【数学】四川省武胜烈面中学校2019-2020学年高二下学期期中考试（理）（解析版）

四川省武胜烈面中学校2019-2020学年
高二下学期期中考试（理）
一．选择题（共12小题）
1．若复数z满足（z﹣1）（i﹣1）＝i，则对应的点在第（　　）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
2．下列求导运算正确的是（　　）
A．（cosx）'＝sinx B．（x2ex）'＝2xex
C．（3x）'＝3xlog3e D．
3．袋中有3红5黑8个大小形状相同的小球，从中依次摸出两个小球，则在第一次摸得红球的条件下，第二次仍是红球的概率为（　　）
A． B． C． D．
4．函数的单调减区间为（　　）
A．（﹣∞，5） B．（0，5） C．（5，+∞） D．（0，+∞）
5．甲、乙二人进行围棋比赛，采取“三局两胜制”，已知甲每局取胜的概率为，则甲获胜的概率为（　　）
A．（）2+C（）2（）1
B．（）2+C（）2
C．（）2+C（）2（）1
D．（）2+C（）1（）1
6．某医院计划从3名医生，9名护士中选派5人参加湖北新冠肺炎疫情狙击战，要求选派的5人中至少要有2名医生，则不同的选派方法有（　　）
A．495种 B．288种 C．252种 D．126种
7．已知二项式的展开式中，二项式系数之和等于64，则展开式中常数项等于（　　）
A．240 B．120 C．48 D．36
8．已知变量x，y之间的线性回归方程为，且变量x，y之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是（　　）
x
6
8
10
12
y
6
m
3
2
A．可以预测，当x＝20时，
B．m＝5
C．变量x，y之间呈负相关关系
D．该回归直线必过点（8，5）
9．已知随机变量X服从二项分布B（n，p）．若E（X）＝2，D（X）＝，则p＝（　　）
A． B． C． D．
10．已知曲线f（x）＝x3+x2﹣5在点（1，f（1））处的切线的倾斜角为α，则＝（　　）
A． B．﹣ C．2 D．
11．某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．从样本成绩不低于80分的学生中随机选取2人，记这2人成绩在90分以上（含90分）的人数为ξ，则ξ的数学期望为（　　）

A． B． C． D．
12．已知函数f（x）＝ex﹣e﹣x﹣2x（x∈R），则不等式f（1+x）+f（1﹣x2）≥0的解集是（　　）
A．[﹣1，2] B．[﹣2，1]
C．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞） D．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）
二．填空题（共3小题）
13．已知平面α的一个法向量，A∈α，P∉α，且，则直线PA与平面α所成的角为　 　．
14．6名工人，其中2人只会电工，3人只会木工，还有1人既会电工又会木工，选出电工2人木工2人，共有　 　种不同的选法．
15． 已知随机变量ξ服从正态分布N（3，σ2），且P（ξ＞2）＝0.85，则P（3＜ξ＜4）＝　 　．
16． 已知展开式中第二项、第三项、第四项的二项式系数成等差数列，将展开式中所有项重新排列，则有理项不相邻的概率为　 　．
三．解答题（共8小题）
17．已知函数y＝x2﹣x．
（1）求这个函数图象垂直于直线x+y﹣3＝0的切线方程；
（2）求这个函数图象过点（1，﹣4）的切线方程．



18．已知在的展开式中第5项为常数项．
（1）求n的值；
（2）求展开式中含有x2项的系数；
（3）求展开式中所有的有理项．






19．广安中学将要举行校园歌手大赛，现有3男3女参加，需要安排他们的出场顺序．（结果用数字作答）
（1）如果3个女生都不相邻，那么有多少种不同的出场顺序？
（2）如果女生甲在女生乙的前面（可以不相邻），那么有多少种不同的出场顺序？
（3）如果3位男生都相邻，且女生甲不在第一个出场，那么有多少种不同的出场顺序？






20．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．
（1）求证AM∥平面BDE；
（2）求二面角A﹣DF﹣B的大小；
（3）试在线段AC上一点P，使得PF与CD所成的角是60°．








21．2020年新年伊始，新型冠状病毒来势汹汹，疫情使得各地学生在寒假结束之后尤法返校，教育部就此提出了线上教学和远程教学，停课不停学的要求也得到了家长们的赞同．各地学校开展各式各样的线上教学，某地学校为了加强学生爱国教育，拟开设国学课，为了了解学生喜欢国学是否与性别有关，该学校对100名学生进行了问卷调查，得到如表列联表：

喜欢国学
不喜欢国学
合计
男生
20

50
女生

10

合计


100
（1）请将上述列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜欢国学与性别有关系？
（2）针对问卷调查的100名学生，学校决定从喜欢国学的人中按分层抽样的方法随机抽取6人成立国学宣传组，并在这6人中任选2人作为宣传组的组长，设这两人中女生人数为X，求X的分布列和数学期望．
参考数据：
P（K2≥k0
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
K2＝，n＝a+b+c+d．









22．已知函数f（x）＝aex﹣2x+1．
（1）当a＝1时，求函数f（x）的极值；
（2）若f（x）＞0对x∈R成立，求实数a的取值范围

参考答案
一．选择题（共13小题）
1．若复数z满足（z﹣1）（i﹣1）＝i，则对应的点在第（　　）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
【解答】解：由（z﹣1）（i﹣1）＝i，得z﹣1＝，
∴z＝，则．
∴对应的点的坐标为（，），在第一象限．
故选：A．
2．下列求导运算正确的是（　　）
A．（cosx）'＝sinx B．（x2ex）'＝2xex
C．（3x）'＝3xlog3e D．
【解答】解：（cosx）′＝﹣sinx，（x2ex）′＝2xex+x2ex，（3x）′＝3xln3，．
故选：D．
3．袋中有3红5黑8个大小形状相同的小球，从中依次摸出两个小球，则在第一次摸得红球的条件下，第二次仍是红球的概率为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：设A＝“依次摸出两个小球，则在第一次摸得红球”，B＝“依次摸出两个小球，则在两次都摸得红球”，
由已知得＝21，．
故所求概率为P＝．
故选：B．
4．函数的单调减区间为（　　）
A．（﹣∞，5） B．（0，5） C．（5，+∞） D．（0，+∞）
【解答】解：易知，函数定义域为（0，+∞），
f′（x）＝，令f′（x）＜0得0＜x＜5．
故f（x）的单调减区间为（0，5）．
故选：B．
5．甲、乙二人进行围棋比赛，采取“三局两胜制”，已知甲每局取胜的概率为，则甲获胜的概率为（　　）
A．（）2+C（）2（）1
B．（）2+C（）2
C．（）2+C（）2（）1
D．（）2+C（）1（）1
【解答】解：甲、乙二人进行围棋比赛，采取“三局两胜制”，甲每局取胜的概率为，
甲获胜的情况有两种：①甲连胜两局，②前两局甲一胜一负，第三局甲胜．
则甲获胜的概率为：
P＝（）2+（）＝（）2+C（）2（）1．
故选：C．
6．某医院计划从3名医生，9名护士中选派5人参加湖北新冠肺炎疫情狙击战，要求选派的5人中至少要有2名医生，则不同的选派方法有（　　）
A．495种 B．288种 C．252种 D．126种
【解答】解：分两类，2名医生，3名护士，有C32C93＝252种，3名医生，2名护士，有C33C92＝36种，
根据分类计数原理可得252+36＝288，
故选：B．
7．已知二项式的展开式中，二项式系数之和等于64，则展开式中常数项等于（　　）
A．240 B．120 C．48 D．36
【解答】解：∵二项式的展开式中，二项式系数之和等于2n＝64，则n＝6，
故展开式的通项公式为 Tr+1＝•26﹣r•，令3﹣＝0，求得r＝2，
可得展开式中常数项等于•24＝240，
故选：A．
8．已知变量x，y之间的线性回归方程为，且变量x，y之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是（　　）
x
6
8
10
12
y
6
m
3
2
A．可以预测，当x＝20时，
B．m＝5
C．变量x，y之间呈负相关关系
D．该回归直线必过点（8，5）
【解答】解：对于A选项，当x＝20时，，A选项正确；
对B选项，，
将点（，）的坐标代入回归直线方程，得，解得m＝5，B选项正确；
对于C选项，由于回归直线方程的斜率为负，则变量x，y之间呈负相关关系，C选项正确；
对于D选项，由B选项可知，回归直线必过点（9，4），D选项不正确．
故选：D．
9．已知随机变量X服从二项分布B（n，p）．若E（X）＝2，D（X）＝，则p＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由随机变量X服从二项分布B（n，p）．
又E（X）＝2，D（X）＝，
所以，
解得：p＝，
故选：C．
10．已知曲线f（x）＝x3+x2﹣5在点（1，f（1））处的切线的倾斜角为α，则＝（　　）
A． B．﹣ C．2 D．
【解答】解：由f（x）＝x3+x2﹣5，得f'（x）＝x2+x，
则f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率tanα＝f'（1）＝2．
∴＝
＝．
故选：B．
11．某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．从样本成绩不低于80分的学生中随机选取2人，记这2人成绩在90分以上（含90分）的人数为ξ，则ξ的数学期望为（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：由题意得：
（0.006+0.006+0.01+0.054+x+0.006）×10＝1，
解得x＝0.018，
由题意得[80，90）内的人数为50×0.018×10＝9人，
[90，100]内的人数为50×0.006×10＝3人，
从样本成绩不低于80分的学生中随机选取2人，
记这2人成绩在90分以上（含90分）的人数为ξ，
则ξ的可能取值为0，1，2，
P（ξ＝0）＝＝，
P（ξ＝1）＝＝，
P（ξ＝2）＝＝，
则ξ的数学期望Eξ＝＝．
故选：B．
12．已知函数f（x）＝ex﹣e﹣x﹣2x（x∈R），则不等式f（1+x）+f（1﹣x2）≥0的解集是（　　）
A．[﹣1，2] B．[﹣2，1]
C．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞） D．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）
【解答】解：f（x）＝ex﹣e﹣x﹣2x的定义域为R，
∵f（﹣x）＝e﹣x﹣ex+2x＝﹣（ex﹣e﹣x﹣2x）＝﹣f（x），
∴f（x）为R上的奇函数，
又f′（x）＝ex+e﹣x﹣2≥．
∴f（x）是R上的增函数．
由f（1+x）+f（1﹣x2）≥0，得f（1+x）≥﹣f（1﹣x2）＝f（x2﹣1），
则1+x≥x2﹣1，即x2﹣x﹣2≤0，
解得：﹣1≤x≤2．
∴不等式f（1+x）+f（1﹣x2）≥0的解集是：[﹣1，2]．
故选：A．
二．填空题（共3小题）
13．已知平面α的一个法向量，A∈α，P∉α，且，则直线PA与平面α所成的角为　　．
【解答】解：设直线PA与平面α所成的角为θ，则sinθ＝|cosα|＝＝＝，
∴直线PA与平面α所成的角为．
故答案为：．
14．6名工人，其中2人只会电工，3人只会木工，还有1人既会电工又会木工，选出电工2人木工2人，共有　12　种不同的选法．
【解答】解：由题设条件可对选出的电工2人木工2人作如下分类：
①既会电工又会木工1人没入选，有CC＝3种选法；
②既会电工又会木工1人入选充当电工，有C＝6种选法；
③既会电工又会木工1人入选充当木工，有C＝3种选法；
综合①②③，共有3+6+3＝12种选法．
故填：12．
15．已知随机变量ξ服从正态分布N（3，σ2），且P（ξ＞2）＝0.85，则P（3＜ξ＜4）＝　0.35　．
【解答】解：∵随机变量ξ服从正态分布N（3，σ2），∴μ＝3，
∵P（ξ＞2）＝0.85，∴P（2＜ξ＜3）＝0.85﹣0.5＝0.35，
则P（3＜ξ＜4）＝P（2＜ξ＜3）＝0.35，
故答案为：0.35．
16.
三．解答题（共8小题）
17．已知函数y＝x2﹣x．
（1）求这个函数图象垂直于直线x+y﹣3＝0的切线方程；
（2）求这个函数图象过点（1，﹣4）的切线方程．
【解答】解：（1）函数y＝x2﹣x的导数为y′＝2x﹣1；
直线x+y﹣3＝0的斜率为﹣1，故令2x﹣1＝1，可得x＝1
∴垂直于直线x+y﹣3＝0的切线过点（1，0）；
则切线方程为y＝x﹣1；
（2）设切点P（m，m2﹣m）
可得切线方程为y﹣（m2﹣m）＝（2m﹣1）（x﹣m）
可得点（1，﹣4）在切线上，可得﹣4﹣（m2﹣m）＝（2m﹣1）（1﹣m），
解得m＝﹣1，3，
故切线方程为：y＝﹣3x﹣1，或y＝5x﹣9．
18．已知在的展开式中第5项为常数项．
（1）求n的值；
（2）求展开式中含有x2项的系数；
（3）求展开式中所有的有理项．
【解答】解：通项公式为，
（1）因为第5项为常数项，
所以r＝4时，有，解得n＝8，
（2）令，解r＝1，
故所求系数为
（3）有题意得，，
令，则
所以k可取2，0，﹣2，即r可取1，4，7
它们分别为﹣4x2，，．
19．重庆一中将要举行校园歌手大赛，现有3男3女参加，需要安排他们的出场顺序．（结果用数字作答）
（1）如果3个女生都不相邻，那么有多少种不同的出场顺序？
（2）如果女生甲在女生乙的前面（可以不相邻），那么有多少种不同的出场顺序？
（3）如果3位男生都相邻，且女生甲不在第一个出场，那么有多少种不同的出场顺序？
【解答】解：（1）根据题意，分2步进行分析：
①、先将3名男生排成一排，有A33种情况，
②、男生排好后有4个空位，在4个空位中任选3个，安排3名女生，有A43种情况，
则有种不同的出场顺序；
（2）根据题意，将6人排成一排，有A66种情况，
其中女生甲在女生乙的前面和女生甲在女生乙的后面的排法是一样的，
则女生甲在女生乙的前面的排法有种；
（3）根据题意，分3步进行分析：
①、先将3名男生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，有A33种情况，
②、将除之外的两名女生和三名男生的整体全排列，有A33种情况，
③、女生甲不在第一个出场，则女生甲的安排方法有C31种，
则有种符合题意的安排方法．
20．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．
（1）求证AM∥平面BDE；
（2）求二面角A﹣DF﹣B的大小；
（3）试在线段AC上一点P，使得PF与CD所成的角是60°．

【解答】证明：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系
设AC∩BD＝N，连接NE，
则点N、E的坐标分别是（、（0，0，1），
∴＝（，
又点A、M的坐标分别是
（）、（
∴＝（
∴＝且NE与AM不共线，
∴NE∥AM
又∵NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，
∴AM∥平面BDF
解：（Ⅱ）∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF∩AD＝A，
∴AB⊥平面ADF
∴为平面DAF的法向量
∵＝•＝0，
∴＝•（，，1）＝0得，∴NE为平面BDF的法向量
∴cos＜＞＝
∴的夹角是60°
即所求二面角A﹣DF﹣B的大小是60°
（3）设P（x，x，0），，，则
cos＝||，解得或（舍去）
所以当点P为线段AC的中点时，直线PF与CD所成的角为60°．（12分）

21．2020年新年伊始，新型冠状病毒来势汹汹，疫情使得各地学生在寒假结束之后尤法返校，教育部就此提出了线上教学和远程教学，停课不停学的要求也得到了家长们的赞同．各地学校开展各式各样的线上教学，某地学校为了加强学生爱国教育，拟开设国学课，为了了解学生喜欢国学是否与性别有关，该学校对100名学生进行了问卷调查，得到如表列联表：

喜欢国学
不喜欢国学
合计
男生
20

50
女生

10

合计


100
（1）请将上述列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜欢国学与性别有关系？
（2）针对问卷调查的100名学生，学校决定从喜欢国学的人中按分层抽样的方法随机抽取6人成立国学宣传组，并在这6人中任选2人作为宣传组的组长，设这两人中女生人数为X，求X的分布列和数学期望．
参考数据：
P（K2≥k0
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
K2＝，n＝a+b+c+d．
【解答】解：（1）补充完整的列联表如下：

喜欢国学
不喜欢国学
合计
男生
20
30
50
女生
40
10
50
合计
60
40
100
K2＝＝≈16.67＞10.828，
∴在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜欢国学与性别有关系．
（2）喜欢国学的共60人，按分层抽样的抽取6人，则每人被抽中的概率均为，
从而需抽取男生2人，女生4人，X的所有可能取值为0，1，2，
P（X＝0）＝＝，
P（X＝1）＝＝，
P（X＝2）＝＝，
∴X的分布列为：
X
0
1
2
P



E（X）＝＝．
22．已知函数f（x）＝aex﹣2x+1．
（1）当a＝1时，求函数f（x）的极值；
（2）若f（x）＞0对x∈R成立，求实数a的取值范围
【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝ex﹣2x+1，则f′（x）＝ex﹣2，
令f′（x）＜0，解得x＜ln2；令f′（x）＞0，解得x＞ln2；
故函数f（x）在（﹣∞，ln2）上递减，在（ln2，+∞）上递增，
于是函数f（x）的极小值为f（ln2）＝2﹣2ln2+1＝3﹣2ln2，无极大值；
（2）f（x）＞0对x∈R成立，即为对任意x∈R都成立，
设，则a＞g（x）max，，
令g′（x）＞0，解得；令g′（x）＜0，解得；
故函数g（x）在递增，在递减，
∴，
故实数a的取值范围为．