【数学】北京市东城区2019-2020学年高二下学期期末统一检测试题
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高二下学期期末统一检测试题
本试卷共4页，共100分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无试效。考结束后，将答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
(1) 展开式中各项系数之和为
（2）已知函数y＝f（x）在处的导数为1，则
（3）若变量x，y之间是线性相关关系，则由以下数据表得到的回归直线必过定点
（A) (2，6)
(B) (3，8)
(C) (4，9)
（D）（5，10）
（4）3位老师和4名学生站成一排，要求任意两位老师都不相邻，则不同的排法种数为
（5）已知随机变量X服从二项分布，即X～B（n，p），且E（X）＝2，D（X）＝1．6，则二项分布的参数n，p的值为
（6）设两个正态分布和的密度曲线如图所示，则有
（7）某小组有5名男生、3名女生，从中任选3名同学参加活动，若X表示选出女生的人数，则
（8）若从1，2，3，…， 9这9个整数中同时取3个不同的数，其和为奇数，则不同的取法共有
（A）36种
（B）40种
（C）44种
（D） 48种
(9)设函数f(x)在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是
(A)f(x)有极大值f(－2)
（B） f（x）有极小值f（－2）
(C)f(x)有极大值f(1)
(D)f(x)有极小值f(1)
（10）某企业拟建造一个容器（不计厚度，长度单位：米），该容器的底部为圆柱形，高为1，底面半径为r，上部为半径为r的半球形，按照设计要求容器的体积为立方米．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米建造费用为3万元，半球形部分每平方米建造费用为4万元，则该容器的建造费用最小时，半径r的值为
第二部分（非选择题共60分）
二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。
（11）在的展开式中，的系数为________（用数字作答）
（12）给出下列三个结论：
①若，则
②若，则；
③若，则．
其中正确结论的序号是________
（13）盒子中有4个白球和3个红球，现从盒子中依次不放回地抽取2个球，那么在第一次抽出白球的条件下，第二次抽出红球的概率是________
（14）某年级举办线上小型音乐会，由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目丙必须排在节目乙的下一个，则该小型音乐会节目演出顺序的编排方案共有________种． （用数字作答）
（15）已知函数，若f（m）＝g（n）成立，则n－m的最小值为________
三、解答题共5小题，共40分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16） （本小题8分）
已知函数
(Ⅰ)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(Ⅱ)求f(x)的单调区间．
(17) （本小题8分）
为了迎接冬奥会，某中学推广冰上运动，从全校学生中随机抽取了100人，统计是否爱好冰上运动，得到如下的列表：
参考附表：
参考公式：，其中n＝a＋b＋c＋d
(I) 补全2x2 联表；
（Ⅱ）能否在犯错误的概率不超过0．05的前提下认为“爱好冰上运动与性别有关"？请说明理由．
(18)(本小题8分)
2020年5月1日起，《北京市垃圾分类管理条例》正式实施，某社区随机对200种垃圾辨识度进行了随机调查，经分类整理得到下表：
辨识率是指：一类垃圾中辨识准确度高的数量与该类垃圾的种类数的比值．
（Ⅰ）从社区调查的200种垃圾中随机选取一种，求这种垃圾辨识度高的概率；
（Ⅱ）从可回收物中有放回的抽取三种垃圾，记X为其中辨识度高的垃圾种数，求X的分布列和数学期望．
（19） （本小题8分）
已知函数．
(Ⅰ)求f(x)的极值；
（Ⅱ）若函数在定义域内有三个零点，求实数a的取值范围．
(20)(本小题8分)
设集合，若X是的子集，把X中所有数的和称为X的“容量”（规定空集的容量为0），若 X的容量为奇（偶）数，则称X为的奇（偶）子集．
（Ⅰ）当n＝3时，写出的所有奇子集；
（Ⅱ）求证：当n≥3时，的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和；
（Ⅲ）当n≥3时，求的所有奇子集的容量之和．
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
（1）A （2）B （3）B （4）D （5）D
（6）C （7）C （8）B （9）A （10）C
二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）
（11） （12）①③ （13）
（14） （15）
注：（12）题给出的结论中，有多个符合题目要求。全部选对得4分，不选或错选得0分，其他得2分。
三、解答题（共5小题，共40分）
（16）（共8分）
解：由题意可知函数的定义域为．
（Ⅰ）因为，
所以， ………1分
． ………2分
因为， ………3分
所以曲线在点处的切线方程为．………4分
（Ⅱ） 的定义域为． ………5分
因为，
由，得，． ………6分
因为函数的定义域为，
当变化时，，的变化情况如下表：
| |||
| |||
单调递减 | 极小值 | 单调递增 |
………7分
所以，的单调递增区间为，
的单调递减区间为． ………8分
（17）（共8分）
解：（Ⅰ）
| 爱好 | 不爱好 | 共计 |
男生 | |||
女生 | |||
共计 |
共需要填6个空，对2个空 ……1分
对4个空 ………2分
全对 ………4分
（Ⅱ）由题可知，
，经过计算，，………7分
参照附表，所以在犯错误的概率不超过的前提下，
可以认为“爱好冰上运动与性别有关”． ………8分
（18）（共8分）
解：（Ⅰ）由题意可知，样本中垃圾种类一共种，
辨识度高的垃圾种数是：．………1分
所求概率为． ………3分
（Ⅱ）的可能取值为． ………4分
依题意可知，．
，
，
，
． ………6分
所以的分布列为
………7分
． ………………8分
（19）（共8分）
解：由题意可知函数的定义域为．
（Ⅰ）因为，
所以． ………1分
由，得，． ………2分
当变化时，，的变化情况如下表：
|
|
| |||
单调递增 |
| 单调递减 | 单调递增 |
………3分
因此，当时，有极大值，并且极大值为；
当时，有极小值，并且极小值为．
………4分（全对给1分）
（Ⅱ）因为，
所以．
所以为一个零点．
所以“函数在定义域内有三个零点”可以转化为
“方程有两个非零实根”． ………5分
令，则，
所以，当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增．
当时，有最小值． ………6分
若方程有两个非零实根，则，即．
又，，恒成立，不存在零点，………7分
所以．
综上，．
所以当时，函数在定义域内有三个零点．
………8分
（20）（共8分）
（Ⅰ）解：当时，．
的所有奇子集为． ………3分（少写或写错扣1分）
（Ⅱ）证明：首先证明的奇子集与偶子集个数相等．
设奇数，对于的每个奇子集，
当时，取且．
当时，取，则为的偶子集．
反之，亦然．
所以，的奇子集与偶子集是一一对应的．
所以，的奇子集与偶子集个数相等．
对于，，含的的子集共有个， …4分
其中必有一半是奇子集，一半是偶子集，从而对于每个数，在奇子集的和与偶子集的和中，所占的个数是一样的．
所以的所有奇子集的容量的和与所有偶子集的容量的和相等． …6分
（Ⅲ）解：由于每个元素在奇子集中都出现次，故奇子集的容量和为
． ………8分
①
