高中数学人教B版 (2019)必修 第一册3.1.3 函数的奇偶性优秀第1课时导学案

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第一册3.1.3 函数的奇偶性优秀第1课时导学案，共9页。

第一课时 函数的奇偶性





知识点1 函数的奇偶性


1.奇偶性定义


偶函数：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D, 如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，则称y＝f(x)为偶函数.


奇函数：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D, 如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则称y＝f(x)为奇函数.


2.奇、偶函数的图像


偶函数的图像关于y轴对称，反之结论也成立；


奇函数的图像关于原点对称，反之结论也成立.


[微思考]


具有奇偶性的函数，其定义域有何特点？


提示 定义域关于原点对称.


[微体验]


思考辨析


(1)函数f(x)＝x2，x∈[0，＋∞)是偶函数.( )


(2)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数.( )


(3)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数.( )


(4)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数就是偶函数.( )


答案 (1)× (2)× (3)× (4)×


知识点2 函数奇偶性的应用


函数奇偶性与单调性的关系


如果y＝f(x)是偶函数，那么其在x>0与x<0时的单调性相反；如果y＝f(x)是奇函数，那么其在x>0与x<0时的单调性相同.


[微体验]


1.已知偶函数在(－∞，0)上单调递增，则( )


A.f(1)>f(2) B.f(1)

C.f(1)＝f(2) D.以上都有可能


A [因为f(x)是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，


所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以f(1)>f(2).]


2.若f(x)为R上的偶函数，且f(2)＝3，则f(－2)＝________.


3 [因为f(x)为R上的偶函数，所以f(－2)＝f(2)＝3.]











探究一 函数奇偶性的判断


判断下列函数的奇偶性：


(1)f(x)＝eq \f(3x,x2＋3)；


(2)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|；


(3)f(x)＝eq \f(2x2＋2x,x＋1).


解 (1)f(x)的定义域是R，


又f(－x)＝eq \f(3－x,－x2＋3)＝－eq \f(3x,x2＋3)＝－f(x)，


所以f(x)是奇函数.


(2)f(x)的定义域是R，


又f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，[来源:ZXXK]


所以f(x)是偶函数.


(3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，所以f(x)是非奇非偶函数.


[方法总结]


1.定义法判断函数的奇偶性





2.图像法判断函数的奇偶性





[跟踪训练1] (1)判断下列函数的奇偶性：


①f(x)＝(x－2) eq \r(\f(2＋x,2－x))；


②f(x)＝x|x|.


解 ①由eq \f(2＋x,2－x)≥0，得定义域为[－2,2)，不关于原点对称，故f(x)为非奇非偶函数.


②函数的定义域为R，因为f(－x)＝(－x)|－x|＝－x|x|＝－f(x)，所以f(x)为奇函数.


(2)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋2x＋3，x<0，,0，x＝0，,－x2＋2x－3，x>0，))试判断函数f(x)的奇偶性.


解 函数f(x)的定义域为R，关于原点对称.


当x<0时，－x>0，


f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)－3＝－x2－2x－3


＝－(x2＋2x＋3)＝－f(x)；


当x＝0时，－x＝0，f(－x)＝f(0)＝0＝－f(x)；


当x>0时，－x<0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＋3


＝x2－2x＋3＝－(－x2＋2x－3)＝－f(x).


所以f(x)是R上的奇函数.


探究二 奇、偶函数的图像及应用


如图，给出了偶函数y＝f(x)的局部图像，试比较f(1)与f(3)的大小.





解 方法一：因为函数f(x)是偶函数，


所以其图像关于y轴对称，补全图像如下图.





由图像可知f(1)＜f(3).


方法二：由图像可知f(－1)＜f(－3).


又函数y＝f(x)是偶函数，所以f(－1)＝f(1)，f(－3)＝f(3).所以f(1)＜f(3).


[变式探究] 只将本例中的“偶”改为“奇”呢？


解 方法一：因为函数f(x)是奇函数，


所以其图像关于原点对称，补全图像如下图.


由图像可知f(1)＞f(3).





方法二：由图像可知f(－1)＜f(－3).


又函数y＝f(x)是奇函数，


所以f(－1)＝－f(1)，f(－3)＝－f(3).


所以－f(1)＜－f(3).所以f(1)＞f(3).


[方法总结]


奇、偶函数图像对称性的两大应用


应用一：巧作函数图像.


(1)奇函数图像关于原点对称；偶函数图像关于y轴对称.


(2)根据以上奇、偶函数图像对称性的特点可以解决已知奇、偶函数在某区间的部分图像，画出其关于原点或y轴对称的另一部分的图像问题.


应用二：求函数最值、单调性问题.


函数的奇偶性反映到图像上是图像的对称性，可以利用图像解决关于原点对称的区间上的函数值的有关问题，也可以解决关于原点对称的区间上的函数的单调性问题，同时可以简化解题过程.


探究三 函数奇偶性的简单应用


(1)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c是定义在[2b－5,2b－3]上的奇函数，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))的值为( )


A.eq \f(1,3) B.eq \f(9,8)


C.1 D.无法确定


(2)已知f(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若f(－3)＝－3，则f(3)＝________.[来源:Z§xx§k.Cm]


(1)B (2)7 [(1)奇函数定义域关于原点对称，所以2b－5＋2b－3＝0，即b＝2.又f(x)是奇函数，故f(－x)＋f(x)＝0，


所以2ax2＋2c＝0对任意x都成立，则a＝c＝0，


所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \f(1,8)＋2×eq \f(1,2)＝eq \f(1,8)＋1＝eq \f(9,8).


(2)令g(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx，则g(x)是奇函数，


所以f(－3)＝g(－3)＋2＝－g(3)＋2，又f(－3)＝－3，


所以g(3)＝5.


又f(3)＝g(3)＋2，所以f(3)＝5＋2＝7.]


[变式探究] 把本例(2)的条件“f(－3)＝－3”换为“f(d)＝10”，求f(－d)的值.


解 令g(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx，易知g(x)为奇函数，所以f(d)＝g(d)＋2＝10，即g(d)＝8所以f(－d)＝g(－d)＋2＝－g(d)＋2＝－8＋2＝－6.


[方法总结]


利用奇偶性求参数的常见类型及策略


(1)定义域含参数：奇、偶函数f(x)的定义域为[a, b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数.


(2)解析式含参数：根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数即可求解.


[跟踪训练2] (1)函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则a＝________.


0 [因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，


即ax2－2x＝－ax2－2x. 由对应项系数相等，得a＝0.]


(2)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋x，x≤0，,ax2＋bx，x>0))为奇函数，则a＋b＝________.


0 [当x＞0时，－x＜0，由题意得f(－x)＝－f(x)，


所以x2－x＝－ax2－bx， 解得a＝－1，b＝1.


当a＝－1，b＝1时，经检验知f(x)为奇函数，故a＋b＝0.]














1.两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x，如果都有f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔f(x)为奇函数；如果都有f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔f(x)为偶函数.


2.两个性质：函数为奇函数⇔它的图像关于原点对称；函数为偶函数⇔它的图像关于y轴对称.


3.函数y＝f(x)与函数y＝f(－x)的图像关于y轴对称；函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图像关于x轴对称；函数y＝f(x)与函数y＝－f(－x)的图像关于原点对称.





课时作业(二十) 函数的奇偶性





1.函数f(x)＝eq \r(x)的奇偶性为( )


A.奇函数 B.偶函数


C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数


D [函数f(x)＝eq \r(x)的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，所以此函数是非奇非偶函数.]


2.如图，给出奇函数y＝f(x)的局部图像，则f(－2)＋f(－1)的值为( )





A.－2 B.2


C.1 D.0


A [由图知f(1)＝eq \f(1,2)，f(2)＝eq \f(3,2)，又f(x)为奇函数，所以f(－2)＋f(－1)＝－f(2)－f(1)＝－eq \f(3,2)－eq \f(1,2)＝－2.]


3.已知函数y＝f(x)是偶函数，其图像与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是( )


A.4 B.2


C.1 D.0


D [根据偶函数图像关于y轴对称知，四个交点的横坐标是两对互为相反数的数，因此它们的和为0.]


4.f(x)是定义在R上的奇函数，下列结论中，不正确的是( )


A.f(－x)＋f(x)＝0 B.f(－x)－f(x)＝－2f(x)


C.f(－x)·f(x)≤0 D.eq \f(fx,f－x)＝－1


D [由于f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，由此可推A，B，C正确，由于f(－x)可能为0，故D错误.]


5.设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)等于( )


A.－3 B.－1


C.1 D.3


A [因为f(x)是奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，


所以f(1)＝－f(－1)＝－[2×(－1)2－(－1)]＝－3.]


6.若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________.


4 [因为f(x)＝(x＋a)(x－4)＝x2＋(a－4)x－4a为偶函数，所以a－4＝0，a＝4.]


7.若函数f(x)＝eq \r(x2－1)＋eq \r(a－x2)为偶函数且非奇函数，则实数a的取值范围是________.


a>1 [因为函数f(x)＝eq \r(x2－1)＋eq \r(a－x2)为偶函数且非奇函数，所以f(－x)＝f(x)且f(－x)≠－f(x).


又因为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－1≥0，,a－x2≥0，))所以a≥1.


当a＝1时，函数f(x)＝eq \r(x2－1)＋eq \r(a－x2)为偶函数且为奇函数，故a>1.]


8.已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数：①y＝f(|x|)；②y＝f(－x)；③y＝xf(x)；④y＝f(x)＋x中奇函数为________(填序号).


②④ [因为f(|－x|)＝f(|x|)，所以①为偶函数；因为f(－x)＝－f(x)，令g(x)＝－f(x)，则g(－x)＝－f(－x)＝f(x)＝－g(x)，所以②为奇函数；令F(x)＝xf(x)，则F(－x)＝(－x)f(－x)＝xf(x)＝F(x)，故③是偶函数；令h(x)＝ f(x)＋x，则h(－x)＝f(－x)－x＝－f(x)－x＝－h(x)，故④是奇函数.]


9.已知函数f(x)＝x－eq \f(a,x)的图像经过点(2,1).


(1)求a的值；


(2)判断f(x)的奇偶性.


解 (1)因为函数f(x)＝x－eq \f(a,x)的图像经过点(2,1)，所以f(2)＝1，即2－eq \f(a,2)＝1，解得a＝2.


(2)由(1)知f(x)＝x－eq \f(2,x)，其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又f(－x)＝－x－eq \f(2,－x)＝－x＋eq \f(2,x)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(2,x)))＝－f(x)，


所以函数f(x)是奇函数.


10.已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图像如图所示.





(1)画出在区间[－5,0]上的图像；


(2)写出使f(x)<0的x的取值集合.


解 (1)如图，在[0,5]上的图像上选取5个关键点O，A，B，C，D.





分别描出它们关于原点的对称点O′，A′，B′，C′，D′，


再用光滑曲线连接即得.


(2)由(1)图可知，当且仅当x∈(－2,0)∪(2,5)时，f(x)<0.


所以使f(x)<0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5).





1.函数f(x)＝x3＋eq \f(1,x)的图像关于( )


A.原点对称 B.y轴对称


C.y＝x对称 D.y＝－x对称


A [由于f(x)是奇函数，故其图像关于原点对称.]


2.设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )


A.f(x)＋|g(x)|是偶函数


B.f(x)－|g(x)|是奇函数


C.|f(x)|＋g(x)是偶函数


D.|f(x)|－g(x)是奇函数


A [由f(x)是偶函数，可得f(－x)＝f(x)，


由g(x)是奇函数可得g(－x)＝－g(x)，故|g(x)|为偶函数，所以f(x)＋|g(x)|为偶函数.]


3.已知定义域为[a－4, 2a－2]的奇函数f(x)＝2 019x3－5x＋b＋2，则f(a)＋f(b)的值为________. [来源:ZXXK]


0 [奇函数的图像关于原点对称，所以a－4＋2a－2＝0，所以a＝2，因为函数f(x)是奇函数，所以f(0)＝0，即b＋2＝0，故b＝－2，所以f(a)＋f(b)＝f(2)＋f(－2)＝f(2)－f(2)＝0.]


4.如图是函数f(x)＝eq \f(1,x2＋1)在区间[0，＋∞)上的图像，请据此在该坐标系中补全函数f(x)在定义域内的图像，请说明你的作图依据.





解 由题意知，f(x)的定义域为R.


又对任意x∈R，都有f(－x)＝eq \f(1,－x2＋1)＝eq \f(1,x2＋1)＝f(x)，


所以f(x)为偶函数.


所以f(x)的图像关于y轴对称，其图像如图所示.





5.(拓广探索)已知函数y＝f(x)(x∈R)对任意实数x，y，有f(x)＋f(y)＝2feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋y,2)))·feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x－y,2)))恒成立，且f(0)≠0.


(1)求f(0)的值；


(2)试判断函数y＝f(x)(x∈R)的奇偶性.[来源:]


解 (1)令x＝y＝0，所以2f(0)＝2f(0)·f(0).


所以f(0)＝0或f(0)＝1.


而f(0)≠0，所以f(0)＝1.


(2)令y＝－x，所以f(x)＋f(－x)＝2f(0)·f(x).


由(1)知f(0)＝1，


所以f(－x)＝f(x).


因为f(x)的定义域为R，所以f(x)为偶函数.





课程标准
学科素养
结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义.
通过对函数奇偶性的学习，提升“数学抽像”、“逻辑推理”、“数学运算”的核心素养.