人教B版 (2019)2.1.3 方程组的解集优秀学案设计

这是一份人教B版 (2019)2.1.3 方程组的解集优秀学案设计，共6页。

知识点 方程组的解集


1.一般地，将多个方程联立，就能得到方程组，方程组中，由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集. 求解方程组的常用方法是消元法.


2.当方程组中未知数的个数大于方程的个数时，方程组的解集可能含有无穷多个元素. 此时，如果将其中一些未知数看成常数，那么其他未知数往往能用这些未知数表示出来.








探究一 解三元一次方程组


解方程组：


(1)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y－3z＝3，①,3x－y＋2z＝－1，②,x－y－z＝5；③)) (2)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x∶y＝3∶2，①,y∶z＝5∶4，②,x＋y＋z＝66.③))


解 (1)①＋②，得5x－z＝2，④


②－③，得2x＋3z＝－6，⑤


联立④⑤eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5x－z＝2，,2x＋3z＝－6，))


解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,z＝－2，))代入①，得y＝－3，[来源:Z#xx#k.Cm]


所以原方程的解为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝－3，,z＝－2.))


(2)由①，得x∶y＝15∶10.


由②，得y∶z＝10∶8，所以x∶y∶z＝15∶10∶8.


设x＝15k，y＝10k，z＝8k，并代入③，


得15k＋10k＋8k＝66，解得k＝2.


所以原方程组的解为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝30，,y＝20，,z＝16.))


[方法总结]


解三元一次方程的方法


解三元一次方程组时，注意代入法的应用，即通过代入，将三元一次方程变为二元一次方程的求解问题.eq \( ,\s\d4( ,))


[跟踪训练1] 解三元一次方程组：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x＋4z＝7，①,2x＋3y＋z＝9，②,5x－9y＋7z＝8.③))


解 ②×3＋③，得11x＋10z＝35.④


①、④组成方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x＋4z＝7，,11x＋10z＝35，))


解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝5，,z＝－2，))代入方程②，得y＝eq \f(1,3).


所以原方程组的解为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝5，,y＝\f(1,3)，,z＝－2.))


探究二 解方程组在实际问题中的应用


今年学校举行足球联赛，共赛17轮(即每队均需参赛17场)，记分办法是：胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分.在这次足球比赛中，小虎足球队得16分，且踢平场数是所负场数的整数倍，则小虎足球队所负场数的情况有( )


A.2种 B.3种


C.4种 D.5 种


B [设小虎足球队胜了x场，平了y场，负了z场，依题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＋z＝17，①,3x＋y＝16，②,y＝kz.③))把③代入①②，


得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋k＋1z＝17，,3x＋kz＝16.))解得z＝eq \f(35,2k＋3)(k为整数).


又因为z为正整数，


所以当k＝1时，z＝7；当k＝2时，z＝5；当k＝16时，z＝1.


综上所述，小虎足球队所负场数的情况有3种情况.]


[方法总结]


解与三元一次方程有关的实际问题的关键是通过分析题目条件，建立三元一次方程组，将问题转化为计算来进行. ,


[跟踪训练2] 利用两块长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图1方式放置，再交换两木块的位置，按如图2所示的方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是( )





A.73 cm B.74 cm


C.75 cm D.76 cm


C [设桌子的高度为h cm，长文体的长为x cm，宽为y cm.


则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(h－y＋x＝80，①,h－x＋y＝70，②))①＋②，得2h＝150，


所以h＝75，故桌子高度为75 cm.]





课时作业(十一) 方程组的解集





1.下列以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝－1))为解的二元一次方程组是( )


A.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝0，,x－y＝1)) B.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝0，,x－y＝－1))


C.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝0，,x－y＝2)) D.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝0，,x－y＝－2))


答案 C


2.方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x＋2y＝7,6x－2y＝11))的解是( )


A.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1,y＝5)) B.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1,y＝2))


C.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3,y＝－1)) D.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2,y＝\f(1,2)))


D [eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x＋2y＝7 ①,6x－2y＝11 ②))，①＋②得，x＝2，把x＝2代入①得6＋2y＝7，解得y＝eq \f(1,2)，故原方程组的解为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2,y＝\f(1,2))).]


3.为了丰富学生课外小组活动，培养学生动手操作能力，王老师让学生把7 m长的彩绳截成2 m或1 m的彩绳，用来做手工编织，在不造成浪费的前提下，你有几种不同的截法( )


A.1 B.2


C.3 D.4


D [设截成2 m的彩绳x根，截成1 m的彩绳y根，


依题意，得：2x＋y＝7，所以y＝7－2x.又因为x，y均为非零整数，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0,y＝7))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1,y＝5))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2,y＝3))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3,y＝1))，所以共有4种不同的截法.]


4.如图所示是最近微信朋友圈常被用来“醒醒盹，动动脑”的图片，请你一定认真观察，动动脑子想一想，图中的？表示什么数( )[来源:]





A.25 B.15


C.12 D.14


B [结合题图，图中的鞋子为x只，小猪玩具为y只，字母玩具为z只，依题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(6x＝30,2x＋2y＝20，,y＋4z＝13))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝5,y＝5,z＝2))，


故x＋yz＝5＋5×2＝15.]


5.用1块A型钢板可制成4件甲种产品和1件乙种产品；用1块B型钢板可制成3件甲种产品和2件乙种产品；要生产甲种产品37件，乙种产品18件，则恰好需用A、B两种型号的钢板共________块.


11 [设需用A型钢板x块，B型钢板y块，依题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x＋3y＝37 ①,x＋2y＝18 ②))，(①＋②)÷5，得x＋y＝11.]


6.某项球类比赛，每场比赛必须分出胜负，其中胜1场得2分，负1场得1分.某队在全部16场比赛中得到25分，求这个队胜、负场数分别是多少？


解 设该队胜x场，负y场，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝16,2x＋y＝25 ))，


解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝9,y＝7)) ，故这个队胜9场，负7场.


7.解方程组：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3a－b＋c＝7，①,2a＋3b＝－2，②,a＋b＋c＝－1.③))


解 ①－③，得2a－2b＝8.④


④－②，得－5b＝10，所以b＝－2.


将b＝－2代入②，得a＝2.


将a＝2，b＝－2代入③，得c＝－1.


所以方程组的解为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝－2，,c＝－1.))


8.解方程组：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5x2－4y2＝20，,\r(15)x－2y＝2\r(15).))


解 依题意eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5x2－4y2＝20①，,\r(15)x－2y＝2\r(15)②，))由②得4y2＝15x2－60x＋60③，将③代入①化简得x2－6x＋8＝0，解此方程得x＝2或x＝4，代入②得y＝0或y＝eq \r(15)，所以原方程组的解为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2,y＝0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4,y＝\r(15).))





1.某宾馆有单人间、双人间和三人间三种客房供游客租住，某旅行团有18人准备同时租用这三种客房共9间，且每个房间都住满，则租房方案共有________种.( )


A.3 B.4


C.5 D.6


B [设宾馆有客房：单人间x间、二人间y间、三人间z间，根据题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2y＋3z＝18,x＋y＋z＝9))，解得y＋2z＝9，y＝9－2z，因为x，y，z都是小于9的正整数，


当z＝1时，y＝7，x＝1；当z＝2时，y＝5，x＝2；


当z＝3时，y＝3，x＝3当z＝4时，y＝1，x＝4[来源:]


当z＝5时，y＝－1(不合题意，舍去)


所以租房方案有4种.]


2.鸡兔同笼问题是我国古代著名的数学趣题，出自《孙子算经》.原文为：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？小雪自己解决完此题后，又饶有兴趣地为同学编制了四道题目：


①今有雉兔同笼，上有三十头，下有五十二足，问雉兔各几何？


②今有雉兔同笼，上有三十头，下有八十一足，问雉兔各几何？


③今有雉兔同笼，上有三十四头，下有九十足，问雉兔各几何？


④今有雉兔同笼，上有三十四头，下有九十二足，问雉兔各几何？


根据小雪编制的四道题目的数据，可以求得鸡兔只数的题目是________(填序号).


③④ [设笼中有x只雉，y只兔，根据题得，


①eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝30,2x＋4y＝52))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝34,y＝－4))，不符合题；


②eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝30,2x＋4y＝81))，此方程组无整数解，不符合题意；


③eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝34,2x＋4y＝90))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝23,y＝11))，符合题意；


④eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝34,2x＋4y＝92))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝22,y＝12))，符合题意；


故答案为：③④.]


3.《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三.问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱.问合伙人、羊价各是多少？


设合伙人为x人，羊价为y钱，根据题意甲、乙两位同学得到如下方程组：


甲同学：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝5x＋45,y＝7x＋3))，乙同学：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝5x－45,y＝7x＋3))


请你判断哪位同学所列方程组正确，并帮助解答.


解 设合伙人为x人，羊价为y钱，


依题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝5x＋45,y＝7x＋3))，


所以甲同学列的方程组正确，


解该方程组，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝21,y＝150)).


合伙人为21人，羊价为150钱.


4.阅读理解：


小聪在解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋5y＝3 ①,4x＋11y＝5 ②))时，发现方程组中①和②之间存在一定的关系，他发现了一种“整体代换”法，具体解法如下：


解 将方程②变形为：4x＋10y＋y＝5


即2(2x＋5y)＋y＝5 ③


把方程①代入方程③得：2×3＋y＝5解得y＝－1


把y＝－1代入方程①得x＝4[来源]


所以方程组的解是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4,y＝－1))


(1)模仿小聪的解法，解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x－2y＝5 ①,9x－4y＝19 ②))


(2)已知x，y满足方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x2－2xy＋12y2＝47 ①,2x2＋xy＋8y2＝36 ②))，


解答：


(ⅰ)求x2＋4y2的值；


(ⅱ)求3xy的值.


解 (1)把方程②变形：3(3x－2y)＋2y＝19， ③


把①代入③得：15＋2y＝19，得y＝2，


把y＝2代入①得x＝3，


则方程组的解为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3,y＝2)).


(2)(ⅰ)由①得：3(x2＋4y2)＝47＋2xy，


即x2＋4y2＝eq \f(47＋2xy,3)， ④


②式整理得2(x2＋4y2)＋xy＝36， ⑤


将④代入⑤得2×eq \f(47＋2xy,3)＋xy＝36，解得xy＝2，


将xy＝2代入③得x2＋4y2＝17，[来源:学_科_网]


(ⅱ)由(ⅰ)知xy＝2，则3xy＝6.


5.(拓广探索)小明到某服装商场进行社会调查，了解到该商场为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入＝基本工资＋计件奖金”的方法，并获得如下信息：


营业员A：月销售件数200件，月总收入3 400元；


营业员B：月销售件数300件，月总收入3 700元；


假设营业员的月基本工资为x元，销售每件服装奖金为y元.


(1)求x，y的值；


(2)商场为了多销售服装，对顾客推荐一种购买方式：如果购买甲服装3件，乙服装2件，丙服装1件共需390元；如果购买甲服装1件，乙服装2件，丙服装3件共需370元.某顾客想购买甲、乙、丙服装各一件共需多少元？


解 (1)根据题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋200y＝3 400，,x＋300y＝3 700，))


解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2 800，,y＝3.))


(2)设购买一件甲服装需要a元，购买一件乙服装需要b元，购买一件丙服装需要c元，


根据题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3a＋2b＋c＝390， ①,a＋2b＋3c＝370， ②))


(①＋②)÷4，得：a＋b＋c＝190.


故购买甲、乙、丙服装各一件共需190元.