【数学】甘肃省张掖市高台一中2019-2020学年高二下学期期中考试（理）
展开甘肃省张掖市高台一中2019-2020学年
高二下学期期中考试（理）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
测试范围： 选修2-2、选修2-3第一章
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知函数在处可导，若，则
A． B．
C． D．
2．设函数的导函数为，若是奇函数，则曲线在点处切线的斜率为（ ）
A． B． C．2 D．
3．在利用函数计算时，可推得结论（ ）
A． B．
C． D．
4.下列各组函数中，表示同一函数的是
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
5．一物体在力（单位）的作用下沿与力相同的方向，从处运动到处（单位，则力所做的功为（ ）
A．54焦 B．40焦 C．36焦 D．14焦
6．函数的导函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
7．一物体在力（单位）的作用下沿与力相同的方向，从处运动到处（单位，则力所做的功为（ ）
A．54焦 B．40焦 C．36焦 D．14焦
8．已知函数，则不等式的解集是
A． B．
C． D．
9．设函数的导函数为，若是奇函数，则曲线在点处切线的斜率为（ ）
A． B． C．2 D．
10．一物体作变速直线运动，其曲线如图所示，则该物体在间的运动路程为（ ）m．
A．1 B． C． D．2
11．函数的单调递增区间是
A. B.
C. D.
12．已知直线分别与函数和交于、两点，则、之间的最短距离是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．曲线在点（0，1）处的切线方程为 .
14．若展开式的二项式系数之和是64，则展开式中的常数项的值是__________.
15．__________．
16．古埃及数学中有一个独特现象：除了用一个单独的符号表示以外,其他分数都要写成若干个分数和的形式,例如．可以这样来理解：假定有2个面包,要平均分给5个人,每人分将剩余,再将这分成5份,每人分得,这样每人分得．同理可得,,…,按此规律,则__________（）
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）求下列函数的导数：
（1）；
（2）.
18．（12分）已知二项式的二项展开式中所有奇数项的二项式系数之和为128.
（1）求的展开式中的常数项；
（2）在 (1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋(1＋x) 的展开式中，求项的系数.(结果用数字作答)
19．（12分）已知函数的图象如图，直线在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围成的区域（阴影）面积为.
（1）求的解析式；
（2）若常数，求函数在区间上的最大值.
20．（12分）某地环保部门跟踪调查一种有害昆虫的数量．根据调查数据，该昆虫的数量（万只）与时间（年）（其中）的关系为．为有效控制有害昆虫数量、保护生态环境，环保部门通过实时监控比值（其中为常数，且）来进行生态环境分析．
（1）当时，求比值取最小值时的值；
（2）经过调查，环保部门发现：当比值不超过时不需要进行环境防护．为确保恰好3年不需要进行保护，求实数的取值范围．（为自然对数的底，）
21．（12分）某地环保部门跟踪调查一种有害昆虫的数量．根据调查数据，该昆虫的数量（万只）与时间（年）（其中）的关系为．为有效控制有害昆虫数量、保护生态环境，环保部门通过实时监控比值（其中为常数，且）来进行生态环境分析．
（1）当时，求比值取最小值时的值；
（2）经过调查，环保部门发现：当比值不超过时不需要进行环境防护．为确保恰好3年不需要进行保护，求实数的取值范围．（为自然对数的底，）
22．（12分）已知函数，设的导函数为．
（1）求证；
（2）设的极大值点为，求证．（其中）
参考答案
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
B | C | D | D | C | C | C | B | D | C | C | D |
13． 14． 15．. 16．
17．（本小题满分10分）
【解析】(1)f'(x)=(1+sin x)'(1-4x)+(1+sin x)(1-4x)'=cos x(1-4x)-4(1+sin x)=cos x-4xcos x-4-4sin x.
(2)f(x)=-2x=1--2x,则f'(x)=-2xln 2.
18．（本小题满分12分）
【解析】所有奇数项的二项式系数之和为128，，解得.
（1）的第项为，
令，得，则常数项为；
（2）
展开式中的系数为：
.
19．（本小题满分12分）
【解析】（1）由得.，由得，
∴，则易知图中所围成的区域（阴影）面积为，从而得，∴.
（2）由（1）知.的取值变化情况如下：
2 | |||||
单调 递增 | 极大值 | 单调 递减 | 极小值 | 单调 递增 |
又，所以①当时,；
②当时,
综上可知：当时,；
当时,
20．（本小题满分12分）
【解析】（1）当时，，∴
列表得：
2 | |||
0 | |||
单调减 | 极小值 | 单调增 |
∴在上单调递减，在上单调递增∴在时取最小值；
（2）∵ 根据（1）知：在上单调减，在上单调增,∵确保恰好3年不需要进行保护 ∴，
解得：,实数的取值范围为．
21．（本小题满分12分）
【解析】（1）当时，，∴
列表得：
2 | |||
0 | |||
单调减 | 极小值 | 单调增 |
∴在上单调递减，在上单调递增 ∴在时取最小值；
（2）∵ 根据（1）知：在上单调减，在上单调增
∵确保恰好3年不需要进行保护 ∴，解得：
答：实数的取值范围为．
22．（本小题满分12分）
【解析】（1）由已知的导函数为．
要证，只需要证明．
设，则．
故在递减，在递增，
故．
（2）证明：因为，
所以．
令，则
可知，当时，单调递减，当，时，单调递增．
又，， ，所以在有唯一零点，
在，有唯一零点1．
且当，，当，，，所以是的唯一的极大值
点，故，，
所以
因为，显然,故．
