【数学】四川省宜宾市第四中学校2019-2020学年高二下学期期中考试（文）
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高二下学期期中考试（文）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数，则
A． B． C． D．
2．已知命题p：∀x∈R，2x＞0，那么命题¬p为
A．∃x∈R，2x＜0 B．∀x∈R，2x＜0 C．∃x∈R，2x≤0 D．∀x∈R，2x≤0
3．下列求导运算正确的是.
A． B． C． D．
4. 若向量满足条件与共线，则的值为
A. B. C. D.
5．若是互不相同的空间直线，是不重合的平面，则下列命题中真命题是
A．若则 B．若 则
C．若，，则 D．若，，则
6. 设在区间内随机取值，则关于的方程有
实根的概率为
A. B. C. D.
7．执行如图所示的程序框图，输出的值是
A． B．
C． D．
8．设双曲线的离心率为，且它的一个焦
点在抛物线的准线上，则此双曲线的方程为
A． B．
B．C． D．
9．函数的大致图象是
A． B．
C． D．
10.设偶函数满足，则满足的实数的取值范围为
A. B. C. D.
11．在封闭的直三棱柱内有一个体积为V的球.若，，，，则V的最大值是
A.4π B. C.6π D.
12．设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为
A． B． C． D．
第II卷 非选择题（90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.某校共有在职教师200人，其中高级教师20人，中级教师100人，初级教师80人，现采用分层抽样抽取容量为50的样本进行职称改革调研，则抽取的初级教师的人数
14．函数的极值点是_____________________
15.设变量，满足约束条件，则目标函数的最大值
是 ．
16．若函数在定义域上是增函数，则实数的取值范围为__________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）已知函数.
（Ⅰ）求在上的最值；
（II）对任意，恒有成立，求实数的取位范围.
18．（12分）通过随机询问某地100名高中学生在选择座位时是否挑同桌，得到如下列联表：
| 男生 | 女生 | 合计 |
挑同桌 | 30 | 40 | 70 |
不挑同桌 | 20 | 10 | 30 |
总计 | 50 | 50 | 100 |
（I）从这50名男生中按是否挑同桌采取分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本，现从这5人中随机选取3人做深度采访，求这名学生中至少有2名要挑同桌的概率；
（II）根据以上列联表，是否有95﹪以上的把握认为“性别与在选择座位时是否挑同桌”有关？
下面的临界值表供参考：
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
（参考公式：，其中）
19．（12分）如图，四棱锥中，平面，，，，为线段上一点，，为的中点．
（I）证明平面；
（II）求四面体的体积.
20．（12分）已知抛物线的焦点为，为抛物线上异于原点的任意一点，过点的直线交抛物线于另一点，交轴的正半轴于点，且有.当点的横坐标为3时，为正三角形.
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）若直线，且和抛物线有且只有一个公共点，试问直线（为抛物线上异于原点的任意一点）是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.
21．（12分）已知函数，其中．
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）当时，证明：；
（Ⅲ）求证：对任意正整数n，都有（其中e≈2.7183为自然对数的底数）
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）已知曲线的参数方程是 （是参数， ），直线的参数方程是 （是参数），曲线与直线有一个公共点在轴上，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系
（I）求曲线的极坐标方程；
（II）若点，，在曲线上，求的值．
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数.
（I）若不等式的解集为，求实数的值；
（II）当 时，若对一切实数恒成立，求实数的取值范围.
参考答案
1．C 2．C 3．B 4．D 5．C 6．C 7．B 8．C 9．A 10．D 11．B 12．B
13．20 14．4 15． 16．
17．（1）因为，所以，令，解得或，
因为在上，所以在上单调递减；在上单调递增，
又因为，，，
所以，当时，的最大值为4；当时，的最小值为.………6分
（2）因为，结合的图象：
令，解得，
所以m的取值范围是.………………12分
18．解：（I）由题知分层抽样的方法抽取容量为5的样本中，挑同桌的男生有3人，分别记为,,; 不挑同桌的男生有2人,分别记为,. ……………………………………2分
则基本事件总数为：（,,），（,,），（,,），（,，），（,，），（,,），（,，），（,，），（,,），（，,）共10种……4分
记“这名学生中至少有2名要挑同桌”为事件，则事件包含有：
（,,），（,,），（,,），（,，），（,，），
（,，），（,，），共7种，
则. ……………6分
（II）由题得= ………………10分
∴有95﹪以上的把握认为“性别与选择座位时是否挑同桌”有关. ……12分
19．（Ⅰ）由已知得，取的中点，连接，由为中点知，. ......3分
又，故平行且等于，四边形为平行四边形，于是.
因为平面，平面，所以平面. ........6分
（Ⅱ）因为平面，为的中点，
所以到平面的距离为. ....9分
取的中点，连结.由得，.
由得到的距离为，故.
所以四面体的体积. .....12分
20．（Ⅰ）由题意知，设，则的中点为，
因为，由抛物线的定义知：，解得或（舍去），
由，解得，所以抛物线的方程为………………4分
(II)由（Ⅰ）知，设，，因为，则，由得，故，故直线的斜率为，因为直线和直线平行，
故可设直线的方程为，………………6分
代入抛物线方程得，由题意知，得.
设，则，，当时，，
可得直线的方程为，………………9分
由，整理可得，所以直线恒过点，………………11分
当时，直线的方程为，过点，所以直线恒过定点.……………12分
21．（1）函数的定义域为，………………1分
………………2分
①当时，，所以在上单调递增,
②当时，令，解得：
当时，， 所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增,
综上，当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增;………………5分
（2）当时，，要证明，即证，即,
设则，令得，,
当时，，当时，所以为极大值点，也为最大值点
所以，即故当时，; …………9分
（3）由（2）（当且仅当时等号成立）,令， 则 ,
所以,
即所以.………………12分
22．（Ⅰ）∵直线l的参数方程是（t为参数），消去参数t得x+y＝2，令y＝0，得x＝2．
∵曲线C的参数方程是（为参数，a＞0），消去参数得，
把点（2，0）代入上述方程得a＝2．∴曲线C普通方程为．……………5分
（Ⅱ）∵点在曲线C上，即A（ρ1cosθ，ρ1sinθ），，在曲线C上，
∴
=
=
=．………………10分
23．（1）由题意得出关于的方程的两根分别为和，则，即，解得；………………4分
（2）当时，由绝对值三角不等式得，
又对一切实数恒成立，所以，………………8分
令，化简得，解得，所以，实数的取
值范围为………………10分
