【数学】四川省宜宾市叙州区第一中学校2019-2020学年高二下学期期中考试（文）

四川省宜宾市叙州区第一中学校2019-2020学年

高二下学期期中考试（文）

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷 选择题（60分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集则

A． B． C． D．

2．复数（是虚数单位）的共轭复数的虚部为

A．-1 B．0 C．1 D．2

3．已知等差数列满足:，则

A．2 B．1 C．0 D．

4．椭圆的焦距为，则的值等于

A． B． C．或 D．

5．如果数据x1，x2，…，xn的平均数是，方差是s2，则3x1＋2,3x2＋2，…，3xn＋2的平均数和方差分别是 

A．和s2          B．3和9s2           C．3＋2和9s2      D．3＋2和12s2＋4

6. 已知正方形的边长为6，在边上且，为的中点，则

A．-6         B．12       C. 6        D．-12

7．实数a，b，“”是“”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

8．用电脑每次可以从区间内自动生成一个实数，且每次生成每个实

数都是等可能性的，若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都大

于的概率为

A．         B．          C．          D．

9．执行如图所示的框图，若输入，则输出的等于

A． B．   C． D．

10.已知椭圆与抛物线有相同的焦点为原点，点是抛物线准线上一动点，点在抛物线上，且，则的最小值为

A． B． C． D．

11．已知A、B分别为椭圆C：1（a＞b＞0）的右顶点与上顶点，F是C的左焦点，若FB⊥AB，则该椭圆的离心率为

A． B． C． D．

12．若在区间[1，+∞）上单调递增，则a的取值范围是

A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，1] C．（1，+∞） D．[1，+∞）

第II卷 非选择题（90分）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．给出命题“若xy=0，则x=0”,在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是_______.

14.若实数满足，则的最小值是          ．

15.过定点的直线：与圆：相切于点，则        ．

16．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，.若函数有4个零点，则实数的取值范围是__________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。

17．(12分)已知函数（，为自然对数的底数），且曲线在点处的切线平行于轴.

（Ⅰ）求的值；

（II）求函数的极值.

18．(12分)学校计划举办“国学”系列讲座．由于条件限制，按男、女生比例采取分层抽样的方法，从某班选出10人参加活动，在活动前，对所选的10名同学进行了国学素养测试，这10名同学的性别和测试成绩（百分制）的茎叶图如图所示．

（Ⅰ）分别计算这10名同学中，男女生测试的平均成绩；

（II）若这10名同学中，男生和女生的国学素养测试成绩的标准差分别为S1，S2，试比较S1与S2的大小（不必计算，只需直接写出结果）；

（III）规定成绩大于等于75分为优良，从这10名同学中随机选取一男一女两名同学，求这两名同学的国学素养测试成绩均为优良的概率．

19．(12分)如图，矩形和菱形所在平面互相垂直，已知，点是线段的中点．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）试问在线段上是否存在点，使得直线平面？若存在，请证明平面，并求出的值；若不存在，请说明理由.

20．(12分)在平面直角坐标系中，已知椭圆E：（）

过点，其心率等于.

（1）求椭圆E的标准方程；

（II）若A，B分别是椭圆E的左，右顶点，动点M满足，且椭圆E于点P.

求证：为定值：

21．(12分)设，函数，其导数为

（I）当时，求的单调区间；

（II）函数是否存在零点？说明理由；

（III）设在处取得最小值，求的最大值

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（，为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，若直线与曲线相切；

（I）（1）求曲线的极坐标方程与直线的直角坐标方程；

（II）在曲线上取两点，与原点构成，且满足，求面积的最大值.

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知函数．

（I）求不等式的解集；

（II）记的最小值为，若正实数，满足，求的最小值．

参考答案

1．A 2．A 3．C 4．C 5．C 6．B 7．B 8．C 

9．C 10．A 11．B 12．D

13．2       14.2          15. 4     16．

17．(Ⅰ)由,得.

又曲线在点处的切线平行于轴, 得,即,解得.

(Ⅱ),

①当时,,为上的增函数,所以函数无极值.

②当时,令,得,.

,;,.

所以在上单调递减,在上单调递增,

故在处取得极小值,且极小值为,无极大值.

综上,当时,函数无极值;

当,在处取得极小值,无极大值.

点睛：求函数极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值.

18．（1）由茎叶图得男生测试的平均成绩为：=（64+76+77+78）=73.75，

女生测试的平均成绩为：=（56+79+76+70+88+87）=76．

（2）由茎叶图观察得S1＜S2．

（3）设“两名学生的成绩均这优良”为事件A，

男生按成绩由低到高依次为64，76，77，78，

女生按成绩由低到高依次为56，70，76，79，87，88，

则从10名学生中随机选取一男一女两名同学共有24种方取法：

{64，56}，{64，70}，{64，76}，{64，79}，{64，87}，{64，88}，

{76，56}，{76，70}，{76，76}，{76，79}，{76，87}，{76，88}，

{77，56}，{77，70}，{77，76}，{77，79}，{77，87}，{77，88}，

{78，56}，{78，70}，{78，76}，{78，79}，{78，87}，{78，88}，

成绩大于等于75分为优良，

∴其中两名均为优良的取法有12种取法，分别为：

{76，76}，{76，79}，{76，87}，{76，88}，{77，76}，{77，79}，

{77，87}，{77，88}，{78，76}，{78，79}，{78，87}，{78，88}，

则这两名同学的国学素养测试成绩均为优良的概率

19．解：（Ⅰ）证明：菱形，，，则是等边三角形，

又是线段的中点，

∴．

又平面平面，平面平面，

所以平面.

又∵平面，故.

（Ⅱ）作的中点，连接交于点，点即为所求的点．

证明：连接，

∵是的中点，是的中点，∴，

又平面，平面，∴直线平面．

∵，，∴，∴．

20．（1）设椭圆焦距为，所以且解得

所以椭圆E的方程为；

（2）设，，易得直线的方程为：，

代入椭圆得，，

由得，，从而，

所以.

21．（1）当时，，由于，且时，；时，，所以在的单调递减，在单调递增

（2），令，所以

因为，所以，所以在单调递增

因为，又

所以当时，，此时必有零点，且唯一；

当时，，而

故时，存在唯一零点

（3）由（2）可知存在唯一零点，设零点为

当时，；当时，，

故在的单调递减，在单调递增

所以当时，取得最小值，由条件可得，的最小值为

由于，所以

所以

设

则

令，得；令，得

故在的单调递增，在单调递减，所以

故的最大值是

22．（1）∵直线l的极坐标方程为，

∴由题意可知直线l的直角坐标方程为y2，

曲线C是圆心为（，1），半径为r的圆，直线l与曲线C相切，可得r2，

∵曲线C的参数方程为（r＞0，φ为参数），

∴曲线C的普通方程为（x）2+（y﹣1）2＝4，

所以曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣2ρsinθ＝0，即．

（2）由（Ⅰ）不妨设M（ρ1，θ），N（ρ2，），（ρ1＞0，ρ2＞0），

4sin（）sin（）＝2sinθcosθ+2

＝sin2θ2sin（2），

当时，，故所以△MON面积的最大值为2．

23．（1），

当时，，解得，

当时，，故；

当时，，故；

综上：所求不等式的解集为．

（2），故，

故

当且仅当时等号成立，故的最小值为．