【数学】四川省南充高级中学2019-2020学年高二下学期期中考试（文）

四川省南充高级中学2019-2020学年高二下学期期中考试（文） 第Ⅰ卷（选择题  共60分）一、选择题（每小题5分，共60分）1、已知是虚数单位，则复数的虚部是（    ）        B.           C.           D.   2、右图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是(    )
   A. 5       B. 4          C. 6            D. 93、点的极坐标是，则在以极点为原点，极轴为轴正半轴的平面直角坐标系中，点的直角坐标是（    ）  B.      C.        D. 4、已知数列满足，若，则（    ）       B.        C.        D.  5、已知命题，则命题的否定为（　　）A.        B. C.        D. 6、在三棱锥中，，且两两互相垂直,则三棱锥的外接球的体积为(    )A.     B.    C.    D. 7、阅读如图的框图，运行相应的程序，若输入的值为6，则输出的值为（   ）A．        B．          C．         D．8、已知是所在平面内一点，，现将一粒黄豆随机撒在内，则黄豆落在内的概率是（    ）A.        B．         C．        D．9、过抛物线的焦点的直线交该抛物线于，两点，若两点的横坐标之和为3，则（    ）A．       B．       C．       D．10、已知偶函数的定义域为，其导函数为，当时，有成立，则关于的不等式的解集为（    ）A．                  B．C．            D．11、已知离心率为2的双曲线的左、右焦点分别为，直线与双曲线在第一象限的交点为，的角平分线与交于点，若，则的值是（　　）A.       B.        C.       D. 12、已知函数，若时，恒有，则的最大值为（    ）        B.            C.          D. 第Ⅱ卷（非选择题  共90分）二、填空题（每小题5分，共20分）13、相关变量的样本数据如表：经回归分析可得与线性相关，并由最小二乘法求得回归直线方程为，则=______.   x1234y2030304014、函数的图象在处的切线方程为，则         ，           ．15、已知是直线上的动点，是圆的两条切线，是切点，是圆心，若四边形的面积的最小值为，则的值为            .16、已知函数，若关于的方程有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是         。三、解答题（共70分）17、（10分）已知命题不等式的解集是. 命题函数在定义域内是增函数.  若为真命题，为假命题，求实数的取值范围.                18、（12分）目前，新冠病毒引发的肺炎疫情在全球肆虐，为了解新冠肺炎传播途径，采取有效防控措施，某医院组织专家统计了该地区500名患者新冠病毒潜伏期的相关信息，数据经过汇总整理得到如下图所示的频率分布直方图（用频率作为概率）.潜伏期不高于平均数的患者，称为“短潜伏者”，潜伏期高于平均数的患者，称为“长潜伏者”.（1）求这500名患者潜伏期的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），并计算出这500名患者中“长潜伏者”的人数；（2）为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否高于平均数为标准进行分层抽样，从上述500名患者中抽取300人，得到如下表格.（i）请将表格补充完整； 短潜伏者长潜伏者合计60岁及以上90  60岁以下  140合计  300（ii）研究发现，某药物对新冠病毒有一定的抑制作用，现需在样本中60岁以下的140名患者中按分层抽样方法抽取7人做I期临床试验，再从选取的7人中随机抽取两人做Ⅱ期临床试验，求两人中恰有1人为“长潜伏者”的概率.        
19、（12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，为的中点，底面，.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离.        20、（12分）在直角坐标系中，已知直线过点．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求的直角坐标方程；
（2）若与交于两点，求的最大值．    21、（12分）已知椭圆经过点与两点.（1）求椭圆的方程；（2）过原点的直线与椭圆交于两点（不与椭圆的顶点重合）， 椭圆上一点满足. 求证:为定值.      22、（12分）已知函数，.（1）讨论的单调性；（2）设函数，若对任意,恒有，求的取值范围. 
参考答案一、选择题123456789101112DCADCACBCDDC二、填空题1314151653三、解答题17  解：若命题为真命题，则，解得；若命题为真命题，则，.因为 为真命题，为假命题，所以两命题一真一假（1）p真q假，则，（2）p假q真，则，综上所述，的取值范围是. 18  （1）平均数. “长潜伏者”即潜伏期时间不低于6天的频率为0.5所以500人中“长潜伏者”的人数为人（2）（i）由题意补充后的表格如图： 短潜伏者长潜伏者合计60岁及以上907016060岁以下6080140合计150150300（ii）由分层抽样知7人中，“短潜伏者”有3人，记为，“长潜伏者”有4人，记为D，E，F，G， 从中抽取2人，共有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共有21种不同的结果，两人中恰好有1人为“长潜伏者”包含了12种结果. 所以所求概率.19  解：（1）证明：∵，∴.∵四边形是矩形，所以，由 ，∴.，为的中点，∴由 . (2)  设点到平面的距离为.由（1）知平面     （*），∴所以（*）为，解得. (1)将方程两边同时乘以，得∵∴，即所以曲线的直角坐标方程为.(2)  设直线的倾斜角为，∵直线与抛物线有两个交点，所以∴直线的参数方程为，将其代入，得设两点对应的参数分别是，则由于，∴一正一负于是∴当时，的最大值为21 （1）将与代入椭圆方程，得，解得，∴椭圆的方程为.（2）∵直线过原点，所以两点关于原点对称.∵，∴在线段的中垂线上.∵不与椭圆的顶点重合，所以直的斜率存在且不为0，设其为.所以直线的方程为，由所以 ，∴又直线，同理可得，22 解：（1），①当时，，；∴上单调递减，在上单调递增；②当时，，∴在上单调递增；③当时，，，，∴上单调递增，在上单调递减；④当时，，，，∴上单调递增，在上单调递减； （2），若，则恒成立，在上递增，，与已知不符合，舍去，所以 时，，∴在上单调递增，在上单调递减，∴∵时，恒有∴所以只需，即设，则，所以在上单调递减又，所以使得的.