高中数学人教B版 (2019)必修 第一册第三章 函数3.2 函数与方程、不等式之间的关系精品第1课时学案设计

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第一课时 函数的零点及“三个二次”之间的关系





知识点1 函数的零点


1.函数零点的定义：一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的函数值等于零，即f(α)＝0，则称α为函数y＝f(x)的零点.


2.一个结论：α是函数零点的充分必要条件是，(α， 0)是函数图像与x轴的公共点.


注意：求函数y＝f(x)的零点，实质上就是要解方程f(x)＝0.


[微体验]


1.函数y＝2x－6的零点是________.


3 [因为2x－6＝0，所以x＝3.]


2.函数f(x)＝x2－eq \f(1,x)的零点个数是________.


1 [f(x)零点的个数就是方程x2－eq \f(1,x)＝0根的个数，也就是y＝x2与y＝eq \f(1,x)两函数图像交点的个数，如图.


]


知识点2 二次函数的零点及其与对应方程、不等式之间的关系


一般地，由一元二次方程解集的情况可知，对于二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)：


知识点3 零点的存在性及其近似值的求法


1.函数零点存在定理


如果函数y＝f(x)在区间[a, b]上的图像是连续不断的，并且f(a)·f(b)_<0(即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数y＝f(x)在[a, b]中至少有一个零点x0，即∃x0∈[a,_b]，f(x0)＝0.


注意：一般地，多项式函数的图像都是连续不断的，但反比例函数y＝eq \f(1,x)的图像不是连续的.


[微体验]


思考辨析


(1)函数f(x)的零点就是函数y＝f(x)的图像与x轴的交点.( )


(2)在闭区间[a，b]上连续的曲线y＝f(x)，若f(a)·f(b)＜0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内仅有一个零点.( )


(3)在闭区间[a，b]上连续的曲线y＝f(x)，若f(a)·f(b)＞0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内没有一个零点.( )


答案 (1)× (2)× (3)×


2.用二分法求函数零点的近似值步骤


在函数零点存在定理的条件满足时，给定近似的精确度ε，用二分法求零点x0的近似值x1，使得| x1－ x0|<ε的一般步骤如下：


第一步 检查| b－a|<ε是否成立，如果成立，取x1＝a或x1＝b，计算结束；如果不成立，转到第二步.


第二步 计算区间[a, b]的中点eq \f(a＋b,2)对应的函数值，若feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))＝0，取x1＝eq \f(a＋b,2)，计算结束；若feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))≠0，转到第三步.


第三步 若f(a)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))<0，将eq \f(a＋b,2)的值赋给b(用eq \f(a＋b,2)→b表示，下同)，回到第一步；若feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))f(b)<0，将eq \f(a＋b,2)的值赋给a，回到第一步.


[微体验]


1.思考辨析：


(1)所有函数的零点都可以用二分法来求.( )


(2)函数f(x)＝|x|可以用二分法求其零点.( )


(3)二分法只可用来求方程的近似解.( )


答案 (1)× (2)× (3)×


2.用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经过计算得f(0)＜0，f(0.5)＞0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________.


(0,0.5) f(0.25) [因为f(0)<0，f(0.5)>0，所以x0∈(0,0.5)，故第二次应计算f(0.25).]











探究一 求函数的零点


(1)函数f(x)＝x＋eq \f(1,x)的零点的个数为( )


A.0 B.1


C.2 D.3


A [方法一：令f(x)＝0，即x＋eq \f(1,x)＝0，所以x2＋1＝0，此方程显然无解，故函数f(x)＝x＋eq \f(1,x)的零点的个数为0.


方法二：函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，当x>0时，f(x)>0；当x<0时，f(x)<0，但此函数在定义域内的图像不连续，所以函数没有零点.]


(2)已知函数f(x)＝ax－b(a≠0)的零点为3，求函数g(x)＝bx2＋ax的零点.


解 由已知得f(3)＝0即3a－b＝0，即b＝3a.


故g(x)＝3ax2＋ax＝ax(3x＋1).


令g(x)＝0，即ax(3x＋1)＝0，解得x＝0或x＝－eq \f(1,3).


所以函数g(x)的零点为0和－eq \f(1,3).


[方法总结]


函数零点的求法


(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根；


(2)几何法：与函数y＝f(x)的图像联系起来，图像与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.


[跟踪训练1] 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出；否则，请说明理由.


(1)f(x)＝x2＋7x＋6；


(2)f(x)＝eq \f(x2＋4x－12,x－2).


解 (1)解方程f(x)＝x2＋7x＋6＝0，


得x＝－1或x＝－6，


所以函数的零点是－1，－6.


(2)解方程f(x)＝eq \f(x2＋4x－12,x－2)＝0，得x＝－6，


所以函数的零点为－6.[来源:学|科|网Z|X|X|K]


探究二 解一元二次不等式问题





利用函数求下列不等式的解集：


(1)x2－5x－6＞0；(2)(2－x)(x＋3)＜0；


(3)4(2x2－2x＋1)＞x(4－x).


解 (1)方程x2－5x－6＝0的两根为x1＝－1，x2＝6.


结合二次函数y＝x2－5x－6的图像知，原不等式的解集为{x|x＜－1或x＞6}.


(2)原不等式可化为(x－2)(x＋3)＞0.


方程(x－2)(x＋3)＝0的两根为x1＝2，x2＝－3.


结合二次函数y＝(x－2)(x＋3)的图像知，原不等式的解集为{x|x＜－3或x＞2}.


(3)由原不等式得8x2－8x＋4＞4x－x2.


所以原不等式等价于9x2－12x＋4＞0.


解方程9x2－12x＋4＝0，得x1＝x2＝eq \f(2,3).


结合二次函数y＝9x2－12x＋4的图像知，原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(2,3))))).


[方法总结]


一元二次不等式的一般步骤


(1)对不等式变形，使一端为零且二次项系数大于零.


(2)计算相应的判别式.


(3)当Δ＞0时求出相应的一元二次方程的两根.


(4)根据一元二次不等式解集的结构，写出其解集. ,


[跟踪训练2] 利用函数求下列不等式的解集：


(1)x2－5x＋6>0；(2)－eq \f(1,2)x2＋3x－5>0.


解 (1)方程x2－5x＋6＝0有两个不等实数根为x1＝2，x2＝3，又因为函数y＝x2－5x＋6的图像是开口向上的抛物线，且抛物线与x轴有两个交点，分别为(2,0)和(3,0)，其图像如图①.根据图像可得不等式的解集为{x|x<2或x>3}.


(2)原不等式可化为x2－6x＋10<0，对于方程x2－6x＋10＝0，因为Δ＝(－6)2－40<0，所以方程无解，又因为函数y＝x2－6x＋10的图像是开口向上的抛物线，且与x轴没有交点，其图像如图②.根据图像可得不等式的解集为∅.





探究三 “三个二次”关系的应用


已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|1＜x＜2}，试求关于x的不等式bx2＋ax＋1>0的解集.


解 由根与系数的关系，可得


eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－a＝1＋2，,b＝1×2，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－3，,b＝2.))


故不等式bx2＋ax＋1>0，为2x2－3x＋1>0.


由2x2－3x＋1>0，解得x1.


所以bx2＋ax＋1>0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<\f(1,2)或x>1)))).


[方法总结]


应用三个“二次”之间的关系解题的思想


一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系，即给出了一元二次不等式的解集，则可知不等式二次项系数的符号和相应一元二次方程的根.在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换. ,


[跟踪训练3] 已知不等式ax2－bx＋2<0的解集为{x|1

解 方法一：由题设条件知a>0，且1,2是方程ax2－bx＋2＝0的两实根.


由根与系数的关系，知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋2＝\f(b,a)，,1×2＝\f(2,a)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝3.))


方法二：把x＝1,2分别代入方程ax2－bx＋2＝0中，


得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－b＋2＝0，,4a－2b＋2＝0.))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝3.))











1.方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图像与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点.


2.三个“二次”之间的关系


(1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究.


(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图像及性质来解决问题，关系如下：








课时作业(二十二) 函数的零点及“三个二次”之间的关系





1.函数f(x)＝x2(x－1)(x＋1)的零点个数是( )


A.1 B.2


C.3 D.4


C [令f(x)＝0得x2(x－1)(x＋1)＝0得x＝0或x＝1或x＝－1，故f(x)有3个零点.]


2.若函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，则实数a的取值范围是( )


A.a＜1 B.a＞1


C.a≤1 D.a≥1


B [由题意知，Δ＝4－4a＜0，所以a＞1.]


3.一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根为2，－1，则当a<0时，不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为( )


A.{x|x<－1或x>2} B.{x|x≤－1或x≥2}


C.{x|－1

D [由题意知，－eq \f(b,a)＝1，eq \f(c,a)＝－2，所以b＝－a，c＝－2a，


又因为a<0，所以不等式ax2＋bx＋c≥0可化为x2－x－2≤0，所以－1≤x≤2.]


4.已知二次函数f(x)的图像的对称轴为直线x＝2，且f(x)的图像截x轴所得的线段长为8，则函数f(x)的零点为( )


A.2,6 B.2，－6


C.－2,6 D.－2，－6


C [由于直线x＝2为二次函数f(x)的图像的对称轴，故根据二次函数的图像，可知f(x)的图像与x轴的两交点必关于直线x＝2对称.又两交点间的距离为8，所以交点坐标为(6,0)和(－2,0)，即函数f(x)的零点为－2,6.]


5.若函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f(x)为偶函数，又f(x)在(0，＋∞)上是减函数，f(2)＝0，则函数f(x)的零点有( )


A.一个 B.两个


C.至少两个 D.无法判断


B [依据给出的函数性质，易知f(－2)＝0，画出函数的大致图像如图：





可知f(x)有两个零点.]


6.若函数f(x)＝ax2＋2ax＋c(a≠0)的一个零点为1，则它的另一个零点是________.


－3 [设另一个零点为x1，则x1＋1＝－2，所以x1＝－3.]


7.不等式ax2＋bx＋12＞0的解集为{x|－3＜x＜2}，则a－b＝________.


0 [由题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＜0，,－3＋2＝－\f(b,a)，,－3×2＝\f(12,a)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－2，,b＝－2.))


所以a－b＝0.]


8.已知函数f(x)＝x2－2x－3，x∈[－1,4].


(1)画出函数y＝f(x)的图像，并写出其值域；


(2)当m为何值时，函数g(x)＝f(x)＋m在[－1, 4]上有两个零点？


解 (1)依题意：f(x)＝(x－1)2－4，x∈[－1,4]，


其图像如图所示.值域为[－4,5].





(2)因为函数g(x)＝f(x)＋m在[－1,4]上有两个零点，所以方程f(x)＝－m在x∈[－1,4]上有两个相异的实数根，


即函数y＝f(x)与y＝－m的图像有两个交点.


由(1)所作图像可知，－4<－m≤0，所以0≤m<4.


所以当0≤m<4时，函数y＝f(x)与y＝－m的图像有两个交点，故当0≤m<4时，函数g(x)＝f(x)＋m在[－1,4]上有两个零点.





1.不等式mx2－ax－1>0(m>0)的解集可能是( )


A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<－1或x>\f(1,4))))) B.R


C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)

A [因为Δ＝a2＋4m>0，所以函数y＝mx2－ax－1的图像与x轴有两个交点，又m>0，所以原不等式的解集不可能是B、C、D.]


2.已知f(x)＝(x－a)(x－b)＋2(a

A.a<α<β

C.α

A [设g(x)＝(x－a)(x－b)，则g(x)向上平移2个单位长度得到f(x)的图像，





由图易知a<α<β

3.若关于x的不等式kx2－6kx＋k＋8≥0在R上恒成立，则实数k的取值范围是________.


{k|0≤k≤1} [当k＝0时，8≥0显然成立；当k≠0时，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k>0,36k2－4kk＋8≤0))，解得0＜k≤1.综上得0≤k≤1.]


4.已知函数f(x)＝2(m＋1)x2＋4mx＋2m－1.


求当m为何值时，函数f(x)有两个零点.


解 函数f(x)有两个零点，即方程


2(m＋1)x2＋4mx＋2m－1＝0有两个不相等的实根，


所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ＝16m2－8m＋12m－1>0，,2m＋1≠0，))


解得m<1且m≠－1，


所以当m<1且m≠－1时，函数f(x)有两个零点.


5.(拓广探索)已知函数f(x)＝x2－2x＋a，f(x)＜0的解集为{x|－1＜x＜t}.


(1)求a，t的值；


(2)c为何值时，(c＋a)x2＋2(c＋a)x－1＜0的解集为R.


解 (1)因为x2－2x＋a＜0的解集为{x|－1＜x＜t}.


所以－1＋t＝2，－1×t＝a，解得t＝3，a＝－3.


(2)由(1)可知：a＝－3，代入得


(c－3)x2＋2(c－3)x－1＜0，因为其解集为R，


所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(c－3＜0，,Δ＜0，))或c＝3，解得2＜c≤3.


故当2＜c≤3时满足条件.


课程标准
学科素养
1.会结合一元二次函数的图像，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系.
通过对二次函数与一元二次方程、不等式的学习，提升“逻辑推理”、“数学运算”“直观想像”的核心素养.
2.经历从实际情境中抽像出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的实际意义. 能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.
3.借助一元二次函数的图像，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图像
ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根
有两个不相等的实数根x1，x2(x1有两个相等的实数根x1＝x2＝－eq \f(b,2a)
没有实数根
函数零点个数
2
1
0
ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集
{x|x＜x1，或x＞x2}
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x≠－\f(b,2a)))
R
ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集
{x|x1＜x＜x2}
∅
∅