【数学】四川省武胜烈面中学校2019-2020学年高二下学期期中考试（文）
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高二下学期期中考试（文）
（考试时间：120分钟 总分：150分）
一、选择题:（本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）．
1.复数的实部、虚部和模分别是（ ）
A. B.
C. D.
2．已知，则等于（ ）
A．0 B． C． D．
3．极坐标方程化为直角坐标方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．曲线在点（1,1）处切线的斜率等于（ ）.
A．1 B．2 C． D．
5. 若直线的参数方程为（为参数），则直线倾斜角的余弦值为
A． B． C． D．
6．已知函数，函数在 上的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．如果函数的导函数的图象如图所示，则下述判断正确的是（ ）
A．函数在区间内单调递增
B．函数在区间内单调递减
C．函数在区间内单调递增
D．，函数有极大值
8.若函数不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9.已知函数在处取得极大值10，则的值为（ ）
A． B．—或—2 C．—2 D．
10．设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数f（x）＝ex﹣e﹣x﹣2x（x∈R），则不等式f（1+x）+f（1﹣x2）≥0的解集是（ ）
A．[﹣1，2] B．[﹣2，1]
C．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞） D．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）
二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13． 已知函数y＝的图像在点M(1，f(1))处的切线方程是，则＝________.：
14. 圆上的动点P到直线的最短距离为 ．
15.设函数，若函数的图像在点处的切线与轴垂直，则实数
三、解答题：（总分70分，解答应写出必要的演算步骤，证明过程或文字说明）。
17．(本小题满分12分)已知，复数.
（1）若为纯虚数，求的值；
（2）在复平面内，若对应的点位于第二象限，求的取值范围
18．（本小题满分12分）已知函数．
（1）求的极值；（2）当时，求的值域；
19.(本小题满分12分) 已知函数在处有极值
(1)求的值；
(2)求函数的单调区间．
20．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．
（1）求证AM∥平面BDE；
（2）求二面角A﹣DF﹣B的大小；
（3）试在线段AC上一点P，使得PF与CD所成的角是60°．
21.（本小题满分12分）已知函数
（1）讨论函数在定义域上单调性;
（2）若函数在上的最小值为,求的值.
22．（10分）在平面直角坐标系中，已知直线为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）设点的直角坐标为，直线与曲线的交点为，求的值
参考答案
1.B 2．C 3．D 4．B． 5．C 6． D 7．C 8.D 9.A 10．B 11．B 12.A.
13、3 14． 15.
17．解：（1） ……………………………2分
因为为纯虚数，所以，且，则……………………………6分
（2）由（1）知，， ……………………………6分
则点位于第二象限，所以， ……………………………10分
得.
所以的取值范围是. ……………………………12分
18．【解】（1），
令，解得：（舍）或
当时，；当时，，
，无极小值. ——————6分
（2）由（1）知在区间单调递增，
在区间的值域为，即． ——————12分
19. 解： (1)因为函数f(x)＝ax2＋blnx，所以f′(x)＝2ax＋.
又函数f(x)在x＝1处有极值，
所以即解得
(2)由(1)可知f(x)＝x2－lnx，其定义域是(0，＋∞)，且f′(x)＝x－＝.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x | (0,1) | 1 | (1，＋∞) |
f′(x) | － | 0 | ＋ |
f(x) | 递减 | 极小值 | 递增 |
所以函数y＝f(x)的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1，＋∞)．
20.【解答】证明：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系
设AC∩BD＝N，连接NE，
则点N、E的坐标分别是（、（0，0，1），
∴＝（，
又点A、M的坐标分别是
（）、（
∴＝（
∴＝且NE与AM不共线，
∴NE∥AM
又∵NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，
∴AM∥平面BDF
解：（Ⅱ）∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF∩AD＝A，
∴AB⊥平面ADF
∴为平面DAF的法向量
∵＝•＝0，
∴＝•（，，1）＝0得，∴NE为平面BDF的法向量
∴cos＜＞＝
∴的夹角是60°
即所求二面角A﹣DF﹣B的大小是60°
（3）设P（x，x，0），，，则
cos＝||，解得或（舍去）
所以当点P为线段AC的中点时，直线PF与CD所成的角为60°．（12分）
21.解：（1）函数的定义域为,且, ———2分
①当时, 在上单调递增; ——4分
②当时,令,得 在上单调递减; 在上单调递增.
—————————6分
（2）由（1）知,,
①若,则,即在上恒成立,此时在上为增函数,
在上的最小值为,,（舍去）———8分
②若,则,即在上恒成立,
此时在上为减函数,,（舍去）.———10分
③若,令,得.
当时,,在上为减函数;
当时,,在上为增函数,
,
综上可知： ———————12分
22．（1）把，展开得，
两边同乘得①．
将ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y代入①，
即得曲线的直角坐标方程为②．
（2）将代入②式，得，
点M的直角坐标为（0，3）．
设这个方程的两个实数根分别为t1，t2，则t1+t2=-3. t1.t2=3
∴ t1＜0， t2＜0
则由参数t的几何意义即得.
