人教B版 (2019)第三章 函数3.2 函数与方程、不等式之间的关系精品学案设计

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一.数或式比较大小问题


数或式比较大小的方法


(1)作差或作商比较法.


(2)找中间量来比较， 往往找1或0.


(3)特值法，对相关的式子赋值计算得出结果.


(4)数形结合法，画出相应的图形， 直观比较大小.


[训练1] 若A＝(x＋3)(x＋7)，B＝(x＋4)(x＋6)，则A，B的大小关系为________.


A＜B [因为A－B＝(x＋3)(x＋7)－(x＋4)(x＋6)＝x2＋10x＋21－(x2＋10x＋24)＝－3＜0，所以A＜B.]


[训练2] 已知a＜b＜c，试比较a2b＋b2c＋c2a与ab2＋bc2＋ca2的大小.


解 a2b＋b2c＋c2a－(ab2＋bc2＋ca2)


＝(a2b－ab2)＋(b2c－bc2)＋(c2a－ca2)


＝ab(a－b)＋bc(b－c)＋ca(c－a)


＝ab(a－b)＋bc[(b－a)＋(a－c)]＋ca(c－a)


＝ab(a－b)＋bc(b－a)＋bc(a－c)＋ca(c－a)


＝b(a－b)(a－c)＋c(a－c)(b－a)


＝(a－b)(a－c)(b－c).


因为a＜b＜c，所以a－b＜0，a－c＜0，b－c＜0，


所以(a－b)(a－c)(b－c)＜0.


所以a2b＋b2c＋c2a＜ab2＋bc2＋ca2.


二.不等式的性质及应用


应用时容易出错的不等式的性质


(1)同向不等式可以相加；异向不等式可以相减；


若a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d，


若a＞b，c＜d则a－c＞b－d，


但异向不等式不可以相加，同向不等式不可以相减.


(2)左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘.


若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd；


若a＞b＞0,0＜c＜d，则eq \f(a,c)＞eq \f(b,d).


(3)左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方.


若a＞b＞0，则an＞bn或eq \r(n,a)＞eq \r(n,b).


(4)若ab＞0，a＞b，则eq \f(1,a)＜eq \f(1,b)，若ab＜0，a＞b，则eq \f(1,a)＞eq \f(1,b).


[训练3] 若a＞b, x＞y，下列不等式正确的是( )


A.a＋x＜b＋y B.ax＞by


C.|a|x≥|a|y D.(a－b)x＜(a－b)y


C [因为当a≠0时， |a|＞0，不等式两边同乘以一个大于零的数，不等号方向不变；当a＝0时，|a|x＝|a|y，故|a|x≥|a|y.]


[训练4] 已知x＞y＞z，x＋y＋z＝0，则下列不等式成立的是( )


A.xy＞yz B.xz＞yz


C.xy＞xz D.x|y|＞z|y|


C [因为x＞y＞z，且x＋y＋z＝0，所以x＞0，z＜0，又y＞z，所以xy＞xz.]


[训练5] 下列命题中，正确的是( )


A.若a＞b，c＞d，则ac＞bd


B.若ac＞bc，则a＞b


C.若eq \f(a,c2)＜eq \f(b,c2)，则a＜b


D.若a＞b，c＞d，则a－c＞b－d


C [取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，可知A错误；当c＜0时，ac＞bc，则a＜b，所以B错误；因为eq \f(a,c2)＜eq \f(b,c2)，所以c≠0，又c2＞0，所以a＜b，C正确；取a＝c＝2，b＝d＝1，可知D错误.]


三. 一元二次不等式的解法[来源:]


(1)一元二次不等式常与集合运算相结合.


(2)三个二次之间的关系是解决一元二次不等式问题的关键.


(3)含参数的一元二次不等式恒成立问题是常见题型，关键是等价转化与合理分类.构造函数法与判别式、根与系数的关系是常见思考方向.


[训练6] 若关于x的不等式ax2－6x＋a21，,1＋m＝\f(6,a)，,1·m＝a，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝2，,a＝2.))]


[训练7] 解关于x的不等式ax2－2ax＋a＋3＞0.


解 当a＝0时，解集为R；


当a＞0时，Δ＝－12a＜0，所以解集为R；


当a＜0时，Δ＝－12a＞0，


方程ax2－2ax＋a＋3＝0的两根分别为eq \f(a＋\r(－3a),a)，eq \f(a－\r(－3a),a)，所以此时不等式的解集为


eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a＋\r(－3a),a)＜x＜\f(a－\r(－3a),a))))).


综上所述，当a≥0时，原不等式的解集为R；当a＜0时，原不等式的解集为


eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a＋\r(－3a),a)＜x＜\f(a－\r(－3a),a))))).


四、利用基本不等式求最值问题


基本不等式通常用来求最值问题


一般用a＋b≥2eq \r(ab)(a>0，b>0)解“积定求和，和最小”问题，用ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2解“和定求积，积最大”问题.


[训练8] 设a，b，c为正实数，且满足a－3b＋2c＝0，则eq \f(b2,ac)的最小值是________.


eq \f(8,9) [因为a，b，c为正实数，a－3b＋2c＝0，所以b＝eq \f(a＋2c,3). 则eq \f(b2,ac)＝eq \f(a＋2c2,9ac)≥eq \f(8ac,9ac)＝eq \f(8,9)，当且仅当a＝2c，b＝eq \f(4c,3)时取等号，所以eq \f(b2,ac)的最小值是eq \f(8,9).]


[训练9] 设x，y都是正数，且eq \f(1,x)＋eq \f(2,y)＝3，求2x＋y的最小值.


解 因为eq \f(1,x)＋eq \f(2,y)＝3，所以eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(2,y)))＝1.


所以2x＋y＝(2x＋y)×1＝(2x＋y)×eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(2,y)))


＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4＋\f(y,x)＋\f(4x,y)))≥eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4＋2\r(\f(y,x)·\f(4x,y))))＝eq \f(4,3)＋eq \f(4,3)＝eq \f(8,3).


当且仅当eq \f(y,x)＝eq \f(4x,y)，即y＝2x时，取等号.[来源:]


又因为eq \f(1,x)＋eq \f(2,y)＝3，所以x＝eq \f(2,3)，y＝eq \f(4,3).[来源:]


所以2x＋y的最小值为eq \f(8,3).


五．利用基本不等式求解实际问题


在实际应用中，经常涉及函数y＝x＋eq \f(k,x)(k>0)．一定要注意基本不等式适用的范围和条件：“一正、二定、三相等”．特别是利用拆项、添项、配凑、分离变量等，构造定值条件的方法和对等号能否成立的验证．


[训练10] 某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位m/s)、平均车长l(单位：m)的值有关，其公式为F＝eq \f(76 000v,v2＋18v＋20l).


(1)如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为____辆/小时；


(2)如果限定车型，l＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/小时．


(1)1 900 (2)100 [(1)l＝6.05，则F＝eq \f(76 000v,v2＋18v＋121)＝eq \f(76 000,v＋18＋\f(121,v))，由基本不等式v＋eq \f(121,v)≥2eq \r(121)＝22，得F≤eq \f(76 000,22＋18)＝1 900(辆/小时)，故答案为1 900.


(2)l＝5，F＝eq \f(76 000v,v2＋18v＋100)＝eq \f(76 000,v＋18＋\f(100,v))，由基本不等式v＋eq \f(100,v)≥2eq \r(100)＝20，得F≤eq \f(76 000,20＋18)＝2 000(辆/小时)，增加2 000－1 900＝100(辆/小时)，故答案为100.]


[训练11] 某商品进货价每件50元，据市场调查，当销售价格(每件x元)为50