【数学】浙江省东阳中学2019-2020学年高二下学期期中考试试题
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一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则的元素个数是 ( )
.个 .个 .个 .个
2．直线的斜率是 ( )
. . . .
3．“且”是“直线过点”的 ( )
.充分而不必要条件 .必要而不充分条件
.充要条件 .既不充分又不必要条件
4．函数的最小正周期为 ( )
. . . .
5. 已知向量,且，则实数的值是 ( )
. . . .
6. 已知等比数列中，,则由此数列的偶数项所组成的新数列的前项和的值为 ( )
. . . .
7. 中,角所对的边分别为,若，则 ( ). . . .
8．设椭圆的离心率为，焦点在轴上且长轴长为. 若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于，则曲线的标准方程为 ( )
. . . .
9．设满足约束条件若目标函数的最大值是，则的最小值为 ( )
. . . .
10. 定义域为的偶函数满足对任意的实数，有，且当
时，，若函数在上至少有
三个零点，则的取值范围是 ( )
. . . .
二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分。
11. 已知，则 ， .
12. 若函数是偶函数，则 ，值域为 ．
13. 在等差数列中，若，则 ， .
14．一个几何体的三视图如图所示(单位：cm)，
则该几何体的表面积为 ，
该该几何体的体积为 ．
15．过点的直线与抛物线交于两点，且则此直线的
方程为_________.
16．若函数在区间内是增函数，则实数的取值范围是______ .
17．若对任意且,不等式恒成立, 则实数的取值范围是___________.
三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18.已知向量，且分别是锐角三角形三边所对的角.
（Ⅰ）求的大小；
（Ⅱ）若成等比数列，且，求的值.
19.设数列是公差大于零的等差数列，已知.
(1) 求数列的通项公式；
(2) 设数列是以为首项，以为公比的等比数列，求数列的前项和．
- 在四棱锥中，平面，，，，
(Ⅰ) 证明：平面；
(Ⅱ) 若二面角的大小为，求的值.
21.已知椭圆的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆相交于不同的两点，已知点的坐标为， 若，求直线的倾斜角.
22.设函数.
(1) 求函数的最小值；
(2) 设，讨论函数的单调性；
(3) 斜率为的直线与曲线交于,两点，求证：.
参考答案
1-5、CAABB 6-10、DCABB
11. 12. 13. 14．
15. 16. 17.
18.解：（1） 即
所以 又因为是锐角三角形内角，所以
（2）因为 又 所以
所以 即 所以 .
19.解：（1） （2）
20.(2)
21.（Ⅰ）解：由e=，得.再由，解得a=2b.
由题意可知，即ab=2.
解方程组得a=2，b=1.
所以椭圆的方程为.
(Ⅱ)解：由（Ⅰ）可知点A的坐标是（-2,0）.设点B的坐标为，直线l的斜率为k.则直线l的方程为y=k（x+2）.
于是A、B两点的坐标满足方程组消去y并整理，得
.
由，得.从而.
所以.
由，得.
整理得，即，解得k=.
所以直线l的倾斜角为或.
22.(1) 解：，令，得. …………2分
∵当时，；当时，， …………3分
∴当时，. …………4分
(2) ，. …………5分
① 当时，恒有，在上是增函 …………6分
② 当时，
令，得，解得； …………7分
令，得，解得. …………8分
综上，当时，在上是增函数；
当时，在上单调递增，在上单调递减. …………9分
(3) 证：.
要证，即证，等价于证，令，
则只要证，由知，故等价于证 (*).
① 设，则，故在上是增函数，
∴ 当时，，即.
② 设，则，故在上是增函数，
∴ 当时，，即.
由①②知(*)成立，得证. …………15分
