6，不合题意．综上，a的取值范围是[3，+∞）．

19．（1）由列联表计算,

所以有的把握认为闯红灯行为与年龄有关.

（2）由题意得，，

当时，

所以估计该路口月份闯红灯人数为（也可）

20．（1）证明：∵，∴，

又平面平面，平面平面，平面，

∴平面.

（2）以为原点，以，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，

∴，，

由题知，平面，

∴为平面的一个法向量，

设，则，∴，

设平面的一个法向量为，则，

∴，令，可得，

∴，得或（舍去），

∴.

21．解：（1）当时，，，则.

又因为，所以函数图象在处的切线方程为，

即.

（2）因为

所以 ，

且.因为，所以.

①当时，即，

因为在区间上恒成立，所以在上单调递增.

当时，，所以满足条件.

②当时，即时，

由，得，

当时，，则在上单调递减，

所以时，，这与时，恒成立矛盾.

所以不满足条件.;综上，的取值范围为.

（3）①当时，

因为在区间上恒成立，所以在上单调递增，

所以不存在极值，所以不满足条件.

②当时，，所以函数的定义域为，

由，得，

列表如下：

由于在是单调减函数，此时极大值大于极小值，不合题意，

所以不满足条件.

③当时，由，得.

列表如下：

此时仅存在极小值，不合题意，所以不满足条件.

④当时，函数的定义域为，

且，.

列表如下：

所以存在极大值和极小值，

此时

,因为，

所以，，，，

所以，即，

所以满足条件.综上，所以的取值范围为.

22．（1）当时,点的直角坐标为,所以的极坐标为，曲线的直角坐标方程：         

（2）将直线的参数方程代入,得:,得,

设两点对应公的参数为,则

所以.

23．（Ⅰ）解：当时，  最小值为，  

当时，最小值为，（舍）   

 综上所述，.                     

（Ⅱ）证明：∵     

 ∴