数学必修 第一册第二章 等式与不等式2.1 等式2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系优秀学案

这是一份数学必修 第一册第二章 等式与不等式2.1 等式2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系优秀学案，共6页。







知识点1 一元二次方程的解集


1.形如ax2＋bx＋c＝0的方程为一元二次方程，其中a，b，c是常数，且a≠0.


2.一元二次方程解的情况


一般地，Δ＝b2－4ac称为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)(※)的判别式：[来源]


当Δ>0时，方程(※)有两个不相等的实根；


当Δ＝0时，方程(※)有两个相等的实根.


当Δ<0时，方程(※)没有实根.


知识点2 一元二次方程根与系数的关系


一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解集不是空集时，设其两个根分别为x1，x2，则有


x1＋x2＝－eq \f(b,a)，x1x2＝eq \f(c,a)


这一结论通常称为一元二次方程根与系数的关系.








探究一 利用判别式法解一元二次方程


判定下列关于x的方程的根的情况(其中a为常数)，如果方程有实数根，写出方程的实数根.


(1)x2－3x＋3＝0；(2)x2－ax－1＝0；


(3) x2－ax＋(a－1)＝0；


解 (1)因为Δ＝32－4×1×3＝－3＜0，所以方程没有实数根.


(2)该方程的根的判别式Δ＝a2－4×1×(－1)＝a2＋4＞0，所以方程有两个不等的实数根，


x1＝eq \f(a＋\r(a2＋4),2)， x2＝eq \f(a－\r(a2＋4),2).[来源:学#科#网Z#X#X#K]


(3)由于该方程的根的判别式为


Δ＝a2－4×1×(a－1)＝a2－4a＋4＝(a－2)2，


①当a＝2时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根


x1＝x2＝1；[来源:Z§xx§k.Cm]


②当a≠2时，Δ＞0, 所以方程有两个不相等的实数根x1＝1，x2＝a－1.


[方法总结]


配方法解一元二次方程的一般步骤


(1)现将已知方程化为一般形式；


(2)化二次项系数为1；


(3)常数项移到右边；


(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；


(5)变形为(x＋p)2＝q的形式，如果q≥0，方程的根是x＝－p±eq \r(q)；如果q＜0，方程无实根.


[跟踪训练1] 解方程：x2－2x＋a＝0.


解 由于该方程的根的判别式为


Δ＝22－4×1×a＝4－4a＝4(1－a)，


①当Δ＞0，即4(1－a) ＞0，即a＜1时，方程有两个不相等的实数根x1＝1＋eq \r(1－a)，x2＝1－eq \r(1－a)；


②当Δ＝0，即a＝1时，方程有两个相等的实数根


x1＝x2＝1；


③当Δ＜0，即a＞1时，方程没有实数根.


探究二 一元二次方程根与系数的关系


已知方程5x2＋kx－6＝0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.


解 方法一：因为2是方程的一个根，


所以5×22＋k×2－6＝0，所以k＝－7.


所以，方程就为5x2－7x－6＝0，解得x1＝2，x2＝－eq \f(3,5).


即方程的另一个根为－eq \f(3,5)，k的值为－7.


方法二：设方程的另一个根为x1，


则2x1＝－eq \f(6,5)，所以x1＝－eq \f(3,5).


由eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))＋2＝－eq \f(k,5)，得 k＝－7.


所以方程的另一个根为－eq \f(3,5)，k的值为－7.


[方法总结]


设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根是x1，x2，则有如下关系：[来源:学*科*网Z*X*X*K]


x1＋x2＝－eq \f(b,a)，x1x2＝eq \f(c,a)，| x1－x2|＝eq \r(x1－x22－4x1x2). ,


[跟踪训练2] 已知方程x2＋kx＋3k＝0的两个实数根是x1，x2，且xeq \\al(2,1)＋xeq \\al(2,2)＝7，求k的值.


解 由根与系数的关系，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＋x2＝－k,x1·x2＝3k))，


由xeq \\al(2,1)＋xeq \\al(2,2)＝( x1＋x2)2－2 x1x2，得k2－6k＝7，


解得k1＝7，k2＝－1，


由于方程有两个实数根，Δ>0，即k2－12k>0，


显然，k＝7时，不满足这个条件，k＝－1满足这个条件，


所以k＝－1.











1.一元二次方程的四种解法


(1)直接开平方法：如果x2＝k(k≥0)，则x＝±eq \r(k).


(2)配方法：要先把二次项系数化为1，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方，配成左边是完全平方式，右边是非负常数的形式，然后用直接开平方法求解；


(3)公式法：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式是x＝eq \f(－b±\r(b2－4ac),2a)(b2－4ac≥0)；


(4)因式分解法：如果(x－a)(x－b)＝0，则x1＝a，x2＝b.


2.一元二次方程根与系数的关系


如果方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根是x1，x2，那么x1＋x2＝－eq \f(b,a)，x1x2＝eq \f(c,a)，也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.








课时作业(十) 一元二次方程的解集及其根与系数的关系





1.方程(x＋1)2＝9的解是( )


A.x＝2 B.x＝－4


C.x1＝2，x2＝－4 D.x1＝－2，x2＝4


C [由(x＋1)2＝9得x＋1＝±3，所以x1＝2，x2＝－4.]


2.用配方法解一元二次方程x2－2x－3＝0时，方程变形正确的是( )


A.(x－1)2＝2 B.(x－1)2＝4


C.(x－1)2＝1 D.(x－1)2＝7


B [x2－2x－3＝0，移项得x2－2x＝3，两边都加上1得x2－2x＋1＝3＋1，即(x－1)2＝4，则用配方法解一元二次方程x2－2x－3＝0时，方程变形正确的是(x－1)2＝4.]


3.已知x1，x2是方程2x2＋3x－1＝0的两个根，则eq \f(1,x1)＋eq \f(1,x2)的值为( )


A.3 B.－3


C.－eq \f(3,2) D.eq \f(3,2)


A [由根与系数的关系可知，x1＋x2＝－eq \f(3,2)，x1·x2＝－eq \f(1,2)，所以eq \f(1,x1)＋eq \f(1,x2)＝eq \f(x1＋x2,x1x2)＝3.]


4.定义：如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)满足a＋b＋c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程.已知ax2＋bx＋c＝0(a≠0)是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是( )


A.a＝c B.a＝b


C.b＝c D.a＝b＝c


A [因为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根，所以Δ＝b2－4ac＝0，又a＋b＋c＝0，即b＝－a－c，代入b2－4ac＝0得(－a－c)2－4ac＝0，


化简得(a－c)2＝0，所以a＝c.]


5.一元二次方程x2＋mx＋3＝0的一个根为－1，则另一个根为________.


－3 [设另一个根为a，则由题意知－a＝3，从而a＝－3.]


6.设x1、x2是一元二次方程x2＋4x－3＝0的两个根，2x1(xeq \\al(2,2)＋5x2－3)＋a＝2，则a＝________.


8 [因为x1x2＝－3，xeq \\al(2,2)＋4x2－3＝0，所以2x1(xeq \\al(2,2)＋5x2－3)＋a＝2，化简，2x1(xeq \\al(2,2)＋4x2－3＋ x2)＋a＝2.所以2x1x2＋a＝2.


所以2×(－3)＋a＝2，解得a＝8.]


7.已知x1、x2是一元二次方程(a－6)x2＋2ax＋a＝0的两个实数根，


(1)是否存在实数a，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；


(2)求使(x1＋1)(x2＋1)为负整数的实数a的整数值.


解 (1)根据题意，得Δ＝(2a)2－4×a(a－6)＝24a≥0


所以a≥0.


又因为a－6≠0，所以a≠6.


由根与系数关系得：x1＋x2＝－eq \f(2a,a－6)，x1x2＝eq \f(a,a－6).


由－x1＋x1x2＝4＋x2 得x1＋x2 ＋4＝x1x2.


所以－eq \f(2a,a－6)＋4＝eq \f(a,a－6)，解得a＝24.


经检验a＝24是方程－eq \f(2a,a－6)＋4＝eq \f(a,a－6)的解.


(2)原式＝x1＋x2 ＋x1x2 ＋1＝－eq \f(2a,a－6)＋eq \f(a,a－6)＋1


＝eq \f(6,6－a)为负整数，


所以6－a为－1或－2，－3，－6.


解得a＝7或8,9,12.





1.写一个你喜欢的实数k的值________，使关于x的一元二次方程(k＋1)x2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根.


0(答案不唯一，只要满足k>－2且k≠－1都行) [因为关于x的一元二次方程(k＋1)x2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＞0且k＋1≠0，即22－4(k＋1)×(－1)＞0且k≠－1，所以k＞－2且k≠－1，故k可以取0,1,2,3等，故答案为0(答案不唯一).]


2.方程(1 999x)2－1 998×2 000x－1＝0的较大根为r，方程2 007x2－2 008x＋1＝0的较小根为s，则s－r的值为__________.


－eq \f(2 006,2 007) [因为1 9992＋(－1 998×2 000)＋(－1)＝1 9992－(1 999－1)(1 999＋1)－1＝0


所以原方程有一个根是1，由根与系数的关系，得另一个根为－eq \f(1,1 9992)，因此，r＝1；


因为2 007＋(－2 008)＋1＝0，所以原方程有一个根是1，由根与系数的关系，得另一个根为eq \f(1,2 007)，因此，s＝eq \f(1,2 007)；s－r＝eq \f(1,2 007)－1＝－eq \f(2 006,2 007).]


3.对于实数a、b定义：a*b＝a＋b，a#b＝ab，如：2*(－1)＝2＋(－1)＝1,2#(－1)＝2×(－1)＝－2.以下结论：


①[2＋(－5)]#(－2)＝6；


②(a*b)#c＝c(a*b)；


③a*(b#a)＝(a*b)*a；


④若x＞0，且满足(1*x)#(1#x)＝1，则x＝eq \f(\r(5)－1,2).


正确的是____________________(填序号)


①②④ [因为[2＋(－5)]#(－2) ＝(－3)#(－2)＝6，所以①正确；


因为(a*b)#c＝(a＋b)#c＝(a＋b)c＝ac＋bc，c(a*b)＝c(a＋b)＝ac＋bc，所以②正确；因为a*(b#a)＝a*ab＝a＋ab，(a*b)#a＝(a＋b)#a＝(a＋b)a＝a2＋ab，所以③错误；因为(1*x)#(1#x)＝1，


所以(1＋x)#x＝1, (1＋x)x＝1，x2＋x－1＝0，解得x2＝eq \f(－\r(5)－1,2)，x2＝eq \f(\r(5)－1,2)，因为x＞0，所以x＝eq \f(\r(5)－1,2)，所以④正确.]


4.(拓广探索)关于x的一元二次方程x2＋(2k＋1)x＋k2＋1＝0有两个不相等的实根x1，x2.


(1)求实数k的取值范围；


(2)若方程两实根x1，x2满足|x1|＋|x2|＝ x1·x2，求k的值.


解 (1)由题意知，Δ＝(2k＋1)2－4(k2＋1)>0，


即4k－3>0，解得k>eq \f(3,4).


(2)因为k>eq \f(3,4)，所以x1＋x2＝－(2k＋1)<0，


又因为x1·x2＝ k2＋1>0，所以x1<0，x2<0，


所以|x1|＋|x2|＝－x1－x2＝－(x1＋x2)＝2k＋1，


因为|x1|＋|x2|＝ x1·x2，所以2k＋1＝ k2＋1，所以k1＝0，k2＝2，


又因为k>eq \f(3,4)，所以k＝2.