高中数学人教B版 (2019)必修 第一册2.2.2 不等式的解集精品导学案及答案

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第一册2.2.2 不等式的解集精品导学案及答案，共6页。




知识点1 不等式的解集与不等式组的解集


1.不等式的解集：不等式的所有解组成的集合.


2.不等式组的解集：对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集.


[微思考]


若不等式无解，其解集怎么表示？


提示 若不等式无解，则其解集可表示为∅.


知识点2 绝对值不等式


一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式.


(1)当m>0时，


关于x的不等式|x|>m的解集为(－∞，－m)∪(m，＋∞)；


关于x的不等式|x|

(2)数轴上两点间的距离公式及中点坐标公式


一般地，如果实数a，b在数轴上对应的点分别为A和B，即A(a)，B(b)，则线段AB的长度为AB＝|a－b|.


特别地，若点M(x)是线段AB的中点，则x＝eq \f(a＋b,2)，即为数轴上的中点坐标公式.





探究一 解简单的一元一次不等式组


解不等式组，并把解集在数轴上表示出来eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－3x－2≤4－x，,\f(1＋2x,3)>x－1.))


解 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－3x－2≤4－x， ①,\f(1＋2x,3)>x－1. ②))


解不等式①，得x≥1；解不等式②，得x＜4.[来源:]


所以，不等式组的解集为[1, 4).


在数轴上表示为





[方法总结]


一元一次不等式(组)的解法


(1)解不等式与解方程类似，不同之处在于系数化为1时，若不等式两边同时乘(或除)以一个负数，要改变不等号的方向.


(2)解不等式组的方法是分别解不等式组中各个不等式，再利用数轴求出这些不等式的公共部分.解不等式组与解方程组截然不同，不能将两个不等式相加或相减，否则将可能出现错误.


提醒：在把两个不等式的解集表示在数轴上时，要特别注意是“点”还是“圈”，方向是“向左”还是“向右”.


[跟踪训练1] (1)不等式8－2x＞0的解集在数轴上表示正确的是( )





C [不等式8－2x＞0的解集是(－∞，4)，故选C.]


(2)求满足不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋5>1， ①,3x－8≤10 ②))的整数解.





解 解不等式①，得x＞－2. 解不等式②，得x≤6.


在同一数轴上表示不等式①②的解集如图：


∴原不等式组的解集为(－2,6].


∴原不等式组的整数解为{－1,0,1,2,3,4, 5,6}.


探究二 简单的绝对值不等式的解法


解不等式：|2x－2|＋2≤6.


解 原不等式可化为|2x－2|≤4，


故－4≤2x－2≤4，解得－1≤x≤3，


故不等式的解集为[－1,3].


[方法总结]


形如|ax＋b|c(c∈R)型不等式的解法


(1)当c>0时，|ax＋b|

|ax＋b|>c⇔ax＋b>c或ax＋b<－c.


(2)当c＝0时，|ax＋b|

|ax＋b|>c⇔ax＋b≠0.


(3)当c<0时，|ax＋b|

|ax＋b|>c⇔ax＋b有意义.


[变式探究1] 本例不等式变为：|x－2|＋2≥6，则其解集是什么？


解 原不等式变为|2x－2|≥4，即


2x－2≥4或2x－2≤－4，解得x≥3或x≤－1，


故不等式的解集为(－∞，－1]∪[3，＋∞).


[变式探究2] 本例不等式变为：|x－2|－2≤x，则其解集是什么？


解 原不等式变为|2x－2|≤x＋2，即


所以－x－2≤2x－2≤x＋2，解得0≤x≤4，


故不等式的解集为[0,4]





1.解一元一次不等式(组)的步骤


(1)移项：将不等式化为ax>b(或ax

(2)将不等式两边同除以a，得不等式解集.


注意：若所给不等式中a范围不确定时，应注意讨论.


(3)解不等式组时可借助数轴写出不等式组的解集.[来源:ZXXK]


2.简单的绝对值不等式


(1)关注绝对值：|x|＝a，|x|>a，|x|

(2)注意解绝对不等式的等价形式和解法.


课时作业(十三) 不等式的解集





1.如图表示下列四个不等式组中其中一个的解集，这个不等式组是( )





A.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥2,x>－3)) B.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤2,x<－3))


C.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥2,x<－3)) D.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤2,x>－3))


D [∵－3处是空心圆点，且折线向右，2处是实心圆点，且折线向左，∴这个不等式组的解集是－3＜x≤2.]


2.关于x的不等式－2x＋a≤2的解集如图所示，那么a的值是( )





A.－4 B.－2


C.0 D.2


C [解不等式－2x＋a≤2，得x≥eq \f(a－2,2)，从数轴看出它的解集为x≥－1，所以eq \f(a－2,2)＝－1，即a＝0.]


3.不等式|x－2|>x－2的解集是( )


A.(－∞，2) B.(－∞，＋∞)


C.(2，＋∞) D.(－∞，2)∪(2，＋∞)


A [原不等式同解于x－2<0，即x<2.]


4.若不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋a－1>0，,2x－a－1<0))的解集为(0, 1)，则a的值为( )


A.1 B.2


C.3 D.4


A [解不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋a－1>0，,2x－a－1<0))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>\f(1－a,2),x<\f(1＋a,2)))，即解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1－a,2)，\f(1＋a,2)))，又不等式组解集为(0,1)，所以a＝1.]


5.如图，在数轴上的解集可表示为________.





(－1, 3] [由图示可看出，从－1出发向右画出的线且－1处是空心圆，表示x＞－1；从3出发向左画出的线且3处是实心圆，表示x≤3，所以这个不等式组为－1＜x≤3.]


6.不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1≥0，,4－2x<0))的最小整数解是________.


3 [解不等式得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥1,x>2))，即不等式解集为(2，＋∞)，从而最小整数为3.]


7.若不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－b≥0，,x＋a≤0))的解集为[3, 4]，则不等式ax＋b＜0的解集为________.


eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞)) [解不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－b≥0，,x＋a≤0))得eq \f(b,2)≤x≤－a，又不等式组解集为[3, 4]，所以eq \f(b,2)＝3，－a＝4，解得b＝6，a＝－4，解不等式－4x＋6<0，得x>eq \f(3,2).]


8.解关于x的不等式：ax－x－2＞0.


解 由ax－x－2＞0，得(a－1)x＞2.


当a－1＝0，则ax－x－2＞0无解.


当a－1＞0，则x>eq \f(2,a－1).


当a－1＜0，则x

综上所述，不等式的解集为：当a＝1时为∅；当a>1时，解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,a－1)，＋∞))；当a<1时，解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(2,a－1))).


9.求不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－3≤2， ①,1＋\f(1,2)x>2x， ②))的正整数解.


解 解不等式①，得x≤5.


解不等式②，得x＜eq \f(2,3).


∴不等式组的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(2,3))).


∴这个不等式组不存在正整数解.


10.已知实数a是不等于3的常数，解不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2x＋3≥－3， ①,\f(1,2)x－2a＋\f(1,2)x<0. ②))并依据a的取值情况写出其解集.


解 解不等式①，得x≤3.


解不等式②，得x

∵a是不等于3的常数，


∴当a>3时，不等式组的解集为(－∞，3]；


当a<3时，不等式组的解集为(－∞，a).





1.若不等式|ax＋2|<6的解集为(－1,2)，则实数a的取值为( )


A.8 B.2


C.－4 D.－8


C [原不等式化为－6

2.运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否＞95”为一次程序操作，如果程序操作进行了三次才停止，那么x的取值范围是( )





A.x≥11 B.11≤x＜23


C.11＜x≤23 D.x≤23


C [由题意得，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋1≤95 ①,22x＋1＋1≤92 ②,2[22x＋1＋1]＋1>95 ③))，


解不等式①得x≤47；解不等式②得x≤23；


解不等式③得x＞11.


所以，x的取值范围是11＜x≤23.][来源:]


3.不等式|2x－1|－x<1的解集是________________.


{x|0

－x－1<2x－10，,x<2))⇔0

4.解不等式|x＋7|－|x－2|≤3.





解 法一：|x＋7|－|x－2|可以看成数轴上的动点(坐标为x)到－7对应点的距离与到2对应点的距离的差，先找到这个差等于3的点，即x＝－1.由图易知不等式|x＋7|－|x－2|≤3的解为x≤－1，即x∈(－∞，－1].


法二：令x＋7＝0，x－2＝0得x＝－7，x＝2.


①当x＜－7时，不等式变为－x－7＋x－2≤3，


∴－9≤3成立，∴x＜－7.


②当－7≤x≤2时，不等式变为x＋7＋x－2≤3，


即2x≤－2，∴x≤－1，∴－7≤x≤－1.


③当x＞2时，不等式变为x＋7－x＋2≤3，


即9≤3不成立，∴x∈∅.


∴原不等式的解集为(－∞，－1].


5.(拓广探索)为响应市政府“创建国家森林城市”的号召，某小区计划购进A，B两种树苗共17棵，已知A种树苗每棵80元，B种树苗每棵60元.


(1)若购进A，B两种树苗刚好用去1 220元，问购进A，B两种树苗各多少棵？


(2)若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用.


解 (1)设购进A种树苗x棵，则购进B种树苗(17－x)棵，根据题意得：80x＋60(17－x)＝1 220，解得x＝10，


∴17－x＝7.


即购进A种树苗10棵，B种树苗7棵.


(2)设购进A种树苗x棵，则购进B种树苗(17－x)棵，根据题意得：17－x＜x，解得x＞8eq \f(1,2)，购进A，B两种树苗所需费用为80x＋60(17－x)＝20x＋1 020，


则费用最省需x取最小整数9，此时17－x＝8，这时所需费用为20×9＋1 020＝1 200(元).


即费用最省方案为：购进A种树苗9棵，B种树苗8棵.这时所需费用为1 200元.