【数学】四川省泸县第一中学2019-2020学年高二下学期期中考试（文）

四川省泸县第一中学2019-2020学年

高二下学期期中考试（文）

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷 选择题（60分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合，，则

A． B． C． D．

2．若复数满足（其中是虚数单位），则

A．2 B．4 C． D．

3．已知实数、满足约束条件，则的最大值为

A． B． C． D．

4．在边长为2的菱形中，，是的中点，则

A． B． C． D．

5．已知，则“”是“是第三象限角”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6．在等差数列中，已知，，则等于

A．50 B．52 C．54 D．56

7．在2018年合肥市高中生研究性学习课题展示活动中，甲、乙、丙代表队中只有一个队获得一等奖，经询问，丙队代表说：“甲代表队没得—等奖”；乙队代表说：“我们队得了一等奖”；甲队代表说：“丙队代表说的是真话”。事实证明，在这三个代表的说法中，只有一个说的是假话，那么获得一等奖的代表队是

A．甲代表队    B．乙代表队    C．丙代表队    D．无法判断

8．《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻）．若从含有两个及以上阳爻的卦中任取两卦，这两卦的六个爻中都恰有两个阳爻的概率为

A． B． C． D．

9．已知，是两条不重合的直线，是一个平面，则下列命题中正确的是 

A．若，，则     B．若，，则

C．若，，则     D．若，，则

10.已知函数f（x）=是奇函数，若f（2m-1）+f（m-2）≥0，则m的

取值范围为

A． B． C． D．

11．在四面体中，与均是边长为的等边三角形，二面角的大小为，则四面体外接球的表面积为

A． B． C． D．

12．已知函数，，若对任意，都存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是

A． B． C． D．

第II卷 非选择题（90分）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．函数在处的切线方程为__________．

14．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且＝，则的值是________．

15．若函数为偶函数，则__________．

16．若函数在区间上有极值,则实数a的取值范围为_________.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。

17． （12分）山东省《体育高考方案》于2012年2月份公布，方案要求以学校为单位进行体育测试，某校对高三1班同学按照高考测试项目按百分制进行了预备测试，并对50分以上的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示，若90~100分数段的人数为2人.

（Ⅰ）请估计一下这组数据的平均数M；

（Ⅱ）现根据初赛成绩从第一组和第五组（从低分段到高分段依次为第一组、第二组、…、第五组）中任意选出两人，形成一个小组.若选出的两人成绩差大于20，则称这两人为“帮扶组”，试求选出的两人为“帮扶组”的概率.

18．（12分）已知函数，其中.

（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）当时，若函数在区间上的最小值为，求的取值范围.

19．（12分）某市为创建全国文明城市，推出“行人闯红灯系统建设项目”，将针对闯红灯行为进行曝光.交警部门根据某十字路口以往的监测数据，从穿越该路口的行人中随机抽查了人，得到如图示的列联表：

（Ⅰ）能否有的把握认为闯红灯行为与年龄有关？

（Ⅱ）下图是某路口监控设备抓拍的个月内市民闯红灯人数的统计图.请建立与的回归方程，并估计该路口月份闯红灯人数.

附：  ，

参考数据：，

20．（12分）如图，在直角梯形中，，将沿折起，使平面平面，得到几何体，如图所示.

（I）求证：平面；

（II）求点A到平面的距离.

21．已知函数.

（I）当时，求的最小值；

（II）若存在实数，，使得，求的最小值.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为.

（Ⅰ）若的参数方程中的时，得到点，求的极坐标和曲线直角坐标方程；

（Ⅱ）若点，和曲线交于两点，求.

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

若函数的最小值为2．

（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）若 ，且，证明：．

参考答案

1-5:CACDB    6-10:CCBDB     11-12:AB

13．   14．     15．   16．

17．解：(Ⅰ)由频率分布直方图可知:50~60分的频率为0.1, 60~70分的频率为0.25, 70~80分的频率为0.45, 80~90分的频率为0.15, 90~100分的频率为0.05；

∴这组数据的平均数M=55×0.1+65×0.25+75×0.45+85×0.15+95×0.05=73(分)

(Ⅱ)∵90~100分数段的人数为2人，频率为0.05；

∴参加测试的总人数为=40人，

∴50~60分数段的人数为40×0.1=4人，

设第一组50~60分数段的同学为A1，A2，A3，A4；第五组90~100分数段的同学为B1，B2

则从中选出两人的选法有：（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A1，B1），（A1，B2），（A2，A3），（A2，A4），（A2，B1），（A2，B2），（A3，A4），（A3，B1），（A3，B2），（A4，B1），（A4，B2），（B1，B2），共15种；其中两人成绩差大于20的选法有：（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（A4，B1），（A4，B2）共8种 

则选出的两人为“帮扶组”的概率为

18．（1）当a＝1时，f（x）＝x2﹣7x+3lnx（x＞0），

∴，∴f（1）＝﹣6，f'（1）＝﹣2．

∴切线方程为y+6＝﹣2（x﹣1），即2x+y+4＝0．

（2）函数f（x）＝ax2﹣（a+6）x+3lnx的定义域为（0，+∞），

当a＞0时，，

令f'（x）＝0得或，

①当，即a≥3时，f（x）在[1，3e]上递增，

∴f（x）在[1，3e]上的最小值为f（1）＝﹣6，符合题意；

②当，即时，f（x）在上递减，在上递增，

∴f（x）在[1，3e]上的最小值为，不合题意；

③当，即时，f（x）在[1，3e]上递减，

∴f（x）在[1，3e]上的最小值为f（3e）＜f（1）＝﹣6，不合题意．综上，a的取值范围是[3，+∞）．

19．（1）由列联表计算,

所以有的把握认为闯红灯行为与年龄有关.

（2）由题意得，，

当时，

所以估计该路口月份闯红灯人数为（也可）

20．（1）因为，

所以，

因为平面平面，平面平面平面

平面;

（2）由（1）知：BC为三棱锥的高，，

，，  因为，

即，   解得.

21．（1），，

由，解得，

由，解得，

在单调递减，在单调递增，

，

在上单调递增，

当时，的最小值为.

（2）设，

则.     ，则，即，

故，，

，，即，.

令，则，

因为和在上单调递增，

所以在上单调递增，且，

当时，，当时，，

在上单调递减，在上单调递增，

当时，取最小值，此时，即最小值是.

22．（1）当时,点的直角坐标为,所以的极坐标为，曲线的直角坐标方程：         

（2）将直线的参数方程代入,得:,得,

设两点对应公的参数为,则

所以.

23．（Ⅰ）解：当时，  最小值为，  

当时，最小值为，（舍）   

 综上所述，.                     

（Ⅱ）证明：∵     

 ∴