□高考必备公式、结论、方法、细节三：数列与不等式 学案

□高考必备公式、结论、方法、细节三：数列与不等式一、必备公式1．通项an与前n项和Sn的关系是：an＝ 2．等差数列有关公式：(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d；     (2)前n项和公式：Sn＝na1＋d＝. 3．等比数列有关公式：(1)通项公式：an＝a1qn－1；      (2)前n项和公式：Sn＝4．基本不等式：≤；(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0；     (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b.(3)基本不等式的变形：①a＋b≥2，常用于求和的最小值；②ab≤2，常用于求积的最大值； 5．常用不等式：(1)重要不等式：a2＋b2≥ 2ab(a，b∈R)；   (2)重要不等式链：≥ ≥≥； 二、必备结论1．等差数列常用结论：若{an}为等差数列，公差为d，前n项和为Sn，则有：(1)下标意识：若p＋q＝m＋n，则ap＋aq＝am＋an，特别地，若p＋q＝2k，则ap＋aq＝2ak；(2)隔项等差：数列ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列；(3)分段等差：数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…是公差为nd的等差数列；(4)数列{}是公差为的等差数列，其通项公式＝n＋； 2．等差数列与函数关系：(1)经整理an＝dn＋(a1－d)，则数列{an}是等差数列⇔ 通项an为一次函数：即an＝kn＋b (a、b为常数)；(2)经整理Sn＝n2＋n，数列{an}是等差数列⇔Sn为无常数项的二次函数：即Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)． 3．等比数列常用结论：若{an}为等比数列，公比为q，前n项和为Sn，则有：(1)下标意识：若p＋q＝m＋n，则ap·aq＝am·an，特别地，若p＋q＝2k，则ap·aq＝ak2； (2)隔项等差：数列an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.(3)分段等比：数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为__qn__. 4．利用基本不等式求最值问题：已知x>0，y>0，则(1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小)．(2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大)．注意：使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可． 三、必备方法1．数列通项公式的几种求法：(1)利用an与Sn的关系：递推作差，具体步骤如下：①先利用a1＝S1求出a1；  ②利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求an；  ③检验a1否符合an的表达式．(2)累加法：形如an＝an－1＋f(n)或an－an－1＝f(n)，用累加法求an；(3)累乘法：形如an＝an－1·f(n)或＝f(n)，用累加法求an；(4)配凑构造等比数列：形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1)，用配凑法求an，具体步骤如下：①设：an＋1＋x＝A(an＋x)；  ②求：x＝；  ③配：an＋1＋＝A(an＋)．(5)导数构造等差数列：通常有以下两种情况：①形如an＋1＝ (A，B为常数)，等号两边同时取倒数，即可构造{}等差；②形如an＋1－an＋Aan＋1·an＝0，等号两边同时除以an＋1·an，即可构造{}等差. 2．数列前n项和的几种求法：(1)分组求和法：形如an＝等差±等比±其它数列，用分组求和法，分别求和而后相加减；(2)裂项相消法：常用的裂项公式有：①＝－；   ②＝；  ③＝－；④＝－；   ⑤＝×＝×[－](3)错位相减法：形如an＝等差×等比，用错位相减法求解．(4)并项求和法：形如an＝(－1)n·f(n)，用并项求和法求解，即列举前几项后，采用两项合并求解．． 3．等差数列的题型和常用方法：(1)等差数列判定：①定义法：“欲证等差，直接作差”，即证an＋1－an＝定值；②等差中项法：即证2an＋1＝an＋an＋2；   ③函数结论法：即an为一次函数或Sn为无常数项的二次函数.(2)求等差数列前n项和Sn最值的两种方法：①函数法：利用等差数列前n项和Sn＝an2＋bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．②正负分界法：即通过an≥0(≤0)找到an正负分界处，判断得出最大的前n项和为Sn，具体如下：Ⅰ.当a1>0，d<0且满足时，S m最大； Ⅱ.当a1<0，d>0且满足时， S m最小. 4．等比数列的判定方法：(1)定义法：“欲证等比，直接作比”，即证＝q(q≠0的常数)⇔数列{an}是等比数列；(2)等比中项法：即证a＝an·an＋2(anan＋1an＋2≠0，n∈N*)⇔数列{an}是等比数列． 5．不等式恒成立的常用方法(1)形如f(x)≥0在x∈R上恒成立：用判别式法；注意：①讨论二次项系数是否等于0；  ②要把不等式化成≥0或≤0的形式．(2)形如f(x)≥m在x∈[a，b]上恒成立：①优选：分参法，即f(x)min≥m或f(x)max≤m； ②次选：讨论图像法；(3)形如f(x)≥0在参数m∈[a，b] 上恒成立：用转换变量法，即把f(x)看成函数g(m)． 6．基本不等式求最值常用方法：(1)“1”字代换法；   (2)配凑法：即配凑积或和为定值的形式；   (3)解不等式法； 7．线性规划是常见的目标函数：(1)截距型：形如z＝ax＋by，通常转化为斜截式：y＝－x＋，通过求截距的最值间接求出z的最值．(2)距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2.  (3)斜率型：形如z＝. 四、必备细节1．由an＝Sn－Sn－1求得的an是从n＝2开始的，一定要对n＝1时的情况进行验证．2．在运用等比数列Sn时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误．3．使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．