□高考必备公式、结论、方法、细节五：直线方程与圆的方程 学案

□高考必备公式、结论、方法、细节五：直线方程与圆的方程一、必备公式1．斜率公式(1)若直线l的倾斜角α≠90°，则斜率k＝tan α.(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝. 2．直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式y－y0＝k(x－x0)不含直线x＝x0斜截式y＝kx＋b不含垂直于x轴的直线两点式＝不含直线x＝x1 (x1≠x2)和直线y＝y1 (y1≠y2)截距式＋＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平面直角坐标系内的直线都适用 3．几种距离公式(1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离：|P1P2|＝.(2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离：d＝.(3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)间的距离：d＝. 4．圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其中(a，b)为圆心，r为半径． 5．圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0该方程表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0，其中圆心为，半径r＝. 6．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：d<r⇔相交；d＝r⇔相切；d>r⇔相离．(2)代数法：利用判别式Δ＝b2－4ac进行判断：Δ>0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ<0⇔相离． 7．圆与圆的位置关系：设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0).则：d>r1＋r2⇔外离； d＝r1＋r2⇔外切； |r1－r2|<d<r1＋r2⇔相交； d＝|r1－r2|⇔内切； 0≤d<|r1－r2|⇔内含 二、必备结论1．斜率与倾斜角的关系：由正切图象可以看出：①当α∈时，斜率k∈[0，＋∞)且随着α增大而增大；②当α＝时，斜率不存在，但直线存在；  ③当α∈时，斜率k∈(－∞，0)且随着α增大而增大． 2．两条直线的位置关系(1)斜截式判断法：①两条直线平行：对于两条不重合的直线l1、l2：(ⅰ)若其斜率分别为k1、k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2. (ⅱ)当直线l1、l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.②两条直线垂直：(ⅰ)如果两条直线l1、l2的斜率存在，设为k1、k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.(ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1⊥l2.(2)一般式判断法：设两直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0，则有：①l1∥l2⇔A1 B2＝A2B1且A1 C2≠A2 C1；   ②l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 3．直线系方程：(1)平行线系：与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为：Ax＋By＋m＝0(m≠C)；(2)垂直线系：与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为：Bx－Ay＋n＝0；(3)交点线系：过A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线可设：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0. 4．点与圆的位置关系圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，点M(x0，y0)，则有：(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，x02＋y02＋Dx0＋E y0＋F＝0；(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2， x02＋y02＋Dx0＋E y0＋F＞0；(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2<r2， x02＋y02＋Dx0＋E y0＋F＜0. 5．圆的切线方程常用结论(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为：x0x＋y0y＝r2.(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为：(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)过圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程的求法：①以M为圆心，切线长为半径求圆M的方程；  ②用圆M的方程减去圆C的方程即得； 6．圆与圆的位置关系的常用结论(1)两圆的位置与公切线的条数：①内含：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条．(2)公共弦直线：当两圆相交时，两圆方程(x2，y2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程． 7．常用口诀：①直线带参，必过定点；   ②弦长问题，用勾股. 三、必备方法1．直线的对称问题：(1)点关于线对称：方程组法，设对称后点的坐标为(x，y)，根据中点坐标及垂直斜率列方程组；(2)线关于线对称：①求交点； ②已知直线上取一个特殊点，并求其关于直线的对称点；  ③两点定线即可.(3)圆关于线对称：圆心对称，半径不变. 2．直线与圆的相关问题：(1)切线问题：一般设直线点斜式(讨论斜率存在)，然后依据d＝r列方程求解；(2)弦长问题：用勾股，即圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则根据勾股得2＝r2－d2； 3．轨迹求法：①直译法：直接根据题目提供的动点条件，直接列出方程，化简可得；②几何法：根据动点满足的几何特征，判断其轨迹类型，然后根据轨迹定义直接写出方程．③代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等． 四、必备细节1．任何直线都存在倾斜角，但并不是任意直线都存在斜率． 2．与直线方程的适用条件、截距、斜率有关问题的注意点：(1)运用点斜式、斜截式方程时：要注意讨论斜率存在性；(2)运用截距式方程时：要注意讨论是否经过原点(过原点的直线x，y轴截距均为0)．注意：截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零． 3．点到直线与两平行线间的距离的使用条件：(1)求点到直线的距离时，应：先化直线方程为一般式．(2)求两平行线之间的距离时，应：先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等． 4．过一点求圆切线要注意：(1)过圆上一点作圆的切线有且只有一条；(2)过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解．