模块综合检测

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第一册全册综合精品导学案，共6页。学案主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

(时间：120分钟 满分：150分)


一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)


1．设集合A＝{x∈N|－2＜x＜2}的真子集的个数是( )


A．8 B．7


C．4 D．3[来源:Z&xx&k.Cm]


D [因为集合A＝{x∈N|－2＜x＜2}＝{0,1}, 所以集合A的真子集的个数是22－1＝3.]


2．命题“∃x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定是( )


A．∀x∈R ，均有x2＋x＋1<0


B．∀x∈R ，均有x2＋x＋1≥0


C．∃x∈R ，均有x2＋x＋1≥0


D．∃x∈R ，均有x2＋x＋1＝0


B [因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以，命题“∃x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定是“∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0”．]


3．已知a＞b＞c，ac＞0，则下列关系式一定成立的是( )


A．c2>bc B．a2>b2


C．a＋b>c D．bc(a－c)>0


D [不妨令a＝3，b＝2，c＝1，则c2＝1＜bc＝2由此排除A；令a＝－1，b＝－2，c＝－3，则a＋b＝－3＝c，由此排除C；则a2＝1＜b2＝4由此排除B .]


4．设x∈R，则“x>1”是“|x|>1”的( )


A．充分而不必要条件


B．必要而不充分条件[来源:学+科+网Z+X+X+K]


C．充要条件


D．既不充分也不必要条件


A [由|x|>1，解得x>1或x<－1，故“x>1”是“|x|>1”的充分不必要条件．]


5．若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝eq \f(f2x,x－1)的定义域是( )


A．[0,2] B．[0,1)


C．[0,1)∪(1,4] D．[0,1)∪(1,2]


B [由于函数f(x)的定义域为[0,2]，所以0≤2x≤2，即0≤x≤1，所以函数f(2x)的定义域是[0,1]．又x－1≠0，即x≠1，所以函数g(x)的定义域是[0,1)．]


6．已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋1x≤1,－2x＋3x>1))，则f[f(2)]＝( )


A．5 B．－1 [来源:学*科*网Z*X*X*K]


C．－7 D． 2


D [f(2)＝－2×2＋3＝－1, 所以f[f(2)]＝f(－1)＝(－1)2＋1＝2. ]


7．下列变化过程中，变量之间不是函数关系的为( )


A．地球绕太阳公转的过程中，二者间的距离与时间的关系


B．在银行，给定本金和利率后，活期存款的利息与存款天数的关系


C．某地区玉米的亩产量与灌溉次数的关系


D．近年来，中国高速铁路迅猛发展，中国高铁年运营里程与年份的关系


C [根据函数的定义得： 某地区玉米的亩产量与灌溉次数的关系不是函数关系．]


8．若函数f(x)＝x＋b的零点在区间(0,2)内，则b的取值范围为( )


A．(－2,0)


B．[－2,0]


C．(－∞，－2)∪(0，＋∞)


D．(－∞，－2)∪(0，＋∞)


A [函数f(x)＝x＋b在区间(0,2)上存在一个零点，则f(0)·f(2)<0，即b(2＋b)<0，解得－2

9．已知函数f(x＋1)＝2x－3，若f(m)＝4，则m的值为( )


A．eq \f(7,2) B．eq \f(9,2)


C．eq \f(11,2) D．eq \f(13,2)


B [因为函数f(x＋1)＝2x－3，f(m)＝4，由2x－3＝4，得x＝eq \f(7,2)，所以m＝x＋1＝eq \f(7,2)＋1＝eq \f(9,2).]


10．设f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，则( )


A．f(a)>f(2a) B．f(a2)

C．f(a2＋a)

D [f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，当a＞0时，a＜2a，f(a)＞f(2a), 当a≤0时，a≥2a，f(a)≤f(2a)，故A错误；


当a＝0，则a2＝a，则f(a2)＝ f(a)，故B错误； 当a＝0，a2＋a＝a，则f(a2＋a)＝ f(a)，故C错误； 由a2＋1＞a，故f(a2＋1)＜f(a)．]


11．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1，x>0,－x2－2x，x≤0))，若函数g(x)＝f(x)－m恰有一个零点，则实数m的取值范围是( )


A．[0,1] B．(－∞，0)∪(1，＋∞)


C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，0)∪[1，＋∞)


D [令g(x)＝0得f(x)＝m，作出y＝ f(x)的函数图像如图所示，由图像可知当m＜0或m≥1时，f(x)＝m只有一解．


]


12．已知f(x)是定义域为R的奇函数，满足f(1－x)＝ f(1＋x)，若f(1)＝2，则f(1)＋ f(2)＋ f(3)＋ f(4)＝( )


A．10 B．2


C．0 D．4


C [因为f(x)是定义域为R的奇函数，满足f(1－x)＝ f(1＋x), 所以f(2＋x)＝ f(1－(x＋1))＝f(－x)＝－ f(x)，f(x＋4)＝－ f(x＋2)＝ f(x), 因为f(1)＝2，则f(1)＋ f(2)＋ f(3)＋ f(4)＝ f(1)＋f(0)＋ f(－1)＋ f(0)＝0. ]





二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上)


13．如图所示，图中的阴影部分可用集合U，A，B，C表示为________.





(A∩B)∩(∁UC) [由题图所示，图中的阴影部分可用集合U，A，B，C表示为(A∩B)∩(∁UC)．]


14．设f(x)＝x2＋bx＋1，且f(－1)＝f(3)，则f(x)>0的解集是________.


{x|x≠1} [由f(－1)＝f(3)，得－eq \f(b,2)＝1，解得b＝－2. 所以f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，当x＝1时，f(x)＝0.从而不等式的解集为{x|x≠1}．]


15．已知正数a，b满足a＋b＝1，则eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)的最小值为________.


4 [因为正数a，b满足a＋b＝1，所以eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝(a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝2＋eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2＋2eq \r(\f(a,b)×\f(b,a))＝4，当且仅当a＝b＝eq \f(1,2)时，等号成立．所以eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)的最小值为4.]


16．已知函数f(x)＝eq \f(2 018x5＋tx2＋2x＋t2,x2＋t)(t＞0)的最大值为M，最小值为N，且M＋N＝4，则实数t的值为______.


2 [由题意，f(x)＝eq \f(2 018x5＋tx2＋2x＋t2,x2＋t)＝eq \f(2 018x5＋2x,x2＋t)＋t，显然函数g(x)＝eq \f(2 018x5＋2x,x2＋t)是奇函数，


因为函数f(x)最大值为M，最小值为N，且M＋N＝4，


所以M－t＝－(N－t)，即2t＝M＋N＝4，所以t＝2，]


三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)


17．(10分)已知全集U＝R，集合A＝{x|x<1}，B＝{x|a≤x≤a＋3}．


(1)若a＝－1，求A∩B，A∪B；


(2)若B⊆∁UA，求实数a的取值范围．


解 (1)若a＝－1，B＝[－1,2]，


A∩B＝[－1,1)，A∪B＝(－∞，2]．


(2)∁UA＝{x|x≥1}，


因为a

所以实数a的取值范围为[1，＋∞)．


18．(12分)已知函数f(x)满足f(x＋1)＝x2－4.


(1)求f(x)；


(2)方程f(x)＝a的两个不等实根为x1，x2，求a的取值范围及xeq \\al(2,1)＋xeq \\al(2,2)的值(用a表示)．


解 (1)令t＝x＋1，得x＝t－1，


所以f(t)＝(t－1)2－4＝t2－2t－3


所以f(x)＝x2－2x－3；


(2)由f(x)＝a，得x2－2x－3－a＝0，


Δ＝4－4(－3－a)>0，得a>－4，


由韦达定理得x1＋x2＝2，x1x2＝－3－a，


所以xeq \\al(2,1)＋xeq \\al(2,2)＝(x1＋x2)2－2x1x2＝4－2(－3－a)＝2a＋10.


19．(12分)已知关于x的一元二次不等式kx2－2x＋6k<0(k≠0)．


(1)若不等式的解集是{x|x<－3或x>－2}，求k的值；


(2)若不等式的解集是R，求k的取值范围．


解 (1)因为不等式的解集为{x|x<－3或x>－2}，[来源:]


所以－3，－2是方程kx2－2x＋6k＝0的两根，且k<0.


所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－3×－2＝6，,－3＋－2＝\f(2,k)，))所以k＝－eq \f(2,5).


(2)因为不等式的解集为R，


所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k<0，,Δ＝4－4k·6k<0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k<0，,k>\f(\r(6),6)或k<－\f(\r(6),6).))


所以k<－eq \f(\r(6),6).


即k的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(\r(6),6))).


20．(12分)某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的一年收益与投资额成正比，其关系如图①；投资股票等风险型产品的一年收益与投资额的算术平方根成正比，其关系如图②.(注：收益与投资额单位：万元)





(1)分别写出两种产品的一年收益与投资额的函数关系；


(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使一年的投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？


解 (1)f(x)＝k1x，g(x)＝k2eq \r(x)，所以f(1)＝k1＝eq \f(1,8)，g(1)＝k2＝eq \f(1,2)，


所以f(x)＝eq \f(1,8)x(x≥0)，g(x)＝eq \f(1,2)eq \r(x)(x≥0)，


(2)设投资债券类产品x万元，则股票类投资为20－x万元．y＝ f(x)＋g(20－x)＝eq \f(x,8)＋eq \f(1,2)eq \r(20－x)(0≤x≤20)，


令t＝eq \r(20－x)，则y＝eq \f(20－t2,8)＋eq \f(1,2)t＝－eq \f(1,8)(t－2)2＋3，


所以当t＝2时，即x＝16万元时，收益最大为3万元．


21．(12分)已知函数f(x)是定义在R上的增函数，且满足f(x＋y)＝ f(x)·f(y)，且f(2)＝eq \r(2).


(1)求f(4)的值；


(2)当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，3))时，f(kx2)＜2f(2x－5)恒成立，求实数k的取值范围．


解 (1)令x＝y＝2，得f(2＋2)＝f(2)·f(2)，即f(4)＝2.


(2)2f(2x－5)＝f(4)，f(2x－5)＝f(2x－1)，


所以f(kx2)＜2f(2x－5)化为f(kx2)＜f(2x－1)，


因为函数f(x)是定义在R上的增函数，


所以kx2＜2x－1在x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，3))时恒成立，


即k

令y＝eq \f(2x－1,x2)＝－eq \f(1,x2)＋eq \f(2,x)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)－1))2＋1，


x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，3))，eq \f(1,x)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，2))，y有最小值为0.


所以，k＜0.


22．(12分)已知函数y＝x＋eq \f(t,x)有如下性质：


若常数t>0，则该函数在(0, eq \r(t) ]上单调递减，在[eq \r(t)，＋∞)上单调递增．


(1)已知f(x)＝eq \f(4x2－12x－3,2x＋1)，x∈[0,1]，利用上述性质，求函数f(x)的单调区间和值域；


(2)对于(1)中的函数f(x)和函数g(x)＝－x－2a，若对任意x1∈[0,1]，总存在x2∈[0,1]，使得g(x2)＝f(x1)成立，求实数a的值．


解 (1)y＝f(x)＝eq \f(4x2－12x－3,2x＋1)＝2x＋1＋eq \f(4,2x＋1)－8.


设u＝2x＋1，x∈[0,1]，则y＝u＋eq \f(4,u)－8，u∈[1,3]．


由已知性质，得当1≤u≤2，即0≤x≤eq \f(1,2)时，f(x)单调递减，所以f(x)的单调递减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))；


当2≤u≤3，即eq \f(1,2)≤x≤1时，f(x)单调递增，所以f(x)的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)).


由f(0)＝－3，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝－4，f(1)＝－eq \f(11,3)，得f(x)的值域为[－4，－3]．


(2)因为g(x)＝－x－2a在[0,1]上单调递减，


所以g(x)∈[－1－2a，－2a]．


由题意，得f(x)的值域是g(x)的值域的子集，


所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1－2a≤－4,－2a≥－3))，


所以a＝eq \f(3,2).