【数学】北京市朝阳区2019-2020学年高二下学期期末质量检测试题
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高二下学期期末质量检测试题
（考试时间120分钟 满分150分）
第一部分（选择题共50分）
一、选择题共10题，每题5分，共50分，在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
（1）若随机变量X的分布列为
则X的数学期望E(X)是
（A）
（B）
（C）1
（D）
（2）某物体作直线运动，位移y（单位：m）与时间t（（单位：s）满足关系式,那么该物体在t=3s时的瞬时速度是
（A）2m/s
（B）4m/s
（C）7m/s
（D）12m/s
(3)曲线在点(1，0)处的切线方程为
(A)x-y-1=0 (B)x-y+1=0
（4）的二项展开式中的带数项为
（A）1
（B）6
（C）15
（D）20
（5）从3名男生和4名女生中各选2人组成一队参加数学建模比赛，则不同的选法种数是
（A）12
（B） 18
（C）35
（D）36
（6）某射手每次射击击中目标的概率都是，则这名射手在3次射击中恰有2次击中目标的概率为
（7）曲线上任意一点P处的切线斜率的取值范围是
（8）一般地，一个程序模块由许多子模块组成，一个程序模块从开始到结束的路线称为该程序模块的执行路径．如图是一个计算机程序模块，则该程序模块的不同的执行路径的条数是
（A）6
（B）14
（C）49
（D）84
(9)函数的图象大致是
(10)已知函数,若存在使得，则实数a的取值范围是
第二部分（非选择题共100分）
二、填空题共6题，每题5分，共30分．
（11）已知函数的导函数为，则 ________
(12)若随机变量.则X的数学期望E(X)是________
（13）从某校高一年级所有学生中随机选取100名学生，将他们参加知识竞赛的成绩的数据绘制成频率分布直方图，如图所示．从成绩在两组内的学生中，用分层抽样的方法选取了6人参加一项活动，若从这6人中随机选取两人担任正副队长，则这两人来自同一组的概率为________
（14）在的二项展开式中，二项式系数之和为________;所有项的系数之和为________
（15）某商场举行促销活动，凡购买一定价值的商品便可以获得两次抽奖机会第一次抽奖中奖的概率是0.5，第二次抽奖中奖的概率是0.3，两次抽奖是否中奖互不影响，那么两次抽奖中至少有一次中奖的概率是________
（16）设定义在R上的连续函数f（x）的导函数为，已知函数的图象（如图）与x轴的交点分别为（-2,0） ， （0,0） ，（2,0），给出下列四个命题：
①函数f(x)的单调递增区间是;
②函数f(x)的单调递增区间是;
③x=-2是函数f（x）的极小值点；
④x=2是函数f（x）的极小值点.
其中，正确命题的序号是________
注：本题给出的命题中，有多个符合题目要求，全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分．
三、解答题共4题，共70分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
（17）（本小题18分）
新生婴儿性别比是指在某段时间内新生儿中男婴人数与女婴人数的比值的100倍.下表是通过抽样调查得到的某地区2014年到2018年的年新生婴儿性别比.
（Ⅰ）根据样本数据，估计从该地区2015年的新生儿中随机选取1人为女婴的概率(精确到0.01)；
（Ⅱ）从2014年到2018年这五年中，随机选取两年，用X表示该地区的新生婴儿性别比高于107的年数，求x的分布列和数学期望：
（Ⅲ）根据样本数据，你认为能否否定“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断？并说明理由．
（18） （本小题18分
已知函数
（Ⅰ）若a=0，求证：当时，恒成立；
（Ⅱ）当a=1时，求f（x）在区间[0，2]上的最大值和最小值；
（Ⅲ）若函数f（x）存在极大值和极小值，且极大值和极小值的差不超过4，求a的取值范围.
(19)(本小题18分)
已知函数
(Ⅰ)当a＝1时，求曲线f(x)在点(1，f(1) )处的切线方程；
(Ⅱ)求函数f(x)的极值；
(Ⅲ)若y＝f(x)在x＝1时取得极值，设，当时，试比较与的大小，并说明理由．
(20) (本小题16分)
已知集合中的元素都是正整数，对任意，定义．若存在正整数k，使得对任意，都有d，则称集合S具有性质Fk．记d（S）是集合中的最大值．
（Ⅰ）判断集合和集合是否具有性质F4，直接写出结论；
（Ⅱ）若集合S具有性质Fk，求证：
（i）；
（ii）n≤2k—1．
参考答案
一、选择题：（本题满分50分）
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
答案 | C | D | A | D | B | D | B | C | A | B |
二、填空题：（本题满分30分）
题号 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | |
答案 | （3分） | （2分） | ②④ （只答对一个得3分，答错0分） | ||||
三、解答题：（本题满分70分）
17．（本小题满分18分）
解：（Ⅰ）设“从该地区2015年的新生儿中随机选取1人为女婴”为事件， ………2分
则 ……………………………………4分
． ……………………………………6分
（Ⅱ）的可能取值为． ……………………………………7分
，
，
， ……………………………………10分
所以的分布列为
……………………………………12分
所以的数学期望． …………………14分
（Ⅲ）答案一：可以否定．从样本数据看这五年的男婴在新生儿中的比例都高于，由样本估计总体，所以可以否定“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断．
答案二：不能否定．尽管从样本数据看这五年的男婴在新生儿中的比例都高于，但由于抽样调查本身存在一定的随机性，且从数据上看，男女婴在新生儿中的比例都近似于，所以不能否定“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断．
答案三：无法判断．由于样本容量未知，如果样本容量较小，那么通过样本数据不能否定“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断，如果样本容量足够大，那么根据样本数据，可以否定“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断．
…………………… 18分
（注：1．其余答案，酌情给分．2．如果学生直接从生物学的角度，或者生活常识等角度说明，应适当扣分，没有体现用样本估计总体．）
18．（本小题满分18分）
解：（Ⅰ）证明：当时，． …………………………………1分
设，则． …………………………………3分
因为，所以．
所以在上单调递增，所以． …………………5分
所以当时，恒成立． …………………………………6分
（Ⅱ）当时，．
所以． ………………………………7分
令得或． …………………………8分
当在上变化时，的变化情况如下表：
0 | 2 | ||||||
| 0 | 0 |
| ||||
↗ | 极大值 | ↘ | 极小值 | ↗ |
…………………………10分
所以，当时，函数的最大值为，……………………11分
函数的最小值为． …………………………………12分
（Ⅲ）因为，
所以．
令得或．……………………………13分
依题意，函数存在极大值和极小值，所以．
（ⅰ）当时，．当变化时，的变化情况如下表：
0 | 0 | ||||
↗ | 极大值 | ↘ | 极小值 | ↗ |
所以函数的极大值为，极小值为．
依题意有，所以．
所以． …………………………………15分
（ⅱ）当时，．当变化时，的变化情况如下表：
0 | 0 | ||||
↗ | 极大值 | ↘ | 极小值 | ↗ |
所以函数的极大值为，极小值为．
依题意有，所以．
所以． …………………………………17分
综上所述，． …………………………………18分
19．（本小题满分18分）
解：（Ⅰ）当时，，，……………………………2分
，， ……………………………4分
所以曲线在点处的切线方程为．…………………………6分
（Ⅱ）由，得．………8分
① 若，当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增．…10分
所以，当时，有极小值，无极大值；
………11分
② 若，当时，恒成立，
所以在上单调递减，所以无极值． ………12分
③ 若，当时，恒成立，
所以在上单调递减，所以无极值． ………13分
综上，当时，有极小值，无极大值；
当时，无极值． …………………………………………14分
（Ⅲ）由，，所以．
由，
所以 ．
又，所以．
构造函数， ………………………………16分
则．
当时，恒成立，所以在上单调递增，
所以当时，，即， …………………17分
所以成立，
所以，即．…………………18分
20．（本小题满分16分）
解：（Ⅰ）集合具有性质， ……………………………………2分
集合不具有性质． ……………………………………4分
（Ⅱ）证明：不妨设． ……………………………………5分
（i）由得．
对任意，有，………………………6分
因为，
所以．
所以对任意，都有，所以．
………………………8分
又因为
，
所以． ……………………………………………10分
（ii）由（i）可知，对任意，都有
，
所以，所以． ……………12分
因为对任意，，所以，所以，
即，． ……………14分
若，则当时，，矛盾．所以．
又因为是正整数，所以． …………………………16分
