【数学】安徽省淮南市寿县第二中学2019-2020学年高二下学期期中考试（理）

安徽省淮南市寿县第二中学2019-2020学年

高二下学期期中考试（理）

第I卷（选择题60分）

一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分)

1.已知为正数，则“”是“ ”的 

A. 充分不必要条件    B. 必要不充分条件   

C. 充要条件          D. 既不充分也不必要条件

2.已知命题 “函数在区间上是增函数”；命题 “存在，使成立”，若为真命题，则的取值范围为

A.     B.     C.     D.

3.已知四棱锥中， ， ， ，则点到底面的距离为

A.           B.         C.               D.

4.自圆：外一点引该圆的一条切线，切点为，切线的长度等于点到原点的长，则的最小值为

A.      B.            C. 4                     D.

5.设F1，F2分别是椭圆E： （a＞b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|=3|BF1|，若cos∠AF2B=，则椭圆E的离心率为

A.       B.                 C.           D.

6.已知双曲线的中心为原点， 是的焦点，过的直线与相交于， 两点，且的中点为，则该双曲线的渐近线方程为

A.      B.     C.        D.

7.已知函数f（x）对定义域内R内的任意x都有f（x）=f（4﹣x），且当x≠2时，其导数f'（x）满足xf'（x）＞2f'（x），若2＜a＜4，则
A.                                    

B.
C.                                    

D.

8.已知抛物线： 的焦点为，准线为， 是上一点， 是直线与的一个交点，若，则

A.      B.       C. 3                           D. 2

9.已知函数f(x)＝ex－(x＋1)2(e为2.718 28…)，则f(x)的大致图象是
A. B.

 C.     D.

10.已知两点均在焦点为的抛物线上，若，线段的中点到直线的距离为1，则的值为

A. 1       B. 1或3          C. 2                 D. 2或6

12.已知函数f（x）=xlnx﹣aex（e为自然对数的底数）有两个极值点，则实数a的取值范围是
A.            B.（0，e）         C.         D.（﹣∞，e）

二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)

14.抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离为,则此抛物线的方程为________ .

15.已知函数f(x)＝ x2＋2ax－lnx，若f(x)在区间 上是增函数，则实数a的取值范围为                                                 ．

16.下列说法中所有正确命题的序号是__________．

①“”是“”成立的充分非必要条件；

②、，则“”是“”的必要非充分条件；

③若一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真；

④设等比数列的前项和为，则“”是“”成立的充要条件.

三、解答题(共6小题,共70分)

17.（10分）设命题，命题：关于不等式的解集为.

（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；

（2）若命题或是真命题， 且是假命题，求实数的取值范围.

18.（12分）已知动点与平面上两定点， 连线的斜率的积为定值．

（1）试求动点的轨迹方程；

（2）设直线： 与曲线交于， 两点，当时，求直线的方程．

19. （12分）已知分别是双曲线E： 的左、右焦点，P是双曲线上一点， 到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，（1）求双曲线的渐近线方程；（2）当时， 的面积为，求此双曲线的方程

20. （12分）已知函数f（x）=ex（sinx﹣ax2+2a﹣e），其中a∈R，e=2.71818…为自然数的底数．
（1）当a=0时，讨论函数f（x）的单调性；
（2）当 ≤a≤1时，求证：对任意的x∈[0，+∞），f（x）＜0．

21. （12分）已知抛物线焦点为，点A，B，C为该抛物线上不同的三点，且满足.

（1）求；

（2）若直线交轴于点，求实数的取值范围．

22. （12分）已知函数 ，实数a＞0．
（Ⅰ）若a=2时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若x＞0时，不等式f（x）＜0恒成立，求实数a的最大值．

参考答案

1.C    2.B    3.D    4.D   5.D   6.A   7.B    8.A    9.C   10.B   11.A    12.A

13.3                             14.                          

15.                      16.②③④

17.（1）当为真时， ；（2）的取值范围是。

解析：（1）当为真时，

∵不等式的解集为，

∴当时， 恒成立.

∴，∴

∴当为真时，

（2）当为真时，

∵，∴当为真时， ；

当为真时， ，

由题设，命题或是真命题， 且是假命题，

真假可得，

假真可得或

综上可得或

则的取值范围是.

18.（1）（）；（2）或

【解析】 (1)设点P的坐标，然后根据,坐标化化简后可得动点P的轨迹方程，要注意点P不在x轴上.

（2）在（1）的基础上，直线方程与椭圆方程联立，消y后根据韦达定理，及弦长公式建立关于k的方程，求出k值，从而直线方程确定

19.（1）（2）

解析：（1）因为双曲线的渐近线方程为，则点到渐近线距离为（其中c是双曲线的半焦距），所以由题意知，又因为，解得，故所求双曲线的渐近线方程是.

（2）因为，由余弦定理得，即。又由双曲线的定义得，平方得，相减得。

根据三角形的面积公式得，得。再由上小题结论得，故所求双曲线方程是.

20.（1）解：当a=0时，f（x）=ex（sinx﹣e），

则f′（x）=ex（sinx﹣e）+excosx=ex（sinx﹣e+cosx），

∵sinx+cosx= sin（x+ ）≤ ＜e，

∴sinx+cosx﹣e＜0

故f′（x）＜0

则f（x）在R上单调递减
（2）解：当x≥0时，y=ex≥1，

要证明对任意的x∈[0，+∞），f（x）＜0．

则只需要证明对任意的x∈[0，+∞），sinx﹣ax2+2a﹣e＜0．

设g（a）=sinx﹣ax2+2a﹣e=（﹣x2+2）a+sinx﹣e，

看作以a为变量的一次函数，

要使sinx﹣ax2+2a﹣e＜0，

则 ，即 ，

∵sinx+1﹣e＜0恒成立，∴①恒成立，

对于②，令h（x）=sinx﹣x2+2﹣e，

则h′（x）=cosx﹣2x，

设x=t时，h′（x）=0，即cost﹣2t=0．

∴t= ，sint＜sin ，

∴h（x）在（0，t）上，h′（x）＞0，h（x）单调递增，在（t，+∞）上，h′（x）＜0，h（x）单调递减，

则当x=t时，函数h（x）取得最大值h（t）=sint﹣t2+2﹣e=sint﹣（ ）2+2﹣e

=sint﹣ +2﹣e= sin2t+sint+ ﹣e=（ +1）2+ ﹣e≤（ ）2+ ﹣e= ﹣e＜0，

故④式成立，

综上对任意的x∈[0，+∞），f（x）＜0

21.（1）（2）

解析：设

由抛物线得焦点坐标为，

所以， ， ,

所以由得 ，

（1）抛物线的准线方程为，

由抛物线定义得： ， ， ，

所以 .

（2）显然直线斜率存在，设为，则直线方程为，

联立消去得，

所以，即．...................... ...................①

且，所以，

代入式子得又点也在抛物线上，

所以，即．....................................②

由①，②及可解得即，

又当时，直线过点，此时三点共线，由得

与共线，即点也在直线上，此时点必与之一重合，

不满足点为该抛物线上不同的三点，所以，

所以实数的取值范围为.

22.解：（Ⅰ）a=2时，f（x）=ln（1+x）﹣ ，f′（x）= ﹣ = ．（x＞﹣1）．

∴函数f（x）的单增区间为（0，+∞）；单减区间为（﹣1，0）．
（Ⅱ）函数 ，实数a＞0．f（0）=0．（x＞0）．
f′（x）= ﹣
= ．
令g（x）=（1+x）a﹣（1+x）+ax，g（0）=0．
a≤0时，可得：g（x）＜0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，∴f（x）＜f（0）=0，满足条件．
g′（x）=a（1+x）a﹣1+a，令x=0，则g′（0）=2a﹣1．
当0＜a 时，g′（x）≤0，函数g（x）单调递减，∴g（x）＜g（0）=0．f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，∴f（x）＜f（0）=0，满足条件．
a 时，存在x0＞0，使得g′（x0）=0，g′（x）＞0，函数g（x）在（0，x0）上单调递增，g（x）＞g（0）．
从而f（x）在（0，x0）上单调递增，f（x）＞f（0）=0，不满足条件，舍去．
综上可得：a ．
即a的最大值为：