【数学】上海市嘉定区封浜高中2019-2020学年高二下学期期末考试试题

上海市嘉定区2019学年第二学期封浜高级中学高二年级数学期末质量调研（满分150分，时间120分钟）一.填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分.1．抛物线的焦点坐标为               . 2．平面直角坐标系中点到直线的距离为              ． 3．若复数满足（是虚数单位），则的虚部是               . 4．世界杯小组赛，从四支队伍中出线两支队伍，则出线队伍共有               种不同的组合． 5．侧棱长为,底面面积为的正四棱柱的体对角线的长为               . 6．双曲线的两条渐近线的夹角大小为               . 7．底面半径和高均为的圆柱的表面积为              ． 8．双曲线的虚轴长是实轴长的倍，则              ． 9．已知空间直角坐标系中，某二面角的大小为，，半平面和的一个法向量分别为，，则              ．(结果用反三角函数值表示) 10．二项式的展开式中各项系数的和是              ． 11．有一个倒圆锥形的容器，它的底面半径是5厘米，高是10厘米，容器内放着49个半径为1厘米的玻璃球，在向容器倒满水后，再把玻璃球全部取出，则此时容器内水面的高度为        厘米．12．已知定点，点在抛物线上运动，若复数在复平面内分别对应点的位置，且，则的最小值为            ． 二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13．空间内，异面直线所成角的取值范围是……………………………………（    ）．(A)            (B)             (C)            (D) 14.“”是“直线与直线相互垂直”的  ……………………………………………………………………………（    ）.（A）充分而不必要条件              （B）必要而不充分条件（C）充要条件                      （D）既不充分也不必要条件15．曲线的图像………………………………………………(    )．(A)关于轴对称         (B)关于原点对称，但不关于直线对称(C)关于轴对称         (D)关于直线对称，也关于直线对称16．下列命题中，正确的命题是……………………………………………………(    )． (A) 若、，，则． (B) 若，则不成立． (C) ，，则或．(D) ，，则且．三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．已知复数，，.（1）若，求实数的取值范围；（2）若是关于的方程的一个根，求实数与的值.   18.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题7分，第（2）小题7分.如图，长方体中，，直线与平面所成的角的大小为．（1）求三棱锥的体积；（2）求异面直线与所成角的大小．      19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．已知的二项展开式中，第三项的系数为．（1）求证：前三项系数成等差数列；（2）求出展开式中所有有理项（即的指数为整数的项）．        20.(本题满分16分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分.已知椭圆的左右顶点分别是，点在椭圆上．过该椭圆上任意一点作轴，垂足为，点在的延长线上，且．（1）求椭圆的方程；（2）求动点的轨迹的方程；（3）设直线（点不同于）与直线交于，为线段的中点，证明：直线与曲线相切．    21. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．在平面直角坐标系中，为坐标原点．已知曲线上任意一点（其中）到定点的距离比它到轴的距离大1.（1）求曲线的轨迹方程；（2）若过点的直线与曲线相交于不同的两点，求的值；（3）若曲线上不同的两点、满足求的取值范围．         参考答案（满分150分，时间120分钟）考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、考试号、姓名等填写清楚．2．请按照题号在答题纸各题答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．3．本试卷共有21道试题，可以使用规定型号计算器．一.填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分.1．抛物线的焦点坐标为               . 2．平面直角坐标系中点到直线的距离为             ． 3．若复数满足（是虚数单位），则的虚部是               . 4．世界杯小组赛，从四支队伍中出线两支队伍，则出线队伍共有               种不同的组合．5．侧棱长为,底面面积为的正四棱柱的体对角线的长为               . 6．双曲线的两条渐近线的夹角大小为               . 7．底面半径和高均为的圆柱的表面积为              ．8．双曲线的虚轴长是实轴长的倍，则              ．9．已知空间直角坐标系中，某二面角的大小为，，半平面和的一个法向量分别为，，则              ．(结果用反三角函数值表示) 10．二项式的展开式中各项系数的和是              ．11．有一个倒圆锥形的容器，它的底面半径是5厘米，高是10厘米，容器内放着49个半径为1厘米的玻璃球，在向容器倒满水后，再把玻璃球全部取出，则此时容器内水面的高度为     厘米．612．已知定点，点在抛物线上运动，若复数在复平面内分别对应点的位置，且，则的最小值为            ． 二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13．空间内，异面直线所成角的取值范围是……………………………………（ B ）．(A)            (B)             (C)            (D) 14.“”是“直线与直线相互垂直”的 ……………………………………………………………………………（ A ）.（A）充分而不必要条件              （B）必要而不充分条件（C）充要条件                      （D）既不充分也不必要条件15．曲线的图像………………………………………………( )．(A)关于轴对称         (B)关于原点对称，但不关于直线对称(C)关于轴对称         (D)关于直线对称，也关于直线对称16．下列命题中，正确的命题是……………………………………………………( )． (A) 若、，，则． (B) 若，则不成立． (C) ，，则或．(D) ，，则且． 三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．已知复数，，.（1）若，求实数的取值范围；（2）若是关于的方程的一个根，求实数与的值.解: （1） ………………………………………………………………2分于是 …………………………4分又  ，所以 ，解得：. …………6分所以实数的取值范围为.  …………………………………………………7分（2）因为（）是方程的一个根，（）也是此方程的一个根，…………………………………………9分于是      …………………………………………………11分 解得 或，且满足……………………13分所以或 ……………………………………………………………14分18.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题7分，第（2）小题7分.如图，长方体中，，直线与平面所成的角的大小为．（1）求三棱锥的体积；（2）求异面直线与所成角的大小．解：（1）联结，因为，所以就是直线与平面所成的角，………………………………2分所以，所以 ……………………………………………4分所以…………………………………………7分（2）联结，因为，所以所以就是异面直线与所成的角或其补角………………………10分在△中，所以……………………………………………………………13分所以异面直线与所成角的大小是…………………………………14分19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．已知的二项展开式中，第三项的系数为．（1）求证：前三项系数成等差数列；（2）求出展开式中所有有理项（即的指数为整数的项）．解：（1）…………………………………2分，……………………………………………4分所以前三项分别为，，……………………………………………………7分所以前三项系数分别为，即前三项系数成等差数列……………………8分（2）……………10分时，展开式中的指数为整数，所以展开式中所有有理项为：、、……………………………………………………………14分20.(本题满分16分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分.已知椭圆的左右顶点分别是，点在椭圆上．过该椭圆上任意一点作轴，垂足为，点在的延长线上，且．（1）求椭圆的方程；（2）求动点的轨迹的方程；（3）设直线（点不同于）与直线交于，为线段的中点，证明：直线与曲线相切．解：（1）由题意可知且，……………………2分所以椭圆方程为……………………4分（2）设，则由可得， ………………………………6分又在椭圆上，可知，……………………………9分所以动点的轨迹的方程是……………………………………………10分（3）设，，由题意可知三点共线，所以，因为，，则，即，…………………………………………………………………………12分，从而，又，故      …………………………………14分则圆心到直线的距离  …………………………………15分所以直线与曲线相切  …………………………………………………………16分21. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．在平面直角坐标系中，为坐标原点．已知曲线上任意一点（其中）到定点的距离比它到轴的距离大1.（1）求曲线的轨迹方程；（2）若过点的直线与曲线相交于不同的两点，求的值；（3）若曲线上不同的两点、满足求的取值范围．解：（1）依题意知，动点到定点的距离等于到直线的距离，曲线是以原点为顶点，为焦点的抛物线………2分　∵      ∴　∴　曲线方程是…………………4分（2）当平行于轴时，其方程为，由解得、此时…………………………………………………6分当不平行于轴时，设其斜率为，则由  得设则有，……………………8分∴……………………………10分（3）设  ∴ ………………………………12分∵∴∵，化简得………………………………14分∴……………………………………14分当且仅当 时等号成立………………………………16分∵∴当的取值范围是………18分