【数学】广西北流市实验中学2019-2020学年高二下学期期中考试（理）
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高二下学期期中考试（理）
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知,，则M（ ）
A. B. C. D.
2.复平面内，复数的虚部为（ ）
A B. C. 1 D.
3. 为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得知5户家庭收入的平均值万元，支出的平均值万元，根据以上数据可得线性回归方程为 ，其中 ，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（ ）
A．11．4万元 B．11．8万元 C．12．0万元 D．12．2万元
4. 记为等差数列的前项和．若，，则 的公差为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
5.已知函数，其中，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．7
6.要得到的图象，只需将的图象（ ）
A.向左平移个单位 B.向右平移个单位
C.向左平移个单位 D.向右平移个单位
7.直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆C:上，则面积的最大值是（ ）
A．6 B． C． 2 D．
8.设数列的前项和为．若，，，则=（ ）．
A. 242 B. 121 C. 62 D. 31
9.已知某几何体的三视图（如图），其中俯视图和侧（左）视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正（主）视图为直角梯形，则几何体的体积V的大小为（ ）
A. B. C. 12 D. 16
10.球的表面上有三点，，，过，和球心O作截面，截面圆中劣弧长，已知该球的半径为，则球心0到平面的距离为（ ）
A. 1 B. 2 C. D.
11．已知,是双曲线：的左、右焦点，点在上，与轴垂直，,则双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． 2 C． D．
12.已知偶函数y= f (x)对于任意的x满足f(x)cosx＋f(x)sinx>0(其中f (x)是函数f (x)的导函数），则下列不等式中不成立的是（ ）
二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知向量,则向量的夹角为
14. 若实数x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值是
15的展开式的常数项是
16.七位同事（四男三女）轮值办公室每周的清洁工作，每人轮值一天，其中男同事甲必须安排周日清洁，且三位女同事任何两位的安排不能连在一起，则不同的安排方法种数是
（用数字作答）
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
17. （本小题满分12分）
在锐角的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知.
（1）求角的大小；
（2）若的面积为，求b．
18．（本小题满分12分）
甲、乙两名同学参加一项射击游戏，两人约定，其中任何一人每射击一次，击中目标得2分，未击中目标得0分．若甲、乙两名同学射击的命中率分别为和p，且甲、乙两人各射击一次所得分数之和为2的概率为，假设甲、乙两人射击互不影响．
(1)求p的值；
(2)记甲、乙两人各射击一次所得分数之和为X，求X的分布列和均值E(X)．
19.（本小题满分12分）
如图，四面体ABCD中，△ABC是边长为2的正三角形，△ACD是直角三角形，
∠ABD=∠CBD，AB=BD。（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；
（2）若过AC的平面交BD的中点E，求二面角D–AE–C的余弦值．
20、（本小题满分12分）
已知椭圆E:的一个顶点为，离心率为．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设A， B分别为椭圆的左、右顶点， 过左焦点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点． 若， 求k的值．
21．（本小题满分12分）
已知函数f(x)=ax＋ln(x－1)，其中．
（1）试讨论f (x)的单调区间，
(2)若时，存在x使得不等式成立，求b的取值范围．
请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做，则按所做的第一题计分
22.（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程
已知圆C的极坐标方程为，直线l的参数方程为
（t为参数）.
(1) 把圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2) 求直线l被圆C截得的线段AB的长.
23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数f(x)=｜3x+2｜
（1）解不等式，
（2）已知m+n=1(m,n>0)，若恒成立，求实数a的取
值范围．
参考答案
一、选择题：
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
A | D | B | C | D | B | A | B | A | D | C | B |
1.
2.
3.
4.由已知得：
5.
6.
二、填空题：13、 14、 16 15、 3 16、 144
16.先安排男同事在星期日轮值有，其余3位男同事作全排列有，后3位女同事插空安排有，分步完成共有方法种数为：=144
三、解答题：
17(1)由题设及正弦定理得：．.……… 2分
因为，所以．.… 3分
，因此．.……… 5分
(2) 的面积为，.……… 7分
又，；. ……… 8分
由已知及余弦定理得：……10分
=7 ……12分
18解：(1)设“甲射击一次，击中目标”为事件A，“乙射击一次，击中目标”为事件B，
“甲射击一次，未击中目标”为事件，“乙射击一次，未击中目标”为事件，.………1 分
则P(A)＝，P()＝，P(B)＝p，P()＝1－p. .………3 分
依题意得(1－p)＋p＝， .……… 4分
解得p＝，故p的值为. .……… 5分
(2)由已知X的取值分别为0,2,4. 且P（B）= ，P() = … 6分
P(X＝0)＝P( )＝P()P()＝×＝， .……… 7分
P(X＝2)＝， .……… 8分
P(X＝4)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝， .……… 9分
∴X的分布列为
X | 0 | 2 | 4 |
P |
.……… 10分
∴E(X)＝0×＋2×＋4×＝. .……… 12分
19.解：（1）由题设易知：
又是直角三角形，所以且AD=DC= ……… 1分
取AC的中点O，连接DO,BO,则DO⊥AC且DO=1，……… 2分
又由于且BO=……… 3分
又.……… 4分
……… 5分
所以平面ACD⊥平面ABC；.……… 6分
（2）由题设及（1）知，建立如图所示的空间直角坐标系，则
， ……… 7分
故
设是平面DAE的法向量，则
可取 ……… 8分
设是平面AEC的法向量，则同理可得……… 9分
则，……… 11分
所以二面角D-AE-C的余弦值为……… 12分
20解 (1) .……… 2分 .……… 3分
所以椭圆的方程为 .……… 4分
(2)设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，由（1）得F(－1,0)，所以直线CD的方程为y＝k(x＋1)，
由方程组消去y，整理得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0. .……… 6分
求解可得x1＋x2＝，x1x2＝ ..……… 7分
因为A(，0)，B(，0)，
所以·＋·
＝(x1＋，y1)·(－x2，－y2)＋(x2＋，y2)·(－x1，－y1) ..……… 8分
＝6－2x1x2－2y1y2＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1)
＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2 ..……… 9分
＝． ..……… 10分
由已知得＝8，解得k＝． ..……… 12分
21.解：（1）由已知得函数的定义域为
= .……… 1分
当时，在定义域内恒成立，的单调增区间为，.…2分
当时，由得
当时，；.……… 3分
当时，.……… 4分
的单调增区间为，减区间为 .……… 5分
（2）由（1）知当时，的单调增区间为，减区间为.
所以 ……… 6分
所以恒成立，当时取等号.
令=，则 ……… 7分
当时，；当时，
从而在上单调递增，在上单调递减
所以， ……… 10分
所以，存在使得不等式成立
只需
即： ……… 12分
22解：（1）由可得，----2分
∴圆C的直角坐标方程为 - -------------4分
-----------------4分
（2）直线的参数方程（t为参数）代入化简得： ---------6分，---------7分
据t的几何意义得：
-------------9分
-------------10分
23解：（1）不等式，即，.……… 1分
当时，即 解得.……… 2分
当时，即 解得.……… 3分
当时，即无解，.……… 4分
综上所述 .……… 5分
（2），.……… 6分
令.……… 8分
时，，要使不等式恒成立，……… 9分
只需即. ……… 10分
