数学必修 第一册2.2.1 不等式及其性质优秀学案

这是一份数学必修 第一册2.2.1 不等式及其性质优秀学案，共9页。
2.2.1 不等式及其性质





知识点1 比较实数大小


1.不等式：用数学符号“≠”“>”“b或a＝b;a≤b⇔ab⇔a－b>0；,a＝b⇔a－b＝0；,a1


答案 C


2.设M＝4＋x2，N＝4x，则M与N的大小关系为( )


A.M ≥N B.M＝N


C.M≤N D.与x有关


A [因为M－N＝4＋x2－4x＝(x－2)2≥0.所以M≥N.][来源:]


知识点2 不等式的性质[来源:学&科&网]


1.不等式的性质


性质1 如果a>b，那么a＋c>b＋c.


性质2 如果a>b，c>0，那么ac>bc.


性质3 如果a>b，cc，那么a>c.(传递性)


性质5 如果a>b⇔bc，则a_>c－b.


推论2 如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.


推论3 如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.


推论4 如果a>b>0，那么an> bn(n∈N，n>1).


推论5 如果a>b>0，那么eq \r(a) >eq \r(b)，eq \r(n,a)>eq \r(n,b).


[微体验]


1.思考辨析


(1)若a>b，则ac>bc一定成立.( )


(2)a>b⇔a＋c>b＋c.( )


(3)若a＋c>b＋d，则a>b，c>d.( )


答案 (1)× (2)√ (3)×


2.用反证法证明命题“如果a>b，那么eq \r(3,a)>eq \r(3,b)”时，假设的内容是( )


A.eq \r(3,a)＝eq \r(3,b) B.eq \r(3,a)bc B.ac>bc


C.a－c>b－d D.a＋c>b＋d


D [a，b，c，d的符号未确定，排除A、B两项；同向不等式相减，结果未必是同向不等式，排除C项，故选D项.]


4.若a>b>0，n>0，则eq \f(1,an)_________eq \f(1,bn).(填“>”“b>0，n>0，所以an>bn>0. 因为eq \f(1,an·bn)>0，


所以an·eq \f(1,anbn)>bn·eq \f(1,anbn)，所以eq \f(1,bn)>eq \f(1,an).]





探究一 比较大小问题


已知x∈R，比较x3－1与2x2－2x的大小.


解 (x3－1)－(2x2－2x)＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)


＝x2(x－1)－(x－1)2＝(x－1)(x2－x＋1)，


因为x2－x＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)≥eq \f(3,4)>0，


所以当x>1时，(x－1)(x2－x＋1)>0，


即x3－1>2x2－2x；


当x＝1时，(x－1)(x2－x＋1)＝0，即x3－1＝2x2－2x；


当xa>b>0，求证：eq \f(a,c－a)>eq \f(b,c－b).


证明 因为c＞a＞b＞0所以c－a＞0，c－b＞0，


eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(由a＞b＞0⇒\f(1,a)＜\f(1,b), c＞0))⇒eq \f(c,a)＜eq \f(c,b)


⇒eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(c－a,a)＜\f(c－b,b), c－a＞0, c－b＞0))⇒eq \f(a,c－a)＞eq \f(b,c－b).


[变式探究1] 将本例中的条件“c>a>b>0”变为“a>b>0，ceq \f(c,b).


证明 因为a>b>0，所以ab>0，eq \f(1,ab)>0.


于是a×eq \f(1,ab)>b×eq \f(1,ab)，即eq \f(1,b)>eq \f(1,a).由ceq \f(c,b).


[变式探究2] 将本例中的条件“c>a>b>0”变为“已知－6