【数学】北京市平谷区2019-2020学年高二下学期期末质量监控试题
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第Ⅰ卷选择题（共40分）
—、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）
1． 在复平面内，复数对应的点的坐标是
2．知抛物线，那么其焦点到准线的距离是
A．2
B．4
C．6
D．8
3．已知等差数列}中那么
A．17
B．9
C． 10
D． 24
4，已知直线与圆相切，那么a的值为
A．3或－1
B．
C．－3或－7
D．
5．已知函数f（x）的导函数图像如图所示，那么下列说法正确的是
A．函数f(x)在上单调递减
B．函数f（x）有三个零点
C．当x＝0时，函数f（x）取得最大值
D．当x＝0时，函数f（x）取得极大值
6．已知数列的前n项和为，则
A．48
B． 32
C． 24
D． 8
7．设函数，则f(x)是
A．有一个零点的增函数
B．有一个零点的减函数
C．有二个零点的增函数
D．没有零点的减函数
8．某学校举办科技节活动，有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人”项目比赛，该项目只设置一个一等奖，在评奖揭晓前，小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下：
小张说：“甲或丙团队获得一等奖"；
小王说：“乙团队获得一等奖”；
小李说：“丁、丙两个团队均未获得一等奖"；
小赵说：“甲团队获得一等奖"．
若这四位同学中只有两位预测结果是对的，则获得一等奖的团队是
A． 甲 B．乙 C．丙 D．丁
第Ⅱ卷非选择题（共110分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
9．已知复数，那么________
10．已知直线与直线互相垂直，那么b＝________
11．已知双曲线的一个焦点为（3，0），一个顶点为（1，0），那么其渐近线方程为________
12．已知等差数列中，，等比数列中， ，那么数列的前4项和________
13．已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且焦点到渐近线的距离为，那么双曲线的离心率为________
14．日常生活中的饮用水通常都是经过净化的，随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知1t水净化到纯净度为x%时所需费用（单位：元）为．那么净化到纯净度为90%时所需净化费用的瞬时变化率是________元/t．
三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． ）
15． （本题满分13分）
已知函数
(Ⅰ)求曲线在点(1，f(1))处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）在[—2，2]上的最大值和最小值．
16． （本题满分13分）
设是等差数列的前n项和，，________．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前n项和的最值．
从中任选一个，补充在上面的问题中并作答．
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）．
17． （本题满分13分）
已知椭圆的离心率为，过点（2，0）．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设左、右焦点分别为，经过右焦点F2的直线l与椭圆C相交于A、B两点，若，求直线l方程。
18． （本题满分14分）已知函数
(Ⅰ)若函数f(x)在x＝e处取得极值，求a的值；
（Ⅱ）若对所有，都有f（x），求实数a的取值范围．
19．（本题满分14分）
已知椭圆C：的左、右焦点分别为，椭圆上一点满足．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知椭圆C上两点M、N关于x轴对称，点P为椭圆上一动点（不与M、N重合），若直线PM，PN与 轴分别交于G、H两点，证明：为定值．
20．（本题满分13分）
定义首项为1，且公比为正数的等比数列为"M—数列”
(Ⅰ)已知数列是单调递增的等差数列，满足，求数列的通项公式；
（Ⅱ）已知数列的前n项和为，若是和1的等差中项，证明：数列是"M－数列"；
（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若存在"M—数列” ，对于任意正整数k，都有成立．求此时数列公比q的最小值．
参考答案
一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
答案 | C | B | B | A | D | C | A | B |
二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9. ； 10. 2； 11. ； 12. 320； 13. 14. 40.15
三、解答题：本大题共6小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．
15．（本小题满分13分）
解：（I）因为， ……… 2分
，即切线的斜率 ………4分
又因为，即切点坐标为， ……… 6分
所以曲线在点处的切线方程为.……… 7分
（II）由，令， ……… 8分
-2 | -1 | 0 | 2 | ||||
| + | 0 | 0 | + |
| ||
0 |
|
| 2 |
| 16 |
所以的最大值为16，最小值为0. ………13分
16．（本小题满分13分）
选①补充条件.
解：（I）设等差数列的公差为，
由，，得，解得，
所以． ……… 7分
（II）解法1：由等差数列的通项公式可知，数列是单调递增数列，且首项为1，所以前项和有最小值，无最大值，且最小值为.
解法2：由数列的前项和
由二次函数图像性质可知，当时有最小值1，无最大值. ……… 13分
选②补充条件.
解：（I）设等差数列的公差为，因为 ，所以
由，
所以． ………7分
（II）解法1：因为，所以等差数列是单调递减数列.
令，，，所以前5项和为的最大值.
即前项和的最大值为，无最小值.
解法2：因为数列的前项和
由二次函数图像性质可知，当时有最大值，无最小值. ……… 13分
选③补充条件.
解：（I）设等差数列的公差为，
由，，得，
解得，
所以． ……… 7分
（II）解法1：因为，所以等差数列是单调递减数列.
令，，，即当时前项和有最大值.
所以前项和的最大值为，无最小值.
解法2：数列的前项和
由二次函数图像性质可知，当时有最大值45，无最小值. …… 13分
17. （本小题满分13分）
解：（Ⅰ），且过点.
∴， ……… 2分
∴
∴椭圆的标准方程为：； ……… 4分
（Ⅱ）当斜率不存在时，设:，
得
显然不满足条件. ………6分
当斜率存在时设:，、，……… 7分
联立整理得：，
∴， ……… 9分
因为，
所以
即：
整理得 ……… 11分
带入化简：
∴直线方程为. ……… 13分
18．（本小题满分14分）
解：（I）由得……… 2分
因为函数在处取得极值，
所以， ………4分
解得 ………5分
经检验，时，函数在处取得极大值.
所以 ……… 6分
（II） 因为对所有，都有，
所以 ……… 8分
设
则 ………10分
因为，所以，
即在上单调递减 ………12分
所以
即 ………14分
19．（本小题满分14分）
解：（I）由椭圆上一点 满足.
得 ……… 2分
且 ……… 3分
所以
所以椭圆的方程为． ……… 4分
（II）证明：因为，两点关于轴对称，
所以设，，则， ……… 5分
得直线的方程为，
令得点的横坐标，
同理可得点的横坐标 . ………9分
∴，……… 11分
因为，
∴，． ……… 13分
即得：为定值． ……… 14分
20．（本小题满分13分）
解：（I）因为是等差数列，
所以 ……… 1分
又因为是递增等差数列，
所以
即数列的通项公式为 ……… 3分
（II）因为是和1的等差中项，
所以 ……… 4分
当时， ……… 5分
当时，
化简得
即数列是首项为1，公比为2的等比数列.
所以数列是“M-数列”. ……… 7分
（III）因为数列是 “M-数列”
所以数列是首项为1，公比为正数的等比数列，设公比为，
则. ……… 8分
因为对于任意正整数，都有成立，
即恒成立
两边取对数得 ……… 9分
设
则
令
即
即
所以比较大小
而
所以 ……… 11分
即
因为
所以
所以数列公比的最小值为. ………13分
