【数学】江西省南昌市八一中学2019-2020学年高二下学期期末考试（理）

江西省南昌市八一中学2019-2020学年

高二下学期期末考试（理）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一个选项符合题意．

1．在复平面内，复数对应的点位于（   ）

   A． 第一象限    B．第二象限    C．第三象限   D．第四象限

2．为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成空间向量的基底的一组向量是（  ）

3．设，向量且，则（   ）

4．给出下列命题，其中正确的命题为  （   ）

A.若直线和共面，直线和共面，则和共面

B.直线与平面不垂直，则与平面内的所有的直线都不垂直

C.直线与平面不平行，则与平面内的所有的直线都不平行

D.异面直线不垂直，则过的任何平面与都不垂直

5．如图，正三棱柱中，，是的中点，则与平面所成角的正弦值等于（    ）

A．     B．      C．          D．

6．如图，空间四边形中，，且，，则（    ）

A.                        

B.

C.                         

D.

7．如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为(　　)

A.           B.           C.           D.

8．已知双曲线 的两条渐近线与抛物线的准线分别交于两点．若双曲线的离心率为，的面积为，为坐标原点，则抛物线的焦点坐标为 (   )

A．      B．        C．       D．

9．已知三棱锥中，，，，，且平面平面，则该三棱锥的外接球的表面积为

A．     B．    C．      D．

10．在四面体中，若， ，

，则直线 与所成角的余弦值为（   ）

A.  B.            C.          D.

11．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，P，Q分别是线段AD1和B1C上的动点，且满足AP＝B1Q，则下列命题错误的是(　　)

A．存在P，Q的某一位置，使AB∥PQB．△BPQ的面积为定值

C．当PA＞0时，直线PB1与AQ是异面直线

D．无论P、Q运动到任何位置，均有BC⊥PQ

12．设f(x)=kx－|sinx| (x>0，k>0)，若f(x)恰有2个零点，记较大的零点为t，则= (   )

A. 0    B. 1    C. 2    D. 4

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．已知函数，则         

14．如图，二面角等于，、是棱上两点，、分别在半平面、内，，，且，则的长等于_____．

15．某三棱锥的三视图如下图所示，则该三棱锥的四个面中，面积最大的面的面积

16．如图4－3－11，正方体ABCD—A1B1C1D1，则下列四个命题：

①P在直线BC1上运动时，三棱锥A—D1PC的体积不变；

②P在直线BC1上运动时，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变；

③P在直线BC1上运动时，二面角P—AD1—C的大小不变；

④M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是过D1点的直线．其中真命题的编号是________(写出所有真命题的编号)．

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），以为极点，以轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为.

（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；

（Ⅱ）设直线与曲线相交于两点，求的值.

18．（本小题满分12分）如图所示的平面图形中，四边形是边长为2的正方形，和都是以为直角顶点的等腰直角三角形，点是线段的中点．现和分别沿着翻折，直到点和重合为点．连接，得如图的四棱锥．

（1）求证：；

（2）求二面角的大小．

19．（本小题满分12分）图所示的几何体中， ， ， 平面，在平行四边形中， ， ， ．

（1）求证： 平面；

（2）求与平面所成角的正弦值．

20．(本小题满分12分)如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形，且PA⊥底面ABCD．
(1)证明：平面PBD⊥平面PAC．
(2)若∠BAD=60°,且平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值为，求∠PCA的大小．


 

21．（本小题满分12分）设顶点在原点，焦点在轴上的拋物线过点，过作抛物线的动弦，，并设它们的斜率分别为，.

(Ⅰ)求拋物线的方程；

(Ⅱ)若，求证：直线的斜率为定值，并求出其值；

（III）若，求证：直线恒过定点，并求出其坐标.

22．（本小题满分12分）已知函数，.

（1）讨论的单调性；

（2）若函数在上单调递增，求的取值范围.

参考答案

一、选择题

1——12 CCCDB  ABBDD  BC

二、填空题

13．  14 2  15   16①③④

三、解答题

17．解：（Ⅰ）将方程消去参数得，

∴曲线的普通方程为，

将代入上式可得，

∴曲线的极坐标方程为： ．………5分

（Ⅱ）设两点的极坐标方程分别为,

由消去得，

根据题意可得是方程的两根，

∴，

∴． ………10分

18．解：（1）连接与点，连接                     ……1分

因为四边形是正方形，所以是的中点，

又是的中点

                                                   ……2分

                              ……3分

                                               ……4分

由题意有,两两垂直

如图，以为原点建立空间直角坐标系                      ……5分

有             ……6分

由题知

又                                 ……7分

又                      ……8分

所以平面的法向量是

设平面的法向量

,

则，令              ……10分    

                            ……11分

由图可知二面角的平面角为锐角

所以二面角 的大小为       ……12分

19．（1）证明：连接交于，取中点，连接， .

∵、分别为、的中点∴， 又∵， ∴， ，从而， 平面， 平面，∴平面．  ……5分

（2）解：连接，可计算得， ， ， ， ，设点到平面的距离为，则由， ，得，所以由，知.∴，∴与平面所成角的正弦值为．……12分

20．证明：因为底面ABCD为菱形，所以．因为底面ABCD，
所以．又，所以平面PAC．
因为平面PBD，所以平面平面PAC．……5分

解：设AC与BD交于点O，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，设，，
则，
则．
设平面PAB的法向量为，则
令，得．
设平面PCD的法向量为，则．
令，得．
设平面PAB与平面PCD所成的锐二面角为，则，
解得，则，故．……12  

21．解：(Ⅰ)依题意，可设所求拋物线的方程为,

因拋物线过点，故，拋物线的方程为. …………… 3

(Ⅱ)设，则，

同理

,∴，.

，即直线的斜率恒为定值，且值为.  …………… 7分

（III），∴，∴.

直线的方程为 ，即.

将代入上式得即为直线的方程，

所以直线恒过定点，命题得证. …………… 12分

22．解（1）的定义域为，，

当时，在上恒成立，

所以在上递减；

当时，令，

当时，，当时，，

则在上递减，在上递增. …---5分

（2）

在恒成立，

所以，即

令，则有，

令，则有在上恒成立.

故在上为减函数，

所以在上为减函数，

则，故.

另解令，则至少有.

当时，则有，

令，开口向上，对称轴，

故在上为增函数，

所以在上为增函数，

则，故.---12分