【数学】陕西省宝鸡市渭滨区2019-2020学年高二下学期期末考试（理）
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高二下学期期末考试（理）
一、选择题（每小题5分，共50分）
1．的展开式的二项式系数和为（ ）
A． B． C． D．
2．设随机变量的分布列为，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．关于函数，下列结论正确的是（ ）
A．没有极值点 B．没有零点
C．有极大值点 D．有极小值点
4．教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法共有（ ）
A．10种 B．16种 C．25种 D．32种
5．设，则等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
6．观察下列一组数据
…
则从左到右第三个数是（ ）
A． B． C． D．
7．用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（ ）
A． B．
C． D．
8．给出以下命题：（1）；（2）；（3）的原函数为，且是以2为周期的函数，则，（4）设函数可导，则．其中正确命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．函数的图象存在与直线平行的切线，则实数的取值范围是( )
A． B．
C． D．
10．已知函数，则曲线在点（3，0）处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题5分，共20分）
11．已知随机变量服从二项分布，则 .
12．函数在上的最大值为 .
13．已知是虚数单位，且，则 .
14．三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都大，则这个三位数称为“凸数”，如596、482，试问各个数位上无重复数字的三位数中凸数共有 个.（用数字作答）
三、解答题（每小题10分，共50分）
15．证明：（1）；
（2）如果，则．
16．已知函数为一次函数，若函数的图象过点，且.
(1)求函数的表达式.
(2)若函数，求函数与的图象围成图形的面积.
17．已知函数．
（1）当时，求函数的图象在点处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性．
18．为了了解某班学生喜欢数学是否与性别有关，对本班人进行了问卷调查得到了如下的列联表，已知在全部人中随机抽取人抽到喜欢数学的学生的概率为.
（1）能否在犯错误的概率不超过的前提下认为喜欢数学与性别有关？说明你的理由；
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.702 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
（2）现从女生中抽取人进一步调查，设其中喜欢数学的女生人数为，求的分布列与期望.
临界表供参考：（参考公式：，其中）
| 喜欢数学 | 不喜欢数学 | 合计 |
男生 |
| 5 |
|
女生 | 10 |
|
|
合计 |
|
| 50 |
19．为了助力国家脱贫攻坚计划，某地扶贫办考察了三种不同的果树苗A、B、C．经过引种实验发现，引种树苗A的自然成活率为0.8，引种树苗B、C的自然成活率均为．
（1）任取树苗A、B、C各一棵，估计自然成活的棵数为，求的分布列及其数学期望；
（2）将（1）中的数学期望取得最大值时的值作为种树苗自然成活的概率．该农户决定引种棵种树苗，引种后没有自然成活的树苗有75%的树苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活．
①求一棵种树苗最终成活的概率；
②若每棵树苗引种最终成活可获利400元，不成活的每棵亏损80元，该农户为了获利期望不低于10万元，问至少要引种种树苗多少棵？
参考答案
一、选择题（每小题5分，共50分）1-10、ADABC DCCBD
二、填空题（每小题5分，共20分）11． 12．22 13．1 14．204
三、解答题（每小题10分，共50分）
15．证明：（1）要证，只要证，
即，显然成立的，所以，原不等式成立．
（2）当时，有，∴，
∴，∴（当且仅当时等号成立）.
16．解：（1）为一次函数且过点 可设
，解得,
（2）由得：， 与围成的图形面积
即
17．解：（1）时，，，，，
故的图象在点处的切线方程；
（2）函数的定义域，，
当时，恒成立，在上单调递增，
当时，时，，函数单调递减，
，时，，函数单调递增，
综上：当时，在上单调递增，
当时，在单调递减，在，上单调递增．
18．解：（1），在犯错误的概率不超过的前提下，认为喜欢数学与性别有关；
（2）喜欢数学的女生人数的可能取值为、、，
其概率分别为，
，
，
故随机变量的分布列为：的期望值为.
19．解：（1）依题意，的所有可能值为、、、，
则，，
，
.
所以，随机变量的分布列为：
；
（2）由（1）知当时，取得最大值．
①一棵种树苗最终成活的概率为：，
②记为棵树苗的成活棵数，则，，
，．
所以该农户至少要种植棵树苗，才可获利不低于万元．
