高中数学人教B版 (2019)必修 第一册2.2.4 均值不等式及其应用精品学案

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第一册2.2.4 均值不等式及其应用精品学案，共8页。



知识点1 算术平均值与几何平均值[来源:ZXXK]


1.给定两个正数a，b，数eq \f(a＋b,2)称为a，b的算术平均值；数eq \r(ab)称为a，b的几何平均值.


2.均值不等式(基本不等式)


如果a，b都是正数，那么eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)，当且仅当a＝b时，等号成立.


3.均值不等式也称为基本不等式，其实质是：两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均值.


4.均值不等式的一个几何意义为：所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大.


[微思考]


eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)与eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2≥ab是等价的吗？


提示 不等价，前者条件是a>0，b>0，后者是a，b∈R.


知识点2 两个结论


(1)两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；


(2)两个正数的和为常数时，它们的积有最大值.





探究一 利用均值不等式证明不等式


已知a，b，c为正数，且a＋b＋c＝1，


证明：eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)≥9.


证明 eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)＝eq \f(a＋b＋c,a)＋eq \f(a＋b＋c,b)＋eq \f(a＋b＋c,c)


＝3＋(eq \f(b,a)＋eq \f(a,b))＋(eq \f(c,a)＋eq \f(a,c))＋(eq \f(c,b)＋eq \f(b,c))≥3＋2＋2＋2＝9.


当且仅当a＝b＝c＝eq \f(1,3)时，等号成立.


[方法总结]


用均值不等式证明不等式的解题策略


在利用均值不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用均值不等式.


[跟踪训练1] 已知a，b，c为正数，且a＋b＋c＝1，


求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc.


证明 (1－a)(1－b)(1－c)＝(b＋c)(a＋c)(a＋b)


≥2eq \r(bc)·2eq \r(ac)·2eq \r(ab)＝8abc.


当且仅当b＝c＝a＝eq \f(1,3)时，等号成立.


探究二 利用均值不等式求最值


已知x＞0，y＞0，且eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝1，求x＋y的最小值.


解 方法一：(1的代换)因为eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝1，


所以x＋y＝(x＋y)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(9,y)))＝10＋eq \f(y,x)＋eq \f(9x,y).


因为x＞0，y＞0，所以eq \f(y,x)＋eq \f(9x,y)≥2 eq \r(\f(y,x)·\f(9x,y))＝6.


当且仅当eq \f(y,x)＝eq \f(9x,y)，即y＝3x时，取等号.


又eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝1，所以x＝4，y＝12，所以x＋y≥16.


所以当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16.


方法二：(消元法)由eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝1，得x＝eq \f(y,y－9).


因为x＞0，y＞0，所以y＞9.


x＋y＝eq \f(y,y－9)＋y＝y＋eq \f(y－9＋9,y－9)＝y＋eq \f(9,y－9)＋1


＝(y－9)＋eq \f(9,y－9)＋10.


因为y＞9，所以y－9＞0，


所以y－9＋eq \f(9,y－9)≥2eq \r(y－9·\f(9,y－9))＝6.


当且仅当y－9＝eq \f(9,y－9)，即y＝12时取等号，此时，x＝4，所以当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16.


方法三：(配凑法)由eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝1得，y＋9x＝xy，


所以(x－1)(y－9)＝9.


所以x＋y＝10＋(x－1)＋(y－9)≥


10＋2eq \r(x－1y－9)＝16.


当且仅当x－1＝y－9时取等号.


又因为eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝1，所以x＝4，y＝12.


所以当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16.


[方法总结]


1.利用均值不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即


(1)一正：符合均值不等式eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)成立的前提条件，a＞0，b＞0；


(2)二定：化不等式的一边为定值；


(3)三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立.


提醒：以上三点缺一不可.


2.若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答技巧是恰当变形，合理拆分或配凑因式.


[跟踪训练2] (1)已知eq \f(2,x)＋eq \f(3,y)＝2(x＞0，y＞0)，则x·y的最小值是________；


(2)设x＞0，y＞0，且2x＋8y＝xy，则x＋y的最小值为________.


(1)6 (2)18 [(1)方法一：因为2＝eq \f(2,x)＋eq \f(3,y)≥2 eq \r(\f(6,xy))，


所以 eq \r(\f(6,xy))≤1，所以eq \f(6,xy)≤1，所以xy≥6，


当且仅当eq \f(2,x)＝eq \f(3,y)，即x＝2，y＝3时等号.


所以xy的最小值为6.


方法二：由eq \f(2,x)＋eq \f(3,y)＝2得，3x＋2y＝2xy，


因为x＞0，y＞0，所以3x＋2y≥2eq \r(6xy)，等号在3x＝2y时成立，[来源:学§科§网]


所以2xy≥2eq \r(6xy)，所以xy≥6.


由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x＝2y,xy＝6))，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2,y＝3)).


所以xy的最小值为6.


(2)由2x＋8y－xy＝0及x＞0，y＞0，得eq \f(8,x)＋eq \f(2,y)＝1.


所以x＋y＝(x＋y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,x)＋\f(2,y)))


＝eq \f(8y,x)＋eq \f(2x,y)＋10≥2eq \r(\f(8y,x)·\f(2x,y))＋10＝18.


当且仅当eq \f(8y,x)＝eq \f(2x,y)，即x＝2y＝12时等号成立.


所以x＋y的最小值是18.]


探究三 利用均值不等式解实际问题


某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格1 800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元.求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？


解 设该厂每隔x天购买一次面粉，其购买量为6x吨. 由题意可知，面粉的保管等其他费用为


3×[6x＋6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6×1]＝9x(x＋1).


设平均每天所支付的总费用为y1元，


则y1＝eq \f(1,x)[9x(x＋1)＋900]＋6×1 800＝9x＋eq \f(900,x)＋10 809≥2eq \r(9x·\f(900,x))＋10 809＝10 989(元)，


当且仅当9x＝eq \f(900,x)，即x＝10时，等号成立.


所以该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少.


[方法总结]


求解应用题的方法与步骤


(1)审题； (2)建模(列式)； (3)解模； (4)作答. [来源:Z|xx|k.Cm]


[跟踪训练3] 某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元.求：


(1)仓库面积S的最大允许值是多少；


(2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长.


解 设铁栅长为x m，一堵砖墙长为y m，则顶部面积为S＝xy(m2).


(1)由题意，得40x＋2×45y＋20xy＝3 200.


由均值不等式得


3 200≥2eq \r(40x·90y)＋20xy＝120eq \r(xy)＋20xy＝120eq \r(S)＋20S.


所以S＋6eq \r(S)－160≤0，即(eq \r(S)－10)(eq \r(S)＋16)≤0，


故0＜eq \r(S)≤10，从而0＜S≤100.


所以S的最大允许值是100 m2.


(2)S取得最大值的条件是40x＝90y且xy＝100，


所以求得x＝15，即正面铁栅的长是15 m.





1.两个不等式a2＋b2≥2ab与eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取‘＝’”这句话的含义要有正确的理解. 一方面：当a＝b时，eq \f(a＋b,2)＝eq \r(ab)；另一方面：当eq \f(a＋b,2)＝eq \r(ab)时，也有a＝b.


2.在利用均值不等式证明和求最值的过程中，常需要把数、式合理的拆成两项或多项或把恒等式变形配凑成适当的数、式，以便于利用均值不等式.


3.利用基本不等式解决实际问题时，一般是先建立关于目标量的函数关系，再利用基本不等式求解目标函数的最大(小)值及取最大(小)值的条件.





课时作业(十五) 均值不等式及其应用





1.不等式(x－2y)＋eq \f(1,x－2y)≥2成立的条件为( )


A.x≥2y，x－2y＝1 B.x＞2y，x－2y＝1


C.x≤2y，x－2y＝1 D.x＜2y，x－2y＝1


B [因为不等式成立的前提条件是各项均为正，所以x－2y＞0，即x＞2y，且等号成立时(x－2y)2＝1，即x－2y＝1.]


2.已知x＞0，若x＋eq \f(81,x)的值最小，则x为( )


A.81 B.9


C.3 D.16


B [因为x＞0，所以x＋eq \f(81,x)≥2eq \r(x·\f(81,x))＝18，当且仅当x＝eq \f(81,x)，即x＝9时等号成立.]


3.小王从甲地到乙地往返的速度分别为a和b(a