【数学】广西北流市实验中学2019-2020学年高二下学期期中考试（文）

广西北流市实验中学2019-2020学年

高二下学期期中考试（文）

注意事项：

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知,，则M（     ）

    A.  B.  C.       D.

2、复平面内，复数的对应的点位于（     ） 

    A . 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3、为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得知5户家庭收入的平均值万元，支出的平均值万元，根据以上数据可得线性回归方程为 ，其中 ，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（     ）

A．万元     B．万元      C．万元       D．万元

4、记为等差数列的前项和．若，，则 的公差为（    ）

A．1           B．2          C．4          D．8

5、已知函数，其中，则（     ）

A．2     B．4　　　　　C．6    D．7

6、要得到的图象，只需将的图象（      ）

A.向左平移个单位         B.向右平移个单位

C.向左平移个单位         D.向右平移个单位

7、直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的最大值是（    ）

A．6       B．         C． 2      D．

8、设数列的前项和为．若，，，则=（     ）

A. 242          B. 121         C. 62         D. 31

9、某综艺节目为比较甲、乙两名选手的各项能力（指标值满分为5分，分值高者为优），分别绘制了如图所示的六维能力雷达图，图中点表示甲的创造力指标值为4，点表示乙的空间能力指标值为3，则下列叙述错误的是　　

A．甲的六大能力中推理能力最差            B．甲的创造力优于观察能力 

C．乙的计算能力优于甲的计算能力    D．乙的六大能力整体水平低于甲

10、球的表面上有三点，，，过，和球心O作截面，截面圆中劣弧长，已知该球的半径为，则球心0到平面的距离为（     ）

A. 1         B.2        C.           D.

11、已知,是双曲线：的左、右焦点，点在上，与轴垂直，,则双曲线的离心率为（      ）

A．2          B． 2          C．          D．

12、已知的定义域为，满足，且在单调递减，若，，，则，，的大小关系为（   ）

A.          B.

 C.          D.

二. 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、已知向量,则               

14、 若实数，满足约束条件，则的最大值是       

15、部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形。谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出。具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形，如上图。现在图（3）中随机选取一个点，则此点取自阴影部分的概率为       

16、已知定义在上的函数满足，其中是函数的导函数。若，则实数的范围为         

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

17、（本小题满分12分）

锐角的内角、、的对边分别为、、，已知.

（1）求角的大小；

（2）若的面积为，求．

18、（本小题满分12分）

2019年11月，第2届中国国际进口博览会在中国上海召开，盛况空前，吸引了全球2800多家企业来参加。为评估企业的竞争力和长远合作能力，需要调查企业所在国家的经济状况。某机构抽取了50个国家，按照它们2017年的GDP总量，将收集的数据分成，，，，（单位：亿美元）五组，做出上图的频率分布直方图：

（1）试根据频率分布直方图估计这些国家的平均GDP（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）。

（2）研究人员发现所抽取的50个国家中，有些很早就与中国建交开展合作，有些近期才开始与中国合作，将两类国家分为“合作过”和“未合作过”。请根据频率分布直方图完成上表，并说明是否有95﹪的把握说明这些国家的GDP超过4000亿美元与中国合作有关。

19、（本小题满分12分）

如图，在四棱锥中，侧面底面，底面为梯形，，．

（1）证明：；

（2）若为正三角形，求点到平面的距离．

20、（本小题满分12分）

已知椭圆:的一个顶点为，离心率为．

（1）求椭圆的方程；

（2）设，分别为椭圆的左、右顶点， 过左焦点且斜率为的直线与椭圆交于C，D两点． 若， 求的值．

21、（本小题满分12分）

已知函数．

（1）求曲线在处的切线方程；

（2）设，若的最小值小于0，求实数的取值范围．

请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做，则按所做的第一题计分

22、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知圆的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数）.

(1) 把圆的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2) 求直线被圆截得的线段的长.

23、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数

  （1）解不等式，

  （2）已知，若恒成立，求实数的取值范围。

参考答案

一、选择题：

2.,则点在第四象限。

3.

4.由已知得：

5.

6.

12.，可知为偶函数。，

二、填空题：13、     14、         15、       16、

13、，

16、设函数，在单调递增，故，

三、解答题：

17、(1) 由题设及正弦定理得：．.……… 2分

因为，所以．.… 3分

，因此．.……… 5分

(2) 的面积为，.……… 7分

又，；.                 ……… 8分

由已知及余弦定理得：……10分

. =7         ……12分

18、（1）这些国家的平均GDP为： （亿美元）    ……… 4分

（2）

……… 7分

所以的观测值……… 10分

所以有﹪以上的把握认为这些国家的GDP超过亿美元和与中国合作有关。……… 12分

19、（1）证明：因为，，又底面 为直角梯形，

，

，……… 3分

又侧面底面，

平面，………5分

又在平面内，

；    ……… 6分

（2）因为侧面底面，为等边三角形，取的中点，连接，

平面，，……… 8分

，

设点到 面的距离为为，

则，………10分

    ……… 12分

20、 (1)  ……… 2分  ……… 3分

所以椭圆的方程为     ……… 4分

(2)设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，由（1）得F(－1,0)，所以直线CD的方程为y＝k(x＋1)，

由方程组消去y，整理得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0.……… 6分

求解可得x1＋x2＝，x1x2＝          ……… 7分

因为A(，0)，B(，0)，

所以·＋·

＝(x1＋，y1)·(－x2，－y2)＋(x2＋，y2)·(－x1，－y1)……… 8分

＝6－2x1x2－2y1y2＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1)

＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2                        ……… 9分

＝．                       ……… 10分

由已知得＝8，解得k＝．  ……… 12分

21、解：（1），，……… 1分

，   ……… 2分

，故曲线在，处的切线方程为.……… 4分

（2），，

当时，，所以在上单调递增，不符合题意，………6分

当时，，

当时，，递减；

当时，，递增；……… 9分

故的最小值为，……… 10分    

因为，所以，即，，

所以数的取值范围为．   ……… 12分

22、（1）由可得，----2分

         ∴圆C的直角坐标方程为 - -------------4分

                 -----------------4分

  （2）直线的参数方程（t为参数）代入化简得： ---------6分，---------7分

      据t的几何意义得：

        -------------9分

                   -------------10分

23、（1）不等式，即，.……… 1分

当时，即  解得.……… 2分

当时，即  解得.……… 3分

当时，即无解，.……… 4分

综上所述                         .……… 5分

（2），.……… 6分

令.……… 8分

时，，要使不等式恒成立，……… 9分

只需即.    ……… 10分