【数学】云南省峨山彝族自治县第一中学2019-2020学年高二下学期期中考试（理）
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高二下学期期中考试（理）
[考生注意]：考试用时120分钟，满分150分。必须在答题卡上的指定位置按规定要求作答，答在试卷上一律无效。
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目的要求，请在答题卡相应的位置上填涂）
1．已知集合，则集合U的真子集共有 （ ）
A .15个 B . 16个 C. 31 个 D. 32个
2．复数等于( )
A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i
3．已知为等差数列，若，则的值为 ( )
A. B. C. D.
4． （ ）
A. B.
C. D.
5．在长为12cm的线段AB上任取一点C. 现作一矩形，邻边长分别等于线段AC,CB的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为( )
A. B. C. D.
6．执行如图所示的程序框图，若输入的值为6，则输出的值为（ ）
A.105 B. 16 C. 15 D. 1
7．四棱锥的顶点在底面中的投影恰好是，
其三视图如图所示，则四棱锥的表面积为 ( )
A. B.
C. D.
8．设m、n是不同的直线，、、是不同的平面，有以下四个命题：
① 若、，则 ② 若，，则
③ 若、，则 ④ 若，，则
其中真命题的序号是( )
A．①④ B．②③ C．②④ D．①③
9.如右图阴影部分面积是( )
A．e＋ B．e＋－1
C．e＋－2 D．e－
10．已知直线y＝x＋b是曲线y＝f(x)＝ln x的切线，则b的值等于 ( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
11．为了得到函数的图象,可以将函数的图象（ ）
A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位
C. 向右平移个单位 D. 向左平移个单位
12．在7名运动员中，选4名运动员组成接力队，参加4×100米接力赛，那么甲、乙两人都不跑中间棒的安排方法共有 种。 （ ）
A．120 B．240 C．400 D．420
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案写在答题卡的相应位置上）
13.若二项式的展开式中的系数是84，则实数a＝ 。
14．如果实数满足条件 ，那么的最大值为 。
15．设F1、F2是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一个点，∠F1PF2=60。°，|F1F2|为|PF1|与|PF2|的等比中项，则该椭圆的离心率为 。
16．已知半径为的球中有一个内接正四面体，则这一正四面体的体积是 。
三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（满分12分）已知数列的首项，通项，且成等差数列。求：
（1）的值；
（2）数列前项和
18.（满分12分）的内角，，的对边分别为，，， 已知
(1)求
(2)若，面积为2，求．
19．(本小题满分12分）如图，四棱锥的底面为菱形，平面，
，分别为的中点，．
（Ⅰ）求证：平面平面．
（Ⅱ）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
20. （满分12分）如图，直线l：y＝x＋b与抛物线C：x2＝4y相切于点A.
(1)求实数b的值；
(2)求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．
21. （满分12分）若函数，当时，函数有极值，
（1）求函数的解析式；
（2）若函数有3个解，求实数的取值范围．
22.（满分10分）户外运动已经成为一种时尚运动，某单位为了了解员工喜欢户外运动是否与性别有关，决定从本单位全体650人中采用分层抽样的办法抽取50人进行问卷调查，得到了如下列联表：
| 喜欢户外运动 | 不喜欢户外运动 | 总计 |
男性 |
| 5 |
|
女性 | 10 |
|
|
总计 |
|
| 50 |
已知在这50人中随机抽取1人，抽到喜欢户外运动的员工的概率是
(1)请将上面的列联表补充完整；
(2)求该公司男、女员工各多少人；
(3)在犯错误的概率不超过0.005的前提下能否认为喜欢户外运动与性别有关？并说明你的理由．
下面的临界值表仅供参考：
P(K2≥k0) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
参考答案
一、选择题： 1-5：CAACC 6-10：CBDCA 11-12:CC
二、 填空题： 13. 1 14.1 15. 16.
三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（满分12分）已知数列的首项，通项，且成等差数列。求：
（1）的值；
（2）数列前项和
解:（1）由得
（2）
18.（满分12分）的内角，，的对边分别为，，， 已知
(1)求
(2)若，面积为2，求．
解：由题设及 得 ，
故．
上式两边平方，得
整理得， 解得（舍去），.
（2）由得，故．
又，则．
由余弦定理及得
． 所以．
19．(本小题满分12分）四棱锥的底面为菱形，平面，
，分别为的中点，．
（Ⅰ）求证：平面平面．
（Ⅱ）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
证明：（Ⅰ）∵四边形是菱形，
∴．在中，，，
∴．
∴，即．
又，
∴．...............................................2分
∵平面，平面，
∴．又∵，
∴平面，.............................................................4分
又∵平面，
∴平面平面． ........................................6分
（Ⅱ）以为原点，、分别为轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示．因为，，所以，、、、，
则，，．...............7分
由（Ⅰ）知平面，
故平面的一个法向量为..................8分
设平面的一个法向量为，
则 ，即，令，
则． .....................................10分
∴．
所以，平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．...............................12分
20. （满分12分）如图，直线l：y＝x＋b与抛物线C：x2＝4y相切于点A.
(1)求实数b的值；
(2)求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．
解 (1)由得x2－4x－4b＝0，(*)
因为直线l与抛物线C相切，
所以Δ＝(－4)2－4×(－4b)＝0，解得b＝－1.
(2)由(1)可知b＝－1，故方程(*)即为x2－4x＋4＝0，
解得x＝2，代入x2＝4y，得y＝1.
故点A(2,1)，因为圆A与抛物线C的准线相切，
所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y＝－1的距离，
即r＝|1－(－1)|＝2，
所以圆A的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
21. （满分12分）若函数，当时，函数有极值，
（1）求函数的解析式；
（2）若函数有3个解，求实数的取值范围．
解：求导得，
（1）由题意，得 所求解析式为
（2）由（1）可得： 令，得或
又因为 的定义域为R，当变化时，、的变化情况如下表：
— | |||||
单调递增↗ | 单调递减↘ | 单调递增↗ |
因此，当时，有极大值
当时，有极小值
函数的图象大致如图：
由图可知：
22.（满分10分）户外运动已经成为一种时尚运动，某单位为了了解员工喜欢户外运动是否与性别有关，决定从本单位全体650人中采用分层抽样的办法抽取50人进行问卷调查，得到了如下列联表：
| 喜欢户外运动 | 不喜欢户外运动 | 总计 |
男性 |
| 5 |
|
女性 | 10 |
|
|
总计 |
|
| 50 |
已知在这50人中随机抽取1人，抽到喜欢户外运动的员工的概率是
(1)请将上面的列联表补充完整；
(2)求该公司男、女员工各多少人；
(3)在犯错误的概率不超过0.005的前提下能否认为喜欢户外运动与性别有关？并说明你的理由．
下面的临界值表仅供参考：
P(K2≥k0) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(参考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d)
解:(1)因为在全部50人中随机抽取1人抽到喜欢户外运动的员工的概率是，
所以喜欢户外运动的男女员工共30人，其中男员工20人，列联表补充如下：
| 喜欢户外运动 | 不喜欢户外运动 | 总计 |
男性 | 20 | 5 | 25 |
女性 | 10 | 15 | 25 |
总计 | 30 | 20 | 50 |
(2)该公司男员工人数为25÷50×650＝325(人)，则女员工有325人．
(3)K2的观测值k＝≈8.333>7.879，所以在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜欢户外运动与性别有关．
